Further algebra and functions

歡迎來到進階代數與函數！

在本章中，我們將會把你從 A Level 數學中學到的代數知識進行「升級」。我們會探討方程的根與係數之間的關係，利用巧妙的方法處理複雜數列的求和，並學習如何繪製被稱為圓錐曲線 (Conics) 的複雜圖形。雖然這些課題初看可能有點嚇人，但它們全部都是建立在規律之上的。一旦你掌握了其中的規律，數學就會變得簡單得多！

1. 多項式的根

你已經知道對於二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0\)，其根的和是 \(-\frac{b}{a}\)，積是 \(\frac{c}{a}\)。在進階數學 (Further Maths) 中，我們將此概念推廣到四次方程 (Quartic)（即 4 次方程）。

關鍵關係

對於具有根 \(\alpha, \beta, \gamma\) 的三次方程 \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\)：

• 根的和： \(\sum \alpha = \alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}\)
• 根的兩兩乘積之和： \(\sum \alpha\beta = \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}\)
• 根的積： \(\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}\)

記憶小撇步： 注意符號總是交替出現：負、正、負、正……，且分母永遠是首項係數 \(a\)。

根的線性變換

有時題目會要求你求出一個新的方程，其根為例如 \(2\alpha+1, 2\beta+1, 2\gamma+1\)。
逐步解法：
1. 設 \(w = 2x + 1\)。
2. 重新整理以找出 \(x\)：\(x = \frac{w-1}{2}\)。
3. 將這個 \(x\) 的表達式代回原本的方程中。
4. 化簡以得到以 \(w\) 為變數的新方程。

快速回顧： 根與係數之間的關係讓我們無需解出方程式，就能得知根的屬性！

2. 數列求和

你將學習用於計算整數、平方數和立方數求和的特定公式。這些是你的「基本組件」。

標準公式

• \(\sum_{r=1}^{n} r = \frac{1}{2}n(n+1)\)
• \(\sum_{r=1}^{n} r^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)
• \(\sum_{r=1}^{n} r^3 = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2\)（注意這只是第一個公式的平方！）

相消法 (The Method of Differences)

如果一個數列看起來無法求和，請別擔心！如果你能將通項寫成 \(f(r) - f(r+1)\) 的形式，大多數項都會互相抵消。這通常被稱為望遠鏡級數 (Telescoping Series)。

例子： 想像一排人，每個人都給前面的人 5 英鎊。最終只有第一個和最後一個人錢包裡的金額有變化，因為中間的每個人既給出了錢，也收到了相同數額的錢！

常見錯誤： 使用相消法時，要小心極限範圍。務必寫出開頭幾項和結尾幾項，以精確觀察哪些項會抵消。

關鍵總結： 複雜的求和可以拆解為標準公式，或通過相消（相消法）來簡化。

3. 麥克勞林級數 (Maclaurin Series)

麥克勞林級數是一種將複雜函數（如 \(\sin x\) 或 \(e^x\)）表示為多項式無限和的方法。這使得計算機和科學計算器處理這些函數變得容易得多。

一般形式

\(f(x) = f(0) + xf'(0) + \frac{x^2}{2!}f''(0) + \dots + \frac{x^r}{r!}f^{(r)}(0) + \dots\)

需要背誦的標準級數

• \(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots\)
• \(\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots\)
• \(\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots\)

你知道嗎？ 這些近似值只在特定的 \(x\) 值範圍內有效（稱為收斂區間）。例如，\(\ln(1+x)\) 僅在 \(-1 < x \le 1\) 時有效。

極限計算： 你可以使用這些級數或羅必塔法則 (l'Hôpital's rule) 來求出類似 \(\frac{0}{0}\) 的極限。羅必塔法則指出：如果 \(\frac{f(x)}{g(x)}\) 的結果是 \(\frac{0}{0}\)，則分別對分子和分母求導，然後再試一次！

4. 不等式

解進階數學的不等式比 GCSE 代數需要更謹慎。千萬不要在不等式兩邊同時乘以包含 \(x\) 的表達式（如 \(x-2\)），因為你無法確定它是正數還是負數！

「平方分母」技巧

要解 \(\frac{ax+b}{cx+d} < ex+f\)：
1. 兩邊同時乘以 \((cx+d)^2\)。由於平方永遠是正數，不等號方向保持不變。
2. 將所有項移到一邊，得到一個三次或四次不等式。
3. 找出臨界值（根）。
4. 繪製圖形或使用數線來找出正確的區間。

快速回顧： 解不等式時一定要畫圖。這是確保你選對區間（例如兩點之間或之外）最穩妥的方法。

5. 有理函數與圖形

有理函數是分子和分母均為多項式的分數，例如 \(y = \frac{ax+b}{cx+d}\)。

漸近線 (Asymptotes)

漸近線是圖形趨近但（通常）永遠不會觸碰的直線。把它們想像成「隱形的牆」。

• 垂直漸近線： 出現在分母為零的地方。
• 水平漸近線： 觀察當 \(x\) 變得非常大時會發生什麼。
• 斜漸近線： 當分子的次數恰好比分母高 1 時出現。使用長除法來求出該直線的方程式。

使用判別式求值域

如果你需要在不使用微積分的情況下求有理函數的 \(y\) 值範圍（即值域）：
1. 設 \(y = \frac{f(x)}{g(x)}\)。
2. 重新整理成關於 \(x\) 的二次方程：\(Ax^2 + Bx + C = 0\)。
3. 使用條件 \(b^2 - 4ac \ge 0\)（因為 \(x\) 必須是實數）。
4. 解這個新的不等式以求出 \(y\) 的值域。

6. 圓錐曲線

圓錐曲線是通過切割圓錐而形成的形狀。你需要掌握它們的標準方程以及如何繪製它們。

圓錐曲線類型

• 拋物線 (Parabola)： \(y^2 = 4ax\)。看起來像側放的「杯子」。
• 橢圓 (Ellipse)： \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)。看起來像是被拉伸的圓形。
• 雙曲線 (Hyperbola)： \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)。兩個背對著的獨立「碗」狀圖形。
• 直角雙曲線 (Rectangular Hyperbola)： \(xy = c^2\)。這就是你在 GCSE 學過的標準 \(1/x\) 形狀。

變換

你可以像對待其他任何函數一樣移動這些圖形：

• \(f(x-a)\)：向右平移 \(a\) 個單位。
• \(f(x)+a\)：向上平移 \(a\) 個單位。
• \(af(x)\)：以因子 \(a\) 進行垂直拉伸。

關鍵總結： 圓錐曲線只是特定的代數模式。識別出「標準形式」就等於完成了 90% 的工作！

最終總結

1. 根： 使用 \(\sum \alpha = -b/a\) 以及交替符號規律。
2. 數列： 使用標準公式或相消法來抵消項。
3. 麥克勞林： 利用公式將函數轉換為多項式。
4. 不等式： 乘以分母的平方以避免正負號錯誤。
5. 圖形： 先找到漸近線，並使用判別式來查找駐點。
6. 圓錐曲線： 學習四種標準方程以及如何進行平移和拉伸。

如果初學時覺得困難也不要擔心——代數是一種熟能生巧的技能。堅持練習繪圖，這些規律很快就會變得像直覺一樣自然！