Algebraic fractions

掌握代數分式 (IGCSE 0607)

歡迎來到代數分式的世界！如果「x」和「y」組成的分式讓你感到頭痛，別擔心。這一章其實只是把你已經熟悉的普通分數運算規則，應用到代數中而已。掌握這項技能對於日後解開複雜方程式和處理高等代數至關重要。

可以這樣理解：代數分式就是分子或分母（或兩者皆有）包含變數（字母）的分式。

1. 化簡代數分式

化簡的黃金法則與數值分數完全一樣：你只能約去相乘的公因子，而不能約去通過加減法連接的項。

步驟 1：通過約去公因子來化簡（核心概念）

如果分式是由單項式組成的（單一項相乘），只需尋找分子和分母中相同的數字和變數即可。

例 1（核心）： 化簡 \(\frac{6x^2}{3x}\)

1. 數字化簡：\(\frac{6}{3} = 2\)。
2. 利用指數定律化簡變數：\(\frac{x^2}{x} = x^{2-1} = x\)。
結果： \(2x\)

例 2（核心）： 化簡 \(\frac{10ab}{15ac}\)

1. 數字：\(\frac{10}{15} = \frac{2}{3}\)。
2. 變數：約去共同的 \(a\)，剩餘 \(b\) 和 \(c\)。
結果： \(\frac{2b}{3c}\)

步驟 2：通過因式分解來化簡（進階概念）

如果表達式中包含加法或減法（即多項式），你必須先對分子和分母進行因式分解，然後再尋找相同的括號因子進行約簡。

類比：上鎖的房間
你只有在食材擺在檯面上時才能拿走它（約去因子）。如果食材被鎖在冰箱或櫃子裡（括號中的因式），你必須連同整個冰箱或櫃子一起處理！你不能只拿走括號的一部分。

因式分解與化簡的步驟：

1. 完全分解： 將分子和分母徹底進行因式分解。
2. 識別公因子： 尋找完全相同的括號表達式。
3. 約簡： 約去這些公因子（括號）。

例 3（進階）： 化簡 \(\frac{x^2 - 4}{x^2 + x - 6}\)

1. 分子因式分解（平方差公式）：
\(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\)
2. 分母因式分解（十字相乘法）：
\(x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)\)
3. 重寫分式： \(\frac{(x - 2)(x + 2)}{(x + 3)(x - 2)}\)
4. 約簡： 約去公因子 \((x - 2)\)。
結果： \(\frac{x + 2}{x + 3}\)

化簡的關鍵提醒： 一定要先進行因式分解！只要看到加號或減號，在嘗試約簡之前，請先戴上你的「因式分解帽」。

2. 代數分式的乘法與除法

這些運算通常比加減法容易，因為你不需要進行通分。

2.1 乘法

規則很簡單：分子與分子相乘，分母與分母相乘。

乘法步驟：

1. （可選但建議）因式分解： 將四個部分（兩個分子、兩個分母）全部因式分解。
2. 交叉約簡： 約去任意分子與任意分母之間的公因子。
3. 相乘： 將剩餘的分子和分母分別相乘。

例 4（進階）： 計算 \(\frac{x}{3} \times \frac{x - 5}{2}\)

因為這裡沒有東西可以因式分解或約簡：

分子相乘： \(x(x - 5)\)
分母相乘： \(3 \times 2 = 6\)
結果： \(\frac{x^2 - 5x}{6}\) (或 \(\frac{x(x - 5)}{6}\))

例 5（進階）： 計算 \(\frac{2x}{x+1} \times \frac{x^2+x}{4}\)

1. 將右上方的式子進行因式分解： \(x^2+x = x(x+1)\)。
重寫： \(\frac{2x}{x+1} \times \frac{x(x+1)}{4}\)
2. 約簡： 約去因子 \((x+1)\)。將 2 和 4 化簡為 \(\frac{1}{2}\)。
重寫： \(\frac{x}{1} \times \frac{x}{2}\)
3. 相乘： \(x \times x = x^2\)。 \(1 \times 2 = 2\)。
結果： \(\frac{x^2}{2}\)

2.2 除法

除法的規則是：保留、變號、倒轉 (Keep, Change, Flip, KCF)。

• 保留 (Keep)： 第一個分式不變。
• 變號 (Change)： 將除號改為乘號。
• 倒轉 (Flip)： 將第二個分式取倒數。

完成 KCF 後，就按照乘法問題（上述的步驟 1, 2, 3）處理即可。

例 6（進階）： 計算 \(\frac{3a}{4} \div \frac{9a}{10}\)

