Complex numbers

歡迎來到複數的世界！

在 GCSE 和 A Level 數學中，你可能聽說過不能對負數取平方根。但在進階數學（Further Mathematics）中，我們要打破這個規則！複數 (Complex Numbers) 讓我們能夠解出以前被視為「無解」的方程式。它們不僅僅是數學戲法；它們在現實世界的工程學、物理學，甚至是描述電流流動方式中都有實際應用。如果起初覺得這些概念很陌生，別擔心——一旦掌握了基本規則，這就像是帶點變化的代數而已。

1. 基礎積木：\( i \) 與笛卡兒形式

本章的核心是虛數單位 (imaginary unit)，定義為：\( i = \sqrt{-1} \)，這意味著 \( i^2 = -1 \)。
一個複數 (complex number) \( z \) 通常以笛卡兒形式 (Cartesian form)書寫：\( z = x + iy \)。
- \( x \) 是實部 (real part)，寫作 \( Re(z) \)。
- \( y \) 是虛部 (imaginary part)，寫作 \( Im(z) \)。 (注意：\( y \) 本身是一個實數！)

複數運算

複數的運算與標準代數非常相似——只需將 \( i \) 視為變數，但別忘了將 \( i^2 \) 替換為 \(-1\)。
- 加法/減法： 將實部和虛部分別相加或相減。例子：\( (2 + 3i) + (4 - i) = 6 + 2i \)。
- 乘法： 展開括號（使用 FOIL 法）。例子：\( (2 + i)(3 + 2i) = 6 + 4i + 3i + 2i^2 = 6 + 7i - 2 = 4 + 7i \)。
- 除法： 要進行除法，必須將分子和分母同時乘以分母的共軛複數 (complex conjugate)。這能將分母「有理化」。

共軛複數

若 \( z = x + iy \)，其共軛複數為 \( z^* = x - iy \)。
當你將一個複數與其共軛複數相乘時，結果永遠是一個實數：\( z z^* = x^2 + y^2 \)。

快速複習： \( i^2 = -1 \)。在代數中把 \( i \) 當作字母處理，但最後務必簡化 \( i^2 \)！

2. 解多項式方程式

AQA 進階數學的一個關鍵技能是解出根可能是複數的方程式。

二次方程式

如果你使用二次公式且判別式 \( b^2 - 4ac \) 為負數，你將得到兩個複數根。這些根永遠是共軛對 (conjugate pairs)（例如：\( 2 + 3i \) 和 \( 2 - 3i \)）。

三次和四次方程式

對於具有實係數 (real coefficients)的多項式：
- 三次方程式： 要麼有 3 個實根，要麼有 1 個實根和 2 個複數（共軛）根。
- 四次方程式： 要麼有 4 個實根，要麼有 2 個實根和 2 個複數根，或者是 4 個複數根（作為兩對共軛對）。
小貼士： 如果題目告訴你 \( 1 + 2i \) 是某個實係數三次方程式的根，你立刻就知道 \( 1 - 2i \) 也是它的根！

3. 阿爾岡圖 (Argand Diagram)

我們無法在標準數線上放置複數，因此我們使用一個稱為阿爾岡圖 (Argand Diagram) 的二維平面。
- x 軸是實軸 (Real axis)。
- y 軸是虛軸 (Imaginary axis)。
複數 \( z = 3 + 2i \) 被繪製為點 \( (3, 2) \)。

重點總結： 阿爾岡圖只是一種將複數視為座標的「可視化」方法。

4. 模-幅形式 (Modulus-Argument Form)

除了 \( x \) 和 \( y \)，我們可以用複數到原點的距離，以及它與正實軸所成的角度來描述它。

1. 模 (Modulus)： 到原點的距離。\( r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \)。
2. 幅角 (Argument)： 從正實軸測量的角度 \( \theta \)。\( \arg(z) = \theta \)。
重要： 幅角務必使用弧度 (radians)。主幅角 (principal argument) 通常給定在範圍 \( -\pi < \theta \leq \pi \) 內。

模-幅形式 (Mod-Arg form) 為：\( z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \)。

模-幅形式的乘法與除法

這就是模-幅形式比笛卡兒形式快得多的地方！
- 乘法： 將模相乘，並將幅角相加。
- 除法： 將模相除，並將幅角相減。

你知道嗎？ 這個性質來自三角學中的複合角公式！

5. 阿爾岡圖中的軌跡 (Loci)

「軌跡 (locus)」是指滿足特定規則的點集。你需要辨認出以下形狀：
- 圓形： \( |z - a| = r \)。這表示一個以複數 \( a \) 為圓心、\( r \) 為半徑的圓。
- 半直線： \( \arg(z - a) = \theta \)。這是一條從點 \( a \) 開始（但不包含 \( a \) 本身）並以角度 \( \theta \) 延伸的射線。
- 垂直平分線： \( |z - a| = |z - b| \)。這是一條恰好位於點 \( a \) 和 \( b \) 中間的直線。

常見錯誤： 當尋找 \( |z + 3 - 2i| = 5 \) 的圓心時，記得將其改寫為 \( |z - (-3 + 2i)| = 5 \)。因此圓心是 \( -3 + 2i \)。

6. 棣美弗定理 (de Moivre’s Theorem) 與指數形式

棣美弗定理

對於任何整數 \( n \)：
\( [r(\cos \theta + i \sin \theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i \sin n\theta) \)。
這對於計算複數的大次方（如 \( z^{10} \)）極其強大，無需展開龐大的括號。

指數形式 (歐拉公式)

我們定義 \( e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta \)。
這導出了書寫複數最簡潔的方式：\( z = re^{i\theta} \)。
這種形式使得使用標準指數律進行乘法、除法和冪運算變得非常容易。

重點總結： \( z = x + iy = r(\cos \theta + i \sin \theta) = re^{i\theta} \)。這些全都是同一個數字，只是穿上了不同的外衣而已！

7. 複數的根

要尋找複數的 \( n \) 次方根（解 \( z^n = w \)）：
1. 將複數 \( w \) 寫成模-幅形式。
2. 將幅角加上 \( 2k\pi \) 的倍數：\( \theta + 2k\pi \)。
3. 反向使用棣美弗定理：\( z = w^{1/n} \)。
4. 這將給出 \( n \) 個不同的根。
幾何事實： 在阿爾岡圖上，一個數的 \( n \) 個次方根永遠形成一個以原點為中心的正 \( n \) 邊形頂點。

單位根 (Roots of Unity)

\( z^n = 1 \) 的根稱為單位根。它們總是位於半徑為 1 的圓上。你可以利用這些根，透過將圖形視為阿爾岡圖上的點來解決複雜的幾何問題。

總結重點：
- 使用共軛複數來進行笛卡兒形式的複數除法。
- 實係數多項式的複數根總是成對出現：\( a \pm bi \)。
- 進行冪運算和求根時，請使用模-幅形式或指數形式。
- 幅角必須使用弧度。
- \( z^n = w \) 的根均勻分佈在圓周上。