歡迎來到二進制算術！
你有沒有想過電腦在進行數學運算時，實際上是怎樣「思考」的？由於電腦是由只能處於 開啟 (ON, 1) 或 關閉 (OFF, 0) 狀態的小型開關組成的，因此它們不能像我們一樣使用 0-9 的數字。取而代之的是，它們使用二進制算術 (binary arithmetic)。
在本章中，我們將學習電腦處理數字的兩種主要方式：將它們相加，以及透過位移 (shifting) 來進行乘法或除法。如果一開始覺得有點奇怪也不用擔心——只要學會了四個簡單的加法規則，你很快就會成為二進制專家！
1. 二進制加法
二進制加法的運作方式與你在小學學過的「直式加法」完全相同，但實際上更簡單，因為需要記住的數字更少。在我們的十進制系統（基數 10）中，當數字達到十時就需要進位。而在二進制（基數 2）中，當數字達到二時，我們就需要進位！
四大黃金規則
要計算任何二進制加法，你只需要記住這四個結果：
1. \(0 + 0 = 0\)
2. \(0 + 1 = 1\)
3. \(1 + 1 = 0\) （進位 1 到下一位）
4. \(1 + 1 + 1 = 1\) （進位 1 到下一位）
逐步教學：兩個數字相加
讓我們將 \(00101011\) (43) 和 \(00010110\) (22) 相加。
步驟 1： 從最右側（最低有效位，Least Significant Bit）開始。
步驟 2： 逐位應用規則。
步驟 3： 如果遇到 1 加 1，寫下 0 並將 1「進位」到左邊的鄰位。
快速複習： 我們為什麼要進位？就像在 \(7 + 5 = 12\) 中，你寫下 2 並進位 1。在二進制中，\(1 + 1\) 等於「二」，寫作 \(10\)。因此，我們寫下 \(0\) 並進位 \(1\)。
三個數字相加
課程大綱指出你可能需要同時相加多達三個二進制數字。規則是一樣的！
例子： 如果某一列有三個 1 (\(1 + 1 + 1\))，總和就是「三」。在二進制中，三寫作 \(11\)。
所以，你需要寫下 1 並進位 1。
常見錯誤：溢位 (Overflow)
在考試中，答案的長度最多為 8 位元 (8 bits)。你不需要將數字進位到第 9 位。如果你發現 8 位元的加法運算最後多出了一個「進位」，請務必檢查你的計算！
重點總結： 二進制加法就是帶進位的直式加法。記住 \(1+1\) 是 \(0\) 進位 \(1\)，而 \(1+1+1\) 是 \(1\) 進位 \(1\)。
2. 二進制位移
二進制位移 (binary shifts) 是電腦進行乘法和除法的一種超快速方法。電腦不需要進行複雜的數學運算，只需將位元向左或向右滑動即可。
邏輯左移 (乘法)
當你將位元向左移動時，數值會變大。
- 向左移 1 位，數值乘以 \(2\)。
- 向左移 2 位，數值乘以 \(4\) (\(2 \times 2\))。
- 向左移 3 位，數值乘以 \(8\) (\(2 \times 2 \times 2\))。
操作方法：
1. 將每個位元向左移動指定的位數。
2. 在右側的空位補上 0。
3. 任何從左側「掉出」的位元會直接被捨棄。
邏輯右移 (除法)
當你將位元向右移動時，數值會變小。
- 向右移 1 位，數值除以 \(2\)。
- 向右移 2 位，數值除以 \(4\)。
操作方法：
1. 將每個位元向右移動。
2. 在左側的空位補上 0。
3. 任何從右側「掉出」的位元就永遠消失了！
現實生活中的類比
想像數字 \(500\)。如果你將所有位數向左移動一位並補上一個 \(0\)，它就變成了 \(5000\)（乘以 10）。二進制位移的做法完全相同，但因為基數是 2，所以它是乘以或除以 2 的冪次方 (powers of 2)。
你知道嗎？ 對電腦處理器來說，位移比實際的乘法運算「便宜」得多。只需滑動位元就能節省更多的能量和時間！
2 的冪次方速查表
如果考試要求你使用位移進行乘法或除法，請使用此清單：
- \(2^1 = 2\)（左/右移 1 位）
- \(2^2 = 4\)（左/右移 2 位）
- \(2^3 = 8\)（左/右移 3 位）
- \(2^4 = 16\)（左/右移 4 位）
重點總結： 左移 = 乘法。右移 = 除法。記得將新的空位補上 0。
總結清單
在繼續學習之前，請確保你能：
- 將兩個 8 位元二進制數相加。
- 將三個 8 位元二進制數相加。
- 使用左移將數字乘以 2、4 或 8。
- 使用右移將數字除以 2、4 或 8。
- 解釋位移是如何用於 2 的冪次方的簡單乘除法。
考試小撇步： 檢查二進制加法時，可以先將數字轉換為十進制進行正常加法，看看你的二進制答案是否匹配！