歡迎來到矩陣的世界！
你好！歡迎來到進階數學（Further Mathematics）中最令人興奮且實用的章節之一。如果你曾好奇電子遊戲中的電腦圖形是如何運作的，或是 GPS 系統如何計算路徑，那麼你現在接觸的正是核心領域。
矩陣 (Matrix)（複數：matrices）本質上只是一種將數字整齊地排列成行與列的方法——就像試算表一樣。在本章中，我們將學習如何加、減和乘這些「數據網格」，並發現它們如何充當「指令」，將圖形在二維和三維空間中移動。如果起初看起來有點複雜，不用擔心；一旦你掌握了基本規則，這一切都會變得非常有邏輯！
1. 矩陣基礎：加法、減法與純量乘法
在我們開始對矩陣進行運算之前，我們需要知道它們的階 (order)（即尺寸）。我們總是先列出列 (Rows) 的數量，然後是行 (Columns) 的數量。
記憶小撇步：想像「RC」遙控器（Remote Control，先 Rows 再 Columns）。
可運算矩陣 (Conformable Matrices)
要對矩陣進行加法或減法，它們必須具有相同的尺寸。如果是這樣，我們稱它們為加法或減法可運算的 (conformable)。你只需將對應位置的數字相加或相減即可。
例子： \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}\)
純量乘法 (Scalar Multiplication)
將矩陣乘以一個純量 (scalar)（即普通數字）就像使用「放大鏡」。你要將矩陣內的每一個數字都乘以該純量。
例子： \(3 \times \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 0 & 12 \end{pmatrix}\)
特殊矩陣
- 零矩陣 (Zero Matrix, 0)：所有項均為 0 的矩陣。將此矩陣加到任何矩陣 \(A\) 上，\(A\) 都不會改變 (\(A + 0 = A\))。
- 單位矩陣 (Identity Matrix, I)：主對角線（左上至右下）為 1，其餘位置均為 0 的方陣。它在一般乘法中就像數字「1」一樣。
對於 \(2 \times 2\) 矩陣：\(I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
重點摘要：只能對相同尺寸的矩陣進行加減法。純量乘法會影響括號內的所有數字。
2. 矩陣乘法
這就是事情變得不同的地方！兩個矩陣相乘不僅僅是將相同位置的數字相乘。相反，我們使用「列乘行 (Row by Column)」規則。
何時可以相乘？
兩個矩陣只有在第一個矩陣的列數等於第二個矩陣的行數時才能相乘。
如果矩陣 A 為 \(m \times n\)，矩陣 B 為 \(n \times p\)，則結果 \(AB\) 的尺寸為 \(m \times p\)。
快速技巧：並排寫下維度：\((2 \times \mathbf{3}) \times (\mathbf{3} \times 1)\)。如果「內側」數字相符，就可以相乘！
「7」字規則
要找到新矩陣中的一個項目，請沿著第一個矩陣的行向右移動，同時沿著第二個矩陣的列向下移動，將成對的數字相乘並加總。這看起來有點像畫出數字「7」。
重要提示：在矩陣代數中，\(AB\) 通常不等於 \(BA\)。順序很重要！
你知道嗎？由於順序很重要，我們使用前乘 (pre-multiply)（放在左邊）和後乘 (post-multiply)（放在右邊）這兩個術語。
3. 行列式與反矩陣 (\(2 \times 2\))
每個方陣都有一個稱為行列式 (determinant) 的特殊值。對於 \(2 \times 2\) 矩陣 \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\)，行列式為：
\(det A = ad - bc\)
奇異矩陣與非奇異矩陣 (Singular vs Non-Singular)
- 如果 \(det A = 0\)，則該矩陣為奇異矩陣 (singular)。它沒有反矩陣（即無法「撤銷」）。
- 如果 \(det A \neq 0\)，則該矩陣為非奇異矩陣 (non-singular)，且擁有反矩陣。
尋找反矩陣 (\(A^{-1}\))
反矩陣是能夠「反轉」原始矩陣效果的矩陣。\(A \times A^{-1} = I\)。
要找到 \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) 的反矩陣：
- 交換 \(a\) 和 \(d\) 的位置。
- 改變 \(b\) 和 \(c\) 的符號（變為負號）。
- 將整個矩陣除以行列式 (\(ad - bc\))。
常見錯誤：忘記除以行列式是最常見的錯誤。請務必先檢查 \(ad-bc\)！
反矩陣的性質
考試中有一條非常重要的規則：\((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)。
類比：想像一下先穿襪子，再穿鞋子 (\(AB\))。要撤銷這個動作，你必須先脫掉鞋子，再脫掉襪子 (\(B^{-1}A^{-1}\))。
重點摘要：如果行列式為零，則該矩陣為奇異矩陣。反矩陣的求法是「交換並變號，然後除以行列式」。
4. 作為變換的矩陣
我們可以使用矩陣作為一組指令來變換點 \((x, y)\)。我們將點寫成行向量並進行乘法：
\( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\)
如何找到變換矩陣
如果你卡住了，只需看看變換對「單位向量」\(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) 和 \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) 做了什麼。
- 矩陣的第一行是 \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) 變換後的落點。
- 矩陣的第二行是 \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) 變換後的落點。
連續變換 (Successive Transformations)
如果你想先進行變換 \(A\)，再進行變換 \(B\)，組合後的矩陣為 \(BA\)。
等等，為什麼是 \(BA\)？ 因為我們首先將 \(A\) 應用於向量 \(\mathbf{v}\)：\(B(A\mathbf{v})\)。離向量最近的矩陣先執行！
三維變換
對於 AQA AS Level，三維變換僅限於：
- 反射：關於平面 \(x=0\)、\(y=0\) 或 \(z=0\) 的反射。
- 旋轉：關於其中一個坐標軸（\(x\)、\(y\) 或 \(z\)）旋轉 \(90^\circ, 180^\circ, 270^\circ\)。
5. 不變點與不變直線
有時，變換會使某些事物保持在原位。
- 不變點 (Invariant Point)：一個不會移動的點。要找到它，請解 \(M \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)。原點 \((0,0)\) 對這些矩陣而言始終是一個不變點。
- 不變直線 (Invariant Line)：一條線，其上的每個點在變換後仍保持在同一條直線上。這些點可能會沿著這條線滑動，但直線本身的位置不會改變。
快速複習箱：
- 行列式： \(ad - bc\)
- 單位矩陣 \(I\)： \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
- 運算順序： 先變換 \(M\) 再變換 \(N\) 記作 \(NM\)。
- 反矩陣： 交換主對角線，其餘項變號，除以行列式。
總結：融會貫通
矩陣是處理數據和空間的強大工具。無論你是計算 \(2 \times 2\) 矩陣的反矩陣，還是在 \(z=0\) 平面上反射一個圖形，步驟始終一樣：檢查是否可運算、注意乘法順序，並隨時留意行列式！你一定沒問題的！