Averages and measures of spread

統計學第一章：平均值與離差測度

歡迎來到平均值與離差測度這一章！在統計學中，我們會收集大量數據，但原始數字通常雜亂無章。這一章將教你如何利用幾個關鍵數字來總結這些數據。

你可以把它想像成閱讀書評，而不是整本書：

• 平均值（平均數 Mean、中位數 Median、眾數 Mode）告訴你數據的「典型」或中心趨勢（故事的主要情節）。
• 離差測度（全距 Range、四分位距 IQR）告訴你數據的分散程度（角色或事件的變化有多大）。

掌握這些概念對於準確比較不同的數據集至關重要。讓我們開始吧！

第一節：集中趨勢測度（平均值）

三種主要的平均值（也稱為集中趨勢測度）是眾數、中位數和平均數。

1.1 眾數 (Mode)

眾數是數據集中出現次數最多的數值。
它是最容易找到的，且適用於任何類型的數據（甚至是像「最喜愛的顏色」這種非數值數據）。

如何找出眾數：尋找最高頻率（次數）。
例子：數據集：5, 8, 8, 10, 12。
眾數是 8。

重要提示：

• 數據集可以有多於一個眾數（雙眾數、多眾數等）。
• 如果所有數值只出現一次，則該組數據沒有眾數。

1.2 中位數 (Median)

中位數是將數據按大小順序排列後，位於中間位置的數值。

個別數據的步驟指南：

1. 將數據排序（由小到大）。
2. 計算數據總個數 \(n\)。
3. 使用公式找出中位數的位置：位置 \( = \frac{n + 1}{2} \)。
4. 找出該位置上的數值。

情況 1：數據個數為奇數 (n 為奇數)

例子：數據集：12, 5, 10, 8, 15。(\(n=5\))
1. 排列後的數據：5, 8, 10, 12, 15。
2. 位置：\(\frac{5 + 1}{2} = 3\)。
3. 中位數是第 3 個數值：10。

情況 2：數據個數為偶數 (n 為偶數)

例子：數據集：5, 8, 10, 12。(\(n=4\))
1. 位置：\(\frac{4 + 1}{2} = 2.5\)。這代表中位數位於第 2 個和第 3 個數值（8 和 10）之間。
2. 計算這兩個中間值的平均數來求得中位數：
中位數 \( = \frac{8 + 10}{2} = \mathbf{9}\)。

1.3 平均數 (Mean)

平均數是所有數值的總和除以數據的個數。它是最常見的平均值，代表數據的數學中心。

平均數公式 (\(\bar{x}\))：
$$ \bar{x} = \frac{\text{所有數值之和}}{\text{數據個數}} = \frac{\sum x}{n} $$

例子：數據集：5, 8, 10, 12。(\(n=4\))
$$ \bar{x} = \frac{5 + 8 + 10 + 12}{4} = \frac{35}{4} = \mathbf{8.75} $$

第二節：離差測度（變異度）

離差測度告訴我們數據點之間的分散程度。兩組數據可能有相同的平均數，但如果一組的分散程度小，另一組的分散程度大，它們所反映的情況就截然不同！

2.1 全距 (Range)

全距是最簡單的離差測度。

公式：
$$ \text{全距} = \text{最大值} - \text{最小值} $$

例子：數據集：5, 8, 10, 12, 15。
全距 \( = 15 - 5 = \mathbf{10}\)。

缺點：全距完全取決於兩個極端值，這意味著它對極端值非常敏感。

2.2 四分位數與四分位距 (IQR)

為了得到更穩健的離差測度（即忽略極端值的測度），我們使用四分位數。四分位數將有序數據分成四個相等的部分。

四分位數：

• \(\mathbf{Q_1}\)：下四分位數（25% 的數據小於此值）。這是下半部分的數據的中位數。
• \(\mathbf{Q_2}\)：中位數（50% 的數據小於此值）。
• \(\mathbf{Q_3}\)：上四分位數（75% 的數據小於此值）。這是上半部分的數據的中位數。

四分位距 (Interquartile Range, IQR) 用來衡量中間 50% 數據的分散程度。

IQR 公式：
$$ \text{IQR} = Q_3 - Q_1 $$

個別數據求四分位數的步驟

1. 將數據排序。
2. 找出中位數 (\(Q_2\))。
3. 此時數據被分成兩半（下半部和上半部）。
4. \(Q_1\) 是下半部數據的中位數。
5. \(Q_3\) 是上半部數據的中位數。

例子 1：數據集 (\(n=7\))：2, 4, 6, 8, 10, 12, 14

• \(Q_2\) (中位數)：8
• 下半部（不含 8）：2, 4, 6。\(Q_1\)（下半部中間值） = 4。
• 上半部（不含 8）：10, 12, 14。\(Q_3\)（上半部中間值） = 12。
• IQR \( = 12 - 4 = \mathbf{8}\)。

