歡迎來到分數、小數和百分比的世界！
在本章中，我們將探索表示「整體的一部分」的三種不同方式。無論你是看到半價優惠、測量 \( \frac{3}{4} \) 杯麵粉，還是檢查 0.5 公升的水瓶，其實你都在運用這些技巧！讀完這些筆記後，你會發現分數、小數和百分比只是同一個數值換上了不同的裝扮而已。
1. 理解分數
分數代表整體的一部分。它由兩個數字組成：分子（上面的數字）和分母（下面的數字）。
分數的類型
- 真分數：分子小於分母（例如 \( \frac{1}{2} \)）。
- 假分數：分子大於或等於分母（例如 \( \frac{7}{4} \)）。這些有時被稱為「頭重腳輕」的分數。
- 帶分數：由一個整數和一個分數組成（例如 \( 1 \frac{3}{4} \)）。
分數的四則運算
加法和減法：你必須先找到公分母！
例子： \( \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4} \)。
如果分母不同，請找出最小公倍數 (LCM) 將它們變為相同分母。
乘法：這是最簡單的！只需分子乘分子，分母乘分母即可。
\( \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \)
除法：使用 KFC 方法！
1. Keep (保留)：保留第一個分數。
2. Flip (翻轉)：翻轉第二個分數（這稱為倒數）。
3. Change (改變)：將除號改為乘號。
快速複習：最簡分數
記得檢查分子和分母是否能同時除以同一個數，以簡化分數。例如，\( \frac{10}{20} \) 可以簡化為 \( \frac{1}{2} \)。
重點提示：分數本質上就是除法。\( \frac{3}{4} \) 字面上就是「3 除以 4」。
2. 小數與位值
小數利用位值來表示整體的一部分。小數點右邊的每一位數值，都比前一位小 10 倍。
- 第一位是十分位（\( \frac{1}{10} \)）。
- 第二位是百分位（\( \frac{1}{100} \)）。
- 第三位是千分位（\( \frac{1}{1000} \)）。
常見錯誤警示！
別被小數的長度騙了！學生經常以為 \( 0.125 \) 比 \( 0.4 \) 大，因為 125 比 4 大。然而，\( 0.4 \) 其實是 \( 0.400 \)。由於 4 個十分之一大於 1 個十分之一，所以 \( 0.4 \) 才是較大的數字。
有限小數 vs 循環小數：
有限小數會終止（如 \( 0.5 \) 或 \( 0.375 \)）。
循環小數則會無限循環（如 \( 0.333... \)，記作 \( 0.\dot{3} \)）。
重點提示：把小數想像成金錢，會更容易理解。\( 0.5 \) 就像 5 角（或 0.5 元），而 \( 0.05 \) 只有 5 分錢！
3. 百分比：百分之多少
百分比 (Percentage) 一詞源自 "per cent"，意即「每一百個裡面」。
計算某數量的百分比
你可以使用乘數 (multiplier) 來快速計算。如果要找出 \( 80 \) 的 \( 15\% \)：
1. 將百分比轉換為小數：\( 15\% = 0.15 \)。
2. 相乘：\( 0.15 \times 80 = 12 \)。
百分比的增加與減少
將數值增加 \( 20\% \)，即是計算原數值的 \( 120\% \)（乘數 = \( 1.20 \)）。
將數值減少 \( 20\% \)，即是計算原數值的 \( 80\% \)（乘數 = \( 0.80 \)）。
你知道嗎？
百分比是可以互換的！\( 50 \) 的 \( 8\% \) 與 \( 8 \) 的 \( 50\% \) 是完全一樣的。（兩者都是 4）。這招可以讓心算變得容易得多！
重點提示：百分比其實就是分母為 100 的分數。
4. 三者之間的轉換
能夠在這三者之間靈活轉換是 GCSE 數學的一項「超能力」。如果一開始覺得困難別擔心，多練習就會變成本能。
分數轉小數
用分子除以分母。
例子：將 \( \frac{3}{8} \) 轉為小數，計算 \( 3 \div 8 = 0.375 \)。
小數轉百分比
乘以 100（將小數點向右移兩位）。
例子： \( 0.45 \times 100 = 45\% \)。
百分比轉分數
將百分比寫在 100 分母上並簡化。
例子： \( 60\% = \frac{60}{100} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \)。
快速複習欄：常見等值
試著把它們背下來！
\( \frac{1}{2} = 0.5 = 50\% \)
\( \frac{1}{4} = 0.25 = 25\% \)
\( \frac{3}{4} = 0.75 = 75\% \)
\( \frac{1}{10} = 0.1 = 10\% \)
\( \frac{1}{3} = 0.\dot{3} = 33.3\% \)
5. 數值排序 (N1)
當考題要求你「由小到大排列」時，最好的訣竅就是先將它們全部轉為小數。比較 \( 0.5 \)、\( 0.45 \) 和 \( 0.6 \) 比比較 \( \frac{1}{2} \)、\( 45\% \) 和 \( \frac{3}{5} \) 要容易得多。
例子：排列 \( \frac{3}{4} \)、\( 0.8 \) 和 \( 70\% \)。
1. 全部轉換：\( 0.75 \)、\( 0.8 \)、\( 0.7 \)。
2. 比較：\( 0.7 \) 最小，其次是 \( 0.75 \)，最後是 \( 0.8 \)。
3. 按原始格式寫出：\( 70\% \)、\( \frac{3}{4} \)、\( 0.8 \)。
6. 真實世界應用
家庭理財 (N2/R9)
你在「金錢」背景的題目中經常會看到這些內容：
- 利息：貸款支付的額外費用或存款賺取的收益。單利 (Simple Interest) 代表你計算一次百分比，然後每年增加相同的金額。
- 利潤/虧損：如果你用 \( \$10 \) 買入，以 \( \$15 \) 賣出，你就賺了 \( 50\% \) 的利潤。
- 增值稅 (VAT)：加在商品價格上的稅款（英國通常為 \( 20\% \)）。
分數與比率 (N11)
分數與比率密切相關。如果男孩與女孩的比率是 \( 2:3 \)，那麼總共有 \( 5 \) 份。男孩佔的分數是 \( \frac{2}{5} \)，女孩佔的分數是 \( \frac{3}{5} \)。
重點提示：在處理比率與分數轉換時，務必先找出總份數。
7. 僅限高級組 (Higher Tier)：循環小數轉分數
如果你參加的是高級組考試，你需要知道如何將像 \( 0.\dot{7} \) 這樣的循環小數透過代數轉為分數。
逐步教學：
1. 令 \( x = 0.7777... \)
2. 乘以 10 以移動小數點：\( 10x = 7.7777... \)
3. 用第二個方程式減去第一個：\( 10x - x = 7.7777 - 0.7777 \)
4. 得出：\( 9x = 7 \)
5. 解出 \( x \)：\( x = \frac{7}{9} \)
記憶法：如果只有一個數字循環，分母就是 9。如果兩個數字循環（如 \( 0.\dot{1}\dot{2} \)），分母就是 99！
總結：「三大重點」檢查清單
- 分數：除法用 KFC，加減法要通分。
- 小數：加減時記得對齊小數點。
- 百分比：想成「百分之多少」。利用乘數來快速計算。
- 排序：將所有數值轉為小數，比較起來最容易。