歡迎來到進階向量（Further Vectors）！
在先前的學習中，你已經知道向量本質上是告訴我們方向與大小的「箭頭」。在進階數學（Further Mathematics）中，我們將運用這些箭頭來建構整個世界！我們將學習如何描述漂浮在 3D 空間中的直線與平面。你可以把這想像成 GPS、3D 電子遊戲以及建築設計背後的數學引擎。
如果初次接觸覺得有點「燒腦」，請不用擔心。在 3D 空間中運作是一種只要多花點時間進行視覺化，就會變得愈來愈容易掌握的技能。讓我們開始吧！
F1：3D 直線方程
在 2D 空間中，我們使用 \(y = mx + c\)。但在 3D 空間中，我們需要更具靈活性的表達方式。
向量形式
若要定義空間中的一條直線，你只需要兩個要素：一個起始點和一個方向。
其向量方程為：\(\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda \mathbf{b}\)
- \(\mathbf{r}\)：直線上任意點的位置向量。
- \(\mathbf{a}\)：直線上已知的點（「錨點」）。
- \(\mathbf{b}\)：方向向量（直線延伸的方向）。
- \(\lambda\)：標量（參數），代表沿著 \(\mathbf{b}\) 方向移動的距離或倍數。
笛卡兒形式（Cartesian Form）
若 \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\) 且 \(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}\)，我們可以將方程改寫為：
\(\frac{x - a_1}{b_1} = \frac{y - a_2}{b_2} = \frac{z - a_3}{b_3}\)
快速複習： 要將向量方程轉為笛卡兒形式，只需將每個分量設為 \(\lambda\)，然後重新排列使其成為 \(\lambda\) 的主項即可！
常見錯誤： 學生經常混淆「點」和「方向」。請時刻問自己：「這是一個直線上的座標，還是直線行進的方向？」
重點歸納： 一條直線就是一個點加上一段「特定量」的方向。
F2：平面方程
平面是一個平坦且無限延伸的表面。想像一張向四面八方無限延伸的紙張。
標量積（法向量）形式
描述平面最常用的方式是使用法向量 (\(\mathbf{n}\))。法向量是一個與平面上每一條直線都成 90 度（垂直）的向量。
比喻： 想像一個垂直豎立在平坦操場上的旗桿。操場是平面，而旗桿則是法向量。
其方程為：\(\mathbf{r} \cdot \mathbf{n} = d\)
其中 \(d = \mathbf{a} \cdot \mathbf{n}\)（使用平面上的一個已知點 \(\mathbf{a}\)）。
平面的笛卡兒形式
若法向量 \(\mathbf{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\)，其方程簡單表示為：
\(ax + by + cz = d\)
你知道嗎？ 平面方程中 \(x, y,\) 和 \(z\) 的係數，其實就是該平面法向量的分量！
重點歸納： 要找出平面方程，你的主要目標通常是找出它的法向量。
F3 & F4：標量積、角度與垂直性
標量積（Scalar Product，又稱點積 Dot Product）是我們計算角度時最強大的工具。
\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta\)
檢查向量是否垂直
若兩個向量垂直，它們之間的夾角為 \(90^\circ\)。由於 \(\cos(90^\circ) = 0\)：
兩個向量垂直，若且唯若 \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0\)。
計算角度
- 兩條直線之間： 使用它們方向向量的點積。
- 兩個平面之間： 使用它們法向量的點積。
- 直線與平面之間： 使用直線的方向向量與平面的法向量。關鍵步驟： 這會得出直線與法線的夾角，因此必須使用 \(\sin\theta\) 而非 \(\cos\theta\)（或者用 \(90 - \theta\)）。
重點歸納： 點積 = 0 意味著向量垂直。這就是著名的「垂直檢測」！
F5：向量積（叉積 Cross Product）
向量積（Vector Product，又稱叉積）\(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\) 有點特別。不像標量積會得到一個數字，向量積會產生一個新的向量。
向量積的性質
- 所得的結果向量與 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 同時垂直。
- \(|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta\)。
- 若 \(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = 0\)，則這兩個向量平行。
三角形面積
你可以使用向量積來計算邊長為 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 的三角形面積：
\(面積 = \frac{1}{2} |\mathbf{a} \times \mathbf{b}|\)
直線方程的另一種寫法
直線也可以寫成 \((\mathbf{r} - \mathbf{a}) \times \mathbf{b} = 0\)。這字面上的意思是：「從點 \(\mathbf{a}\) 指向直線上任意點 \(\mathbf{r}\) 的向量，與方向向量 \(\mathbf{b}\) 平行。」
記憶小撇步： Dot product（點積）涉及 Cosine（餘弦，D-C）；Cross product（叉積）涉及 Sine（正弦，C-S）。
F6：交點與距離
這是我們解決「碰撞」問題的地方。
兩條直線的交點
1. 使用不同的參數（例如 \(\lambda\) 和 \(\mu\)）寫出兩條直線的方程。
2. 將 \(x, y,\) 和 \(z\) 分量分別設為相等。
3. 解出 \(\lambda\) 和 \(\mu\)。
4. 檢查： 若數值對三個分量都成立，則它們相交。否則，這兩條直線是歪斜線（skew）（它們在 3D 空間中互不相交且不平行）。
點到平面的垂直距離
若有一個點 \((x_1, y_1, z_1)\) 和一個平面 \(ax + by + cz = d\)，最短距離為：
\(距離 = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\)
兩條歪斜線之間的最短距離
對於歪斜線，最短距離是沿著一條同時與兩者都垂直的直線測量的。我們使用這兩條直線的方向向量的向量積來找出這個方向。
鼓勵一下： 計算歪斜線之間的最短距離是本章最困難的部分之一。請一步步來：先找出公共的垂直向量，然後進行投影！
章節總結
- 直線： \(\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda \mathbf{b}\)（點 + 方向）。
- 平面： \(\mathbf{r} \cdot \mathbf{n} = d\)（專注於法向量）。
- 標量積： 用於計算角度與垂直性檢測（\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0\)）。
- 向量積： 產生一個垂直向量；用於計算面積與平行檢測。
- 交點： 透過聯立方程求解；記住 3D 空間中的直線經常互不相交（歪斜）。