歡迎來到二進制算術的世界！
你有沒有想過，當電腦在遊戲中計算你的分數或解決數學題時，它是如何「思考」的呢？由於電腦是由無數個只能處於開啟 (1) 或關閉 (0) 狀態的微小開關所組成的，因此它們只能用這兩個數字來進行所有運算。這就是所謂的二進制算術 (Binary Arithmetic)。
在本指南中，我們將學習如何像電腦一樣進行二進制加法，以及如何使用「位元移位 (binary shifts)」來以閃電般的速度進行乘法和除法。如果一開始覺得困難也不用擔心——只要學會這四條簡單的加法規則，你也能成為人腦計算機！
第一部分：二進制加法
二進制加法與你在小學學過的加法非常相似。你需要將數字按位對齊，並從右到左進行計算。唯一的區別是你不能出現「2」或「3」——你必須將多出的值「進位 (carry)」到下一欄。
四大黃金法則
當你對兩個二進制位進行加法時，只有四種可能的結果：
1. \( 0 + 0 = 0 \)
2. \( 0 + 1 = 1 \)
3. \( 1 + 0 = 1 \)
4. \( 1 + 1 = 10 \)（在本欄寫 0，並向左邊下一欄進位 1）。
三個數字相加（進階級）
根據 AQA 教學大綱，你可能需要一次相加多達三個二進制數字。這意味著你可能會遇到同一欄中有三個 1 的情況！
• 如果該欄加起來等於 3（三個 1），規則是：寫下 1 並向下一欄進位 1。這是因為十進制的 3 在二進制中是 11。
速查小盒子：
• 總和為 0：寫 0，進位 0
• 總和為 1：寫 1，進位 0
• 總和為 2：寫 0，進位 1
• 總和為 3：寫 1，進位 1
逐步範例
讓我們來相加 0110 (6) 和 0111 (7)：
步驟 1（右欄）： \( 0 + 1 = 1 \)。寫下 1。
步驟 2（下一欄）： \( 1 + 1 = 10 \)。寫下 0，進位 1。
步驟 3（下一欄）： \( 1 + 1 + \)（進位的 1） \( = 11 \)。寫下 1，進位 1。
步驟 4（左欄）： \( 0 + 0 + \)（進位的 1） \( = 1 \)。寫下 1。
最終答案： 1101（即十進制的 13！）
常見錯誤：忘記加上「進位」的數字。請務必在下一欄的頂部清楚寫下你的進位數字，以免漏掉！
重點總結：二進制加法其實就是「數一數」該欄有多少個 1。如果有兩個 1，就要進位；如果有三個 1，就是寫 1 並進位 1。
第二部分：二進制位元移位 (Binary Shifts)
二進制移位是一種聰明的技巧，用來將數字乘以或除以 2 的冪次（2, 4, 8, 16 等）。對於電腦來說，將位元向左或向右「移位」比進行長乘法運算要快得多。
左移：乘法
當執行左移 (left shift) 時，二進制數中的每一位都會向左移動。每移動一位，該數字就會翻倍。
• 左移 1 位：乘以 \( 2^1 \)（乘以 2）
• 左移 2 位：乘以 \( 2^2 \)（乘以 4）
• 左移 3 位：乘以 \( 2^3 \)（乘以 8）
範例：以二進制數 0000 0101（即 5）為例。
向左移 2 位：「101」向左移動兩個位置，並在右邊留下的空位補 0。
結果：0001 0100（即 20！注意 \( 5 \times 4 = 20 \)）。
右移：除法
右移 (right shift) 會將每一位向右移動。每移動一位，該數字就會除以 2。
• 右移 1 位：除以 2
• 右移 2 位：除以 4
範例：以 0000 1000（即 8）為例。
向右移 1 位：將所有位元向右移動一位。
結果：0000 0100（即 4！注意 \( 8 \div 2 = 4 \)）。
你知道嗎？二進制移位是「邏輯移位 (Logical Shifts)」。這意味著當位元移出 8 位元的界限時，它們就會直接消失！此外，產生的空位總是會填入 0。
第三部分：移位的實際應用
為什麼我們不直接進行普通算術而要用移位？在計算機科學中，效率就是一切。
1. 速度：移位是 CPU 能執行的最快操作之一。如果程式設計師需要乘以 8，他們會告訴電腦「左移 3 位」，因為這比「乘以 8」更快。
2. 圖形處理：當電腦計算顏色或移動螢幕上的像素時，它們使用二進制移位來每秒處理數百萬次計算。
鼓勵一下：如果移位讓你感到困惑，試著把它想像成將十進制數字乘以 10。你只需要把數字向左移，然後補一個 0。二進制移位完全一樣，只是基數換成了 2！
重點總結：左移 = 變大（乘法）。右移 = 變小（除法）。每一次跳躍都是 2 的冪次。
複習速查表
二進制加法規則：
• \( 0+0 = 0 \)
• \( 1+0 = 1 \)
• \( 1+1 = 0 \) 進位 1
• \( 1+1+1 = 1 \) 進位 1
二進制移位規則：
• 左移 \( n \) 位：乘以 \( 2^n \)
• 右移 \( n \) 位：除以 \( 2^n \)
• 8 位元限制：在考試中，你通常處理的是 8 位元。如果 1 被移出了邊界，它就會丟失。
最後小撇步：務必將你的二進制答案轉回十進制來檢查你的計算結果。如果你的十進制加法結果與二進制加法相符，那就代表你做對了！