例子 2：數據集 (\(n=8\))：1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15

• \(Q_2\) (中位數)：7 和 9 之間。\(Q_2 = 8\)。
• 下半部：1, 3, 5, 7。\(Q_1\)（3 和 5 的平均數） = 4。
• 上半部：9, 11, 13, 15。\(Q_3\)（11 和 13 的平均數） = 12。
• IQR \( = 12 - 4 = \mathbf{8}\)。

第三節：使用頻數分佈表

當你有大量離散數據時，列出每一個數值是不切實際的。我們會使用頻數分佈表，其中 \(f\) 是頻數（該數值出現的次數），\(x\) 是數據值。

3.1 從頻數分佈表計算平均數、中位數和四分位數（離散數據）

1. 計算平均數：
我們不逐個相加 \(x\)，而是使用總頻數 \(\sum f\) 和 (頻數 \(\times\) 數值) 的總和 \(\sum fx\)。

頻數分佈表的平均數公式：
$$ \bar{x} = \frac{\sum fx}{\sum f} $$

平均數計算步驟：

1. 建立 \(fx\) 的列（將 \(f\) 乘以 \(x\)）。
2. 對 \(fx\) 列求和得到 \(\sum fx\)。
3. 對 \(f\) 列求和得到 \(\sum f\)（這就是 \(n\)）。
4. 相除得出結果。

2. 計算中位數和四分位數：
同樣需要先找到位置：位置 \( = \frac{n + 1}{2}\)。
使用累計頻數（頻數的累計總和）在表格中定位該位置所屬的數值。

例子：若 \(\sum f = 50\)。
中位數位置：\(\frac{50 + 1}{2} = 25.5\)。我們要找包含第 25 個和第 26 個數據點的數值 \(x\)。
\(Q_1\) 位置：\(\frac{50 + 1}{4} \approx 12.75\)。我們要找包含第 13 個數據點的數值 \(x\)。

第四節：分組數據處理（進階內容）

有時數據會被分組到各個區間（例如：0-10, 10-20 等）。當數據分組後，我們失去了具體的原始值，因此我們只能計算平均值的估計值。

4.1 估計分組數據的平均數

因為我們不知道具體數值，我們假設區間內的所有數據點都位於該區間的組中點。

估計平均數步驟：

1. 找出每個區間的組中點 (\(m\))。
   $$ \text{組中點} = \frac{\text{下限} + \text{上限}}{2} $$
2. 計算每個組的估計總和：\(fm\)（頻數 \(\times\) 組中點）。
3. 使用平均數公式，將 \(x\) 替換為 \(m\)：
   $$ \text{估計平均數} = \frac{\sum fm}{\sum f} $$

你知道嗎？ 你的圖形計算機 (GDC) 可以直接計算分組頻數數據的平均數，只需輸入組中點作為數據值，並輸入相應頻數即可。(課程大綱 C10.5/E10.5)

4.2 辨識眾數組

當數據分組後，我們無法找出準確的眾數，但我們可以找出眾數組。

眾數組就是具備最高頻率 (\(f\)) 的區間。

第五節：累計頻數（進階內容 E10.8）

累計頻數有助於我們快速找到分組數據的中位數和四分位數。

5.1 什麼是累計頻數？

累計頻數 (Cumulative Frequency, CF) 是頻數的累加總和。它告訴你截至某一特定區間結束時，數據的總個數。

例子：如果第 1 組的頻數是 10，第 2 組的頻數是 15，則第 2 組的 CF 為 \(10 + 15 = 25\)。

5.2 繪製與解讀累計頻數曲線（累積頻數多邊形/肩形圖）

累計頻數圖是繪製 CF 對數據值的圖表。

重要的繪圖規則：
你必須在縱軸繪製累計頻數，並在橫軸繪製區間的上限。

連接點時，應使用平滑曲線。（記得從第一組的下限且 CF 為 0 的位置開始畫）。

5.3 從累計頻數曲線估計平均值與離差測度

若 \(N\) 是總頻數，我們可以通過讀取圖表來估計關鍵數值：

1. 中位數 (\(Q_2\))：
位置：\(\frac{N}{2}\)。
求法：在 CF 軸上找到 \(\frac{N}{2}\)，水平讀取至曲線，然後垂直向下讀取至橫軸。

2. 四分位數 (\(Q_1\) 和 \(Q_3\))：
\(Q_1\) 位置：\(\frac{N}{4}\)（即 \(N\) 的 25%）。
\(Q_3\) 位置：\(\frac{3N}{4}\)（即 \(N\) 的 75%）。
求法：從這些位置水平讀取至曲線，再垂直向下讀取至數據軸。

3. 四分位距 (IQR)：
計算 \( \mathbf{IQR} = Q_3 - Q_1 \)。

4. 百分位數：
百分位數代表數據集中低於該數值的給定百分比的觀測值。
例子：要找出第 80 百分位數，找到 \(N\) 的 80% 位置：\(0.80 \times N\)。從該值水平讀取至曲線再向下對應即可。