歡迎來到三角學的世界！
歡迎！「三角學」這個詞聽起來或許有些嚇人，但其核心其實只是研究三角形邊與角之間關係的學問。在 A Level 數學（卷一）中，我們將跨越你在 GCSE 階段所學的基礎三角形，深入探索週期函數——即像聲波或潮汐那樣永遠重複的規律。無論你的目標是奪取 A*，還是只想輕鬆及格，這些筆記都會將內容拆解成簡單易懂的步驟。
1. 弧度 (Radians)：量度角度的專業方法
在 GCSE 中，你使用的是角度（degrees）。但在 A Level，我們主要使用弧度 (Radians)。你可以把弧度想像成圓形的「自然」語言。雖然 360 度是一個隨意設定的數字，但弧度是基於圓形的半徑本身而定的。
黃金法則： \(180^\circ = \pi \text{ 弧度}\)。
換算方法：
- 角度轉弧度： 乘以 \(\frac{\pi}{180}\)
- 弧度轉角度： 乘以 \(\frac{180}{\pi}\)
弧長與扇形面積
由於弧度是基於半徑的，因此圓形的公式會變得簡單得多：
- 弧長 (\(s\))： \(s = r\theta\)
- 扇形面積 (\(A\))： \(A = \frac{1}{2}r^2\theta\)
注意：要使用這些公式，\(\theta\) 必須以弧度為單位！
快速溫馨提示： 除非題目明確使用角度符號 (\(^\circ\))，否則請務必將計算機保持在 RAD（弧度）模式。這是學生最常犯的錯誤！
重點總結
弧度讓涉及圓形的數學變得更容易。請記住，\(\pi\) 僅代表半圈（即 \(180^\circ\)）。
2. 三角函數圖形與準確值
你需要熟悉 \(y = \sin x\)、\(y = \cos x\) 和 \(y = \tan x\) 的圖形。它們是週期性的，這意味著它們每隔 \(360^\circ\)（或 \(2\pi\) 弧度）就會重複出現一次形狀。對於 \(\tan x\)，它每隔 \(180^\circ\)（\(\pi\) 弧度）便會重複。
「CAST」圖解（或單位圓）
三角函數的正負取決於角度所在的象限。記住這一點的好方法是使用 CAST 圖解：
- 第一象限 (0 到 \(\pi/2\))： All（全部）皆為正。
- 第二象限 (\(\pi/2\) 到 \(\pi\))： Sine（正弦）為正。
- 第三象限 (\(\pi\) 到 \(3\pi/2\))： Tangent（正切）為正。
- 第四象限 (\(3\pi/2\) 到 \(2\pi\))： Cosine（餘弦）為正。
口訣：All Students Take Calculus（所有學生都要修微積分）。
必須掌握的準確值
不要凡事都依賴計算機！你需要知道 \(0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \text{ 和 } \frac{\pi}{2}\) 的數值。
技巧： 對於 \(\sin \theta\)，數值分別是 \(\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}\)。簡化後，你就能得到 \(0^\circ\) 到 \(90^\circ\) 的所有準確值！
重點總結
對稱性是你的好朋友。善用 CAST 圖解或圖形的波動形狀來找出方程式的多個解。
3. 倒數函數與反函數
這是 A Level 課程中加入更多「配方」的地方。我們引入了三個新的「倒數」函數（即分數的倒轉）：
- 正割 (sec)： \(\sec x = \frac{1}{\cos x}\)（第三個字母是 c，所以它對應 cos）
- 餘割 (cosec)： \(\csc x = \frac{1}{\sin x}\)（第三個字母是 s，所以它對應 sin）
- 餘切 (cot)： \(\cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x}\)
反函數 (arcsin, arccos, arctan)
這些是「還原」按鈕。如果 \(\sin(30^\circ) = 0.5\)，那麼 \(\arcsin(0.5) = 30^\circ\)。
重要： 為了使它們成為真正的函數，我們限制了它們的值域 (range)。例如，\(\arcsin x\) 的輸出只會介於 \(-\pi/2\) 和 \(\pi/2\) 之間。
重點總結
倒數函數 (\(\sec, \csc, \cot\)) 與反函數 (\(\arcsin, \arccos, \arctan\)) 是**不同**的概念。千萬不要搞混！
4. 三角恆等式
恆等式是指**永遠成立**的方程式。它們是你簡化複雜表達式或解方程式時所用的「工具」。
基本恆等式：
- \(\tan \theta \equiv \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
- \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta \equiv 1\)
