歡迎來到數字系統！
歡迎來到 AQA 電腦科學課程中最基礎的章節之一！在我們了解電腦如何儲存照片、播放音樂或執行遊戲之前，必須先理解它們所使用的「語言」。雖然我們是用十根手指來數數，但電腦是用電力來運作的——這完全是另一回事。如果一開始覺得這裡「數學味」太重，不用擔心，我們會把它拆解成簡單易懂的步驟。
1. 數字分類
在電腦科學中，我們不只是單純地看「數字」，而是會根據它們的用途將其分組。你可以把它們想像成電腦裡不同的「資料夾」。
自然數 (Natural Numbers) \( (\mathbb{N}) \)
這是最基本的「計數」數字。AQA 將其定義為從零開始。
• 集合： \( \{0, 1, 2, 3, \dots\} \)
• 例子： 房間裡的人數或資料夾中的檔案數量。
整數 (Integer Numbers) \( (\mathbb{Z}) \)
這是完整的數字，可以是正數、負數或零。
• 集合： \( \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\} \)
• 例子： 銀行帳戶餘額（如果你花太多錢，餘額可能是負數！）或溫度讀數。
有理數 (Rational Numbers) \( (\mathbb{Q}) \)
可以把「有理數」聯想到「比例」(Ratio)。這些數字可以寫成分數 \( (a/b) \)。這包含了所有整數，因為 \( 7 \) 其實就是 \( 7/1 \)。
• 例子： \( 1/2 \)、 \( 0.75 \) 或 \( -3/4 \)。
無理數 (Irrational Numbers)
這些數字無法寫成簡單的分數。它們的小數部分會無限延伸且沒有規律。
• 例子： \( \sqrt{2} \) 或 \( \pi \) (圓周率)。
• 常見錯誤： 許多學生認為 \( 3.14 \) 是無理數，但它實際上是有限小數（有理數）。真正的 \( \pi \) 是永遠不會結束的！
實數 (Real Numbers) \( (\mathbb{R}) \)
這是「主集合」，包含了上述所有數字（自然數、整數、有理數和無理數）。實數代表現實世界中任何可能的測量值。
序數 (Ordinal Numbers)
這些不作運算之用，而是用來表示位置或排名。
• 例子： 如果你有一組列表 \( \{A, B, C\} \)，那麼 'A' 是第 1 個物件，'B' 是第 2 個，依此類推。
• 記憶小撇步： Ordinal (序數) = Order (順序)。
快速複習：計數與測量
• 使用自然數進行計數（例如 5 個蘋果）。
• 使用實數進行測量（例如一條繩子長 5.23 公分）。
重點總結： 不同的任務需要不同的數字類型。如果你只需要計數，\( \mathbb{N} \) 就足夠了；如果你需要測量宇宙，就需要 \( \mathbb{R} \)。
2. 數字進位 (Number Bases)
「進位」告訴我們該數字系統中有多少個可用數字。
十進位 (Decimal, Base 10)
我們日常使用的系統，使用 10 個數字：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。
二進位 (Binary, Base 2)
電腦的「母語」。它只使用 2 個數字：0 和 1。電腦之所以使用這種方式，是因為它們是由微小的開關組成，這些開關要麼是關閉 (OFF, 0)，要麼是開啟 (ON, 1)。
十六進位 (Hexadecimal, Base 16)
這個系統使用 16 個數字。由於數字 9 之後就不夠用了，我們使用字母：
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15)。
• 為什麼要用它？ 二進位對人類來說很難閱讀（例如 10101110）。十六進位是一種縮寫，讓二進位更容易管理。一個十六進位數字剛好代表四個二進位位元！
你知道嗎？ 你每天在網頁設計中都會看到十六進位！HTML 顏色代碼（如 #FF5733）就是使用十六進位來告訴電腦該顯示多少紅、綠和藍色。
3. 轉換步驟
二進位轉十進位
1. 寫下該二進位數。
2. 從右邊開始，在上方寫下「位權」（2 的冪次）：128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1。
3. 將下方對應為 '1' 的位權加總。
• 例子： \( 1011_2 \)
• 位權：(8, 4, 2, 1) -> \( 8 + 0 + 2 + 1 = 11_{10} \)。
十進位轉二進位
1. 使用「餘數法」（不斷除以 2）或「減法」（減去最大的 2 的冪次）。
• 以 13 為例的減法：
• 可以減去 8 嗎？可以（剩下 5）。寫下 1。
• 可以減去 4 嗎？可以（剩下 1）。寫下 1。
• 可以減去 2 嗎？不行。寫下 0。
• 可以減去 1 嗎？可以（剩下 0）。寫下 1。
• 結果： \( 1101_2 \)。
二進位轉十六進位
1. 從右邊開始，將二進位數每 4 個位元分成一組。
2. 將每組 4 個位元轉換為對應的十六進位數字。
• 例子： \( 10111110_2 \)
• 分組： \( 1011 \) | \( 1110 \)
• \( 1011 = 11 \) （即 B）
• \( 1110 = 14 \) （即 E）
• 結果： \( BE_{16} \)。
重點總結： 為標示所使用的進位系統，請使用下標，例如 \( 101_{10} \) (十進位) 與 \( 101_2 \) (二進位)。
4. 資訊單位
我們如何衡量「資料」？
位元 (Bit) 與 位元組 (Byte)
• 位元 (Bit)： 最小單位，單一個 0 或 1。
• 位元組 (Byte)： 8 個位元為一組。
• \( 2^n \) 規則： 使用 \( n \) 個位元，你可以表示 \( 2^n \) 種不同的數值。
• 例子： 3 個位元可以表示 \( 2^3 = 8 \) 種不同的數值（從 000 到 111）。
單位前綴陷阱：二進位 vs 十進位
這是很多學生丟分的地方！衡量大量資料的方法有兩種。
十進位前綴（10 的冪次）
這是你在物理課或行銷儲存設備時會看到的。
• kilo (k): \( 10^3 = 1,000 \)
• mega (M): \( 10^6 = 1,000,000 \)
• giga (G): \( 10^9 = 1,000,000,000 \)
• tera (T): \( 10^{12} = 1,000,000,000,000 \)
二進位前綴（2 的冪次）
電腦科學家更傾向使用這些，因為它們符合記憶體實際的運作方式。
• kibi (Ki): \( 2^{10} = 1,024 \)
• mebi (Mi): \( 2^{20} = 1,048,576 \)
• gibi (Gi): \( 2^{30} = 1,073,741,824 \)
• tebi (Ti): \( 2^{40} = 1,099,511,627,776 \)
記憶技巧： 如果名稱中含有「i」（例如 kibi），它就屬於 binary (二進位) 系統（2 的冪次）！
快速複習：
• 1 Kilobyte (kB) = 1,000 bytes。
• 1 Kibibyte (KiB) = 1,024 bytes。
• 歷史上，人們在實際指 1,024 時也會說「kilobyte」。但在考試中，請務必精確區分！
重點總結： 電腦使用二進位前綴，因為它們是建立在 2 的冪次之上。使用 1,000 只是近似值；1,024 才是硬體真實的運作邏輯。