1. KCF： \(\frac{3a}{4} \times \frac{10}{9a}\)
2. 約簡：
\(\rightarrow\) 上方的 \(3\) 與下方的 \(9\) 約簡（留下 \(3\)）。
\(\rightarrow\) 下方的 \(4\) 與上方的 \(10\) 同除以 2（留下 \(2\) 和 \(5\)）。
\(\rightarrow\) 約去 \(a\)。
3. 乘上剩餘項： \(\frac{1}{2} \times \frac{5}{3}\)
結果： \(\frac{5}{6}\)

乘除法的關鍵提醒： 除法要變為乘法 (KCF)。務必嘗試在進行最後乘法之前交叉約簡，這樣可以讓你的數字保持簡潔！

3. 代數分式的加法與減法

這是最棘手的運算，因為你必須找到公分母。

想像一下你要把蘋果和橘子加在一起——這是不可能的！你需要把牠們轉化為同類項，比如「水果塊」。在代數中，你在合併前也需要將分式化為相同的分母。

加減法步驟：

1. 尋找最小公倍數 (LCM)： 確定分母的最小公倍數 (LCM)。這將成為新的公分母。
2. 調整分子： 將每個分式的分子乘以相應的因子，使分母變為 LCM。
3. 合併： 將整個表達式寫在同一個分母下。
4. 化簡： 展開並合併分子中的同類項。（如果可以，嘗試對最後的分子進行因式分解，看看能否與分母約簡，雖然通常不一定能約掉）。

尋找 LCM（關鍵技能）

LCM 必須包含來自每個分母的所有唯一因子。

例 7（進階 - 簡易 LCM）： 計算 \(\frac{x}{3} + \frac{x - 4}{2}\)

1. LCM： 3 和 2 的 LCM 是 6。
2. 調整：
\(\rightarrow\) 第一個分式乘以 \(\frac{2}{2}\)： \(\frac{x \times 2}{3 \times 2} = \frac{2x}{6}\)
\(\rightarrow\) 第二個分式乘以 \(\frac{3}{3}\)： \(\frac{(x - 4) \times 3}{2 \times 3} = \frac{3(x - 4)}{6}\)
3. 合併： \(\frac{2x + 3(x - 4)}{6}\)
4. 化簡分子： \(2x + 3x - 12 = 5x - 12\)
結果： \(\frac{5x - 12}{6}\)

例 8（進階 - 代數 LCM）： 計算 \(\frac{1}{x - 2} + \frac{x + 1}{x - 3}\)

1. LCM： 由於分母沒有共同因子，LCM 為 \((x - 2)(x - 3)\)。
2. 調整：
\(\rightarrow\) 第一個分式乘以 \(\frac{x - 3}{x - 3}\)： \(\frac{1(x - 3)}{(x - 2)(x - 3)}\)
\(\rightarrow\) 第二個分式乘以 \(\frac{x - 2}{x - 2}\)： \(\frac{(x + 1)(x - 2)}{(x - 3)(x - 2)}\)
3. 合併（小心！）：
\(\frac{(x - 3) + (x + 1)(x - 2)}{(x - 2)(x - 3)}\)
4. 化簡分子： 展開分子中的括號。
\((x - 3) + (x^2 - 2x + x - 2)\)
\((x - 3) + (x^2 - x - 2)\)
合併同類項： \(x^2 + (x - x) + (-3 - 2) = x^2 - 5\)
結果： \(\frac{x^2 - 5}{(x - 2)(x - 3)}\)

例 9（進階 - 減法）： 計算 \(\frac{5}{x + 1} - \frac{2}{x + 4}\)

1. LCM： \((x + 1)(x + 4)\)
2. 調整：
\(\rightarrow\) 第一個分式： \(\frac{5(x + 4)}{(x + 1)(x + 4)}\)
\(\rightarrow\) 第二個分式： \(\frac{2(x + 1)}{(x + 1)(x + 4)}\)
3. 合併： \(\frac{5(x + 4) - 2(x + 1)}{(x + 1)(x + 4)}\)
4. 化簡分子： (記得分配 \(-2\))
\((5x + 20) - (2x + 2)\)
\(5x + 20 - 2x - 2\)
\(3x + 18\)
結果： \(\frac{3x + 18}{(x + 1)(x + 4)}\)

快速複習總結：四則運算