A Level 新學的恆等式（由 \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta \equiv 1\) 推導得出）：
- \(1 + \tan^2 \theta \equiv \sec^2 \theta\)
- \(1 + \cot^2 \theta \equiv \csc^2 \theta\)
你知道嗎？ 最後兩個公式不需要死記！只需把 \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) 的每一項分別除以 \(\cos^2 \theta\) 就能得到第一個，除以 \(\sin^2 \theta\) 就能得到第二個！
重點總結
每當你在同一個題目中看到 \(\sin^2\) 和 \(\cos^2\)，請留意是否可以使用 \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) 這個恆等式。
5. 和角與倍角公式
這些公式讓你可以拆解如 \((A + B)\) 或 \(2A\) 這樣的角度。這些公式會提供在試卷的公式表內，但你必須知道如何靈活運用！
和角公式
\(\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B\)
\(\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B\) （注意：餘弦公式中間的符號會反轉！）
倍角公式
透過在和角公式中令 \(B = A\)，我們可以得到：
- \(\sin 2A = 2 \sin A \cos A\)
- \(\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A\) （也可以寫成 \(2\cos^2 A - 1\) 或 \(1 - 2\sin^2 A\)）
解題小貼士： 當解 \(\cos 2x + \sin x = 0\) 這類方程式時，請使用倍角公式將所有項轉化為 \(\sin x\)，這樣你就可以像解一元二次方程式一樣解出答案。
重點總結
倍角公式其實就是和角公式的特殊形式。利用它們讓方程式中所有的角度變得統一。
6. 諧波形式：\(R \cos(\theta \pm \alpha)\)
有時題目會出現類似 \(3 \cos \theta + 4 \sin \theta\) 的混合形式。這很難直接解，但我們可以將它們合併成單一波動：\(R \cos(\theta - \alpha)\)。
- \(R\) 是振幅 (amplitude)（波的高低）。\(R = \sqrt{a^2 + b^2}\)。
- \(\alpha\) 是相位移 (phase shift)（波向左或向右移動了多少）。透過 \(\tan \alpha = \frac{b}{a}\) 求出。
類比：將兩種不同的聲音（\(\sin\) 和 \(\cos\)）結合起來，創造出一種新的、聲音更大且具備獨特節奏的音頻。
重點總結
使用這種形式可以快速找出函數的最大值或最小值。\(R \cos(\theta - \alpha)\) 的最大值就等於 \(R\)！
7. 小角度近似值
當角度 \(\theta\) 非常、非常小（且以弧度為單位）時，三角函數的表現會變得非常有規律：
- \(\sin \theta \approx \theta\)
- \(\tan \theta \approx \theta\)
- \(\cos \theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}\)
如果這聽起來很奇怪，別擔心！這只是意味著對於極小的角度，正弦波的曲線看起來幾乎與直線沒什麼兩樣。
重點總結
這是一個涉及「代換」的考點。如果題目說 \(\theta\) 很小，直接將 \(\sin \theta\) 換成 \(\theta\) 並簡化代數即可。
8. 解三角方程式
這是將所有知識融會貫通的地方。以下是你的必勝檢查清單：
- 分離 (Isolate) 三角函數（例如，化簡為 \(\sin(2x) = 0.5\)）。
- 使用計算機找出主值 (Principal Value)（即 \(\sin^{-1}(0.5) = 30^\circ\)）。
- 利用 CAST 圖解或圖形找出範圍內的其他解。
- 調整 (Adjust) 角度。如果角度是 \(2x\)，記得最後將所有答案除以 2。
常見錯誤： 直接將方程式兩邊同時除以三角函數（例如除以 \(\cos x\)）。這可能會讓你「刪除」潛在的解！相反地，應該先進行因式分解。
重點總結
永遠檢查題目要求的範圍。如果題目要求 \(0\) 到 \(2\pi\) 之間的解，千萬不要用角度來回答！
最後的鼓勵
三角學是一個「累積性」的單元。你練習使用恆等式的次數越多，它們就會變得越順手。當你卡住時，千萬不要害怕畫出函數圖形——它們是你手邊最好的地圖！你一定可以做到的！