Number bases

歡迎來到數系（Number Bases）的世界！

你好！你有沒有想過，電腦本質上只是一堆細小的開關，到底是怎樣處理複雜的遊戲、影片或社交媒體的呢？這一切都源於我們如何表示數值。在本章中，我們將會探討不同的數系（Number Bases）。學完之後，你就能夠掌握「電腦語言」，了解二進制（Binary）和十六進制（Hexadecimal），並明白為何這些系統對於機器來說，比我們日常使用的數字系統更有效率。

不用擔心數學不是你的強項！我們會透過簡單的規律和技巧，一步步為你拆解這些概念。

1. 理解「進制」（Base）

在研究電腦之前，先看看人類是如何數數的。我們使用十進制（Decimal/Denary，或稱為 Base 10）。這是因為我們有十根手指！

在十進制中，我們有十個符號：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。當我們數到 9 時，符號就用完了，必須「進位」到下一欄（即「十位」）。

等等，什麼是其他進制？

「進制」簡單來說就是該系統中可用的數字有多少個。電腦並沒有十根手指；它只有開啟（ON）或關閉（OFF）兩種狀態的開關。這就是為什麼電腦使用二進制（Base 2）的原因。

快速回顧：你需要知道的三種進制

• 十進制（Base 10）： 使用 0-9 的數字。（例如：\( 67_{10} \)）
• 二進制（Base 2）： 只使用 0 和 1。（例如：\( 10011011_2 \)）
• 十六進制（Base 16）： 使用 0-9 的數字和 A-F 的字母。（例如：\( AE_{16} \)）

你知道嗎？寫在數字右下角的小數字（如 \( 67_{10} \) 中的 \( _{10} \)）稱為下標（Subscript）。它告訴我們正在使用哪種進制，以免混淆！

重點總結：「進制」定義了可用的數字數量。人類喜歡十進制，但電腦喜歡二進制。

2. 二進制：電腦的語言

在二進制中，每一欄的價值都是其右側的一欄的兩倍。我們不再使用百位、十位和個位，而是使用 128、64、32、16、8、4、2 和 1。

如何將二進制轉換為十進制

要把二進制轉換成你熟悉的數字，只需畫一個表格，並把「ON」（即 1）對應的值加起來即可。

例子：將 \( 10101000_2 \) 轉換為十進制

1. 寫下位值標題：
128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1

2. 在下方填入你的二進制數字：
1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0

3. 只將下方對應 1 的數字加起來：
\( 128 + 32 + 8 = 168 \)

所以，\( 10101000_2 = 168_{10} \)。

如何將十進制轉換為二進制

這就像往桶子裡裝東西。從最大的「重量」（128）開始，看看它是否能放入你的數字中。

例子：將 \( 45_{10} \) 轉換為二進制

1. 128 能放入 45 嗎？不能 (0)
2. 64 能放入 45 嗎？不能 (0)
3. 32 能放入 45 嗎？能！填入 1。（剩餘：\( 45 - 32 = 13 \)）
4. 16 能放入 13 嗎？不能 (0)
5. 8 能放入 13 嗎？能！填入 1。（剩餘：\( 13 - 8 = 5 \)）
6. 4 能放入 5 嗎？能！填入 1。（剩餘：\( 5 - 4 = 1 \)）
7. 2 能放入 1 嗎？不能 (0)
8. 1 能放入 1 嗎？能！填入 1。
結果：\( 00101101_2 \)

常見錯誤：忘記檢查最後的「1」欄位。請務必確保你已經算到最右邊！

重點總結：使用 2 的冪次方表（1、2、4、8、16、32、64、128）來進行互換。

3. 十六進制：人類的「速記法」

二進制對電腦來說很棒，但對人類來說卻是噩夢。試著想像要在滿滿的一頁 1011010111000101... 中找出錯誤！

這就是我們使用十六進制（Base 16）的原因。它就像是二進制的「暱稱」。

十六進制的「字母表」

因為我們需要 16 個不同的符號，但只有 10 個數字（0-9），所以我們用字母來代表其餘部分：

A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15。

記憶小撇步：只要記住 A 是 10。知道了這點，你就可以用手指數出來（B=11, C=12，依此類推）。

為什麼十六進制被用作速記？

一個十六進制數字正好代表四個位元（bits）。這使得兩者之間的轉換非常容易。

• 它更簡短且更容易記憶。
• 人類在輸入時比較不容易出錯。
• 程式設計師很容易在腦中將其轉換為二進制。

重點總結：十六進制並非由電腦硬體直接「使用」；它是給人使用的，目的是讓處理二進制變得更輕鬆。

4. 十六進制與二進制之間的轉換

這是所有轉換中最簡單的，因為我們使用「四位一組」法則。

二進制轉十六進制（步驟）

例子：將 \( 11101011_2 \) 轉換為十六進制

1. 將二進制數字從右邊開始，每四個分成一組：
1110 | 1011

2. 使用 8, 4, 2, 1 計算每一組的值：
左邊：\( 8 + 4 + 2 = 14 \)。在十六進制中，14 是 E。
右邊：\( 8 + 2 + 1 = 11 \)。在十六進制中，11 是 B。

3. 合併起來：EB。

十六進制轉二進制（步驟）

例子：將 \( 2F_{16} \) 轉換為二進制

1. 將每個數字分開處理：2 和 F。

2. 將每個數字轉換為 4 位元的二進制數：
2 是 \( 0010 \)
F（即 15）是 \( 1111 \)

3. 合併起來：\( 00101111_2 \)。

快速回顧框：
4 個位元 = 1 個十六進制位
在十六進制和二進制之間進行任何轉換時，請使用 8, 4, 2, 1 的數值。

重點總結：要進行十六進制轉換，請務必先經過二進制。這是最安全的「橋樑」！

總結檢查清單

你能做到以下幾點嗎？如果可以，你已經準備好考試了！

• 解釋什麼是 Base 2、10 和 16。
• 使用位值表將二進制數字轉換為十進制。
• 透過「減法」將十進制數字轉換為二進制。
• 解釋為什麼使用十六進制，因為它對人類而言更易於閱讀和書寫。
• 透過四位一組的方式在二進制和十六進制之間進行轉換。

做得好！數據表示法可能聽起來像是在學習秘密代碼，但一旦你掌握了規律，它就會變成你的第二天性。繼續練習那些 8, 4, 2, 1 表格吧！