歡迎來到代數與函數！
歡迎來到 AQA AS Level 數學課程中最核心的章節之一。你可以把代數想像成數學界的「瑞士軍刀」——它賦予你解決試卷二 (Paper 2) 中幾乎所有問題的工具。無論你的目標是奪取 A* 還是只想掌握基礎，這些筆記都會將內容拆解成簡單、易於理解的步驟。如果剛開始覺得有些困難，請別擔心；代數是一項透過練習就會變得容易得多的技能！
1. 指數與根式
指數（冪）和根式是代數表達式的基石。它們讓我們能以整潔且精確的方式表達複雜的數字。
指數定律
指數其實就是乘法的縮寫。對於任何有理指數，請記住以下三個主要規則：
1. 乘法： \(x^a \times x^b = x^{a+b}\)（相加指數）
2. 除法： \(x^a \div x^b = x^{a-b}\)（相減指數）
3. 冪的冪： \((x^a)^b = x^{ab}\)（相乘指數）
快速回顧：分數與負指數
負指數代表「倒數」：\(x^{-a} = \frac{1}{x^a}\)。
分數指數代表「根」：\(x^{1/n} = \sqrt[n]{x}\)。例如，\(x^{2/3}\) 代表先對 \(x\) 開三次方，再將結果平方。
處理根式
根式 (Surd) 是指開方後無法得到整數的表達式（例如 \(\sqrt{2}\)）。要化簡它們，請找出隱藏在其中的平方數（4, 9, 16, 25...）。
例子： 要化簡 \(\sqrt{50}\)，可以想成 \(\sqrt{25 \times 2}\)。由於 \(\sqrt{25}\) 是 5，因此它變成了 \(5\sqrt{2}\)。
分母有理化
數學老師通常不喜歡分母出現根號。要解決這個問題：
1. 如果你有 \(\frac{1}{\sqrt{a}}\)，請將分子和分母同時乘以 \(\sqrt{a}\)。
2. 如果你有 \(\frac{1}{a + \sqrt{b}}\)，請將分子和分母同時乘以它的「共軛對」：\(a - \sqrt{b}\)。這運用了「平方差」技巧來消除根號！
重點提示： 指數與根式就像是遵循「食譜」規則。看到負指數就把它翻轉，看到分母有根號就把它有理化。
2. 二次函數
二次式 (Quadratic) 是指最高次方為 \(x^2\) 的表達式。它們在圖形上總是呈現「U」字型（拋物線）。
解二次方程
你有三種主要方法來找出圖形與 x 軸的交點（即根）：
1. 因式分解： 將方程寫成括號形式，例如 \((x+2)(x-3) = 0\)。
2. 二次公式： \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)。
3. 配方法： 將其寫成 \((x+p)^2 + q\)。這對於找出轉向點 (turning point)（拋物線的頂點）非常實用。
判別式：尋根利器
公式中根號下的部分 \(b^2 - 4ac\) 被稱為判別式 (discriminant)。它無需求解方程即可告訴你有多少個根：
• 若 \(b^2 - 4ac > 0\)：兩個相異實根（圖形與 x 軸交於兩點）。
• 若 \(b^2 - 4ac = 0\)：一個重實根（圖形與 x 軸相切）。
• 若 \(b^2 - 4ac < 0\)：無實根（圖形懸浮於 x 軸上方或完全在下方）。
你知道嗎？ 踢出的足球或噴泉的水柱路徑都是遵循二次曲線的！
重點提示： 在花時間解方程之前，先利用判別式來檢查根的「性質」。
3. 聯立方程與不等式
有時候你需要找出兩條線的交點，這就是聯立方程的用途。
線性與二次方程
在試卷二中，你常會遇到一個線性方程（如 \(y = x + 1\)）與一個二次方程（如 \(y = x^2 - 5\)）。解決它們的最佳方法是代入法 (Substitution)：
1. 重新排列線性方程，得出 \(x = \dots\) 或 \(y = \dots\)。
2. 將其代入二次方程。
3. 解出該二次方程以獲得兩個值。
4. 別忘了找出對應的 \(y\) 值！
不等式
線性不等式（如 \(2x + 3 < 7\)）的解法與方程相同，但要小心：如果你乘以或除以一個負數，必須將不等號翻轉。
二次不等式： 常見錯誤警示！ 切勿嘗試僅透過開方來解 \(x^2 > 9\)。請始終執行：
1. 找出根（臨界值）。
2. 草繪圖形。
3. 如果題目要求 \(> 0\)，請尋找曲線在 x 軸上方的部分。若要求 \(< 0\)，則尋找下方的部分。
重點提示： 快速畫一個草圖是避免二次不等式出錯的最佳方法。
4. 多項式與因式定理
多項式 (Polynomial) 就是包含多項的表達式（如 \(x^3 + 2x^2 - x + 5\)）。
代數除法
你可以使用類似小學長除法的方法，將一個大型多項式除以一個小型多項式（如 \(x-2\)）。這看起來很嚇人，但實際上就是一個循環：除、乘、減、拉下下一項。
因式定理
這是一個絕佳的捷徑！如果你有一個函數 \(f(x)\) 並且發現 \(f(a) = 0\)，那麼 \((x - a)\) 就是該多項式的一個因式。這能幫你將巨大的 \(x^3\) 方程拆解成較小的括號。
記憶口訣：「如果 \(f(2)\) 是零，那 \((x-2)\) 就是英雄（因式）！」
重點提示： 因式定理能幫你在因式分解大型方程時，找到拼圖的第一塊。
5. 圖形與變換
了解圖形的「預設」形狀能幫助你在考試中快速畫出它們。
標準形狀
• 立方 (\(x^3\))： 「S」型或「波浪」型。
• 倒數 (\(y = a/x\))： 兩條永遠不觸碰軸的獨立曲線。它們有漸近線 (asymptotes)。
• 平方倒數 (\(y = a/x^2\))： 看起來像一座「火山」，因為 \(y\) 永遠為正。
什麼是漸近線？ 可以把漸近線想像成「通電圍欄」。圖形會越來越靠近它，但絕對不被允許真正觸碰或穿越它。
圖形變換
如果你知道 \(y = f(x)\) 的樣子，你可以利用以下規則來移動它：
1. \(f(x) + a\)： 將圖形向上移動 \(a\) 個單位。
2. \(f(x + a)\)： 將圖形向左移動 \(a\) 個單位。（括號內是「反常」的——它與你直覺預期的方向相反！）
3. \(af(x)\)： 在垂直方向拉伸圖形。
4. \(f(ax)\)： 在水平方向將圖形壓縮，比例因子為 \(1/a\)。
鼓勵： 變換通常是這一章最難的部分。只需記住：括號外的變化影響 Y（垂直），括號內的變化影響 X（水平且方向相反）。
重點提示： 永遠標註你的漸近線以及圖形與軸的交點（x 截距與 y 截距）。
快速回顧箱
• 指數： \(x^0 = 1\)，\(x^{1/2} = \sqrt{x}\)。
• 判別式： \(b^2 - 4ac\) 可判斷根的個數。
• 因式定理： 若 \(f(a) = 0\)，則 \((x-a)\) 是因式。
• 漸近線： 圖形趨近但永遠不會觸碰的直線。