IGCSE 國際數學 (0607) 學習筆記
第 10.5 章：使用計算機 (GDC) 計算平均值
各位同學好！歡迎來到統計學中最實用的一個章節。在 0607 課程大綱中，你必須學會使用圖像計算機 (GDC) 來快速且準確地處理複雜的數據分析。這能幫你在考試（卷三、四、五及六）中節省大量時間，並大幅降低運算錯誤。
本節重點在於如何運用 GDC 自動找出數據的集中趨勢（平均值）和離散程度（四分位數）。讓我們開始吧！
第一部分：關鍵統計術語快速重溫
在開始操作 GDC 之前，先讓我們重溫一下我們要計算的內容。（這些概念在 C10.4 中已有深入探討。）
- 平均值 (Mean, \(\bar{x}\))： 常見的算術平均數。將所有數據總和除以數值個數。它容易受極端值影響。
- 中位數 (Median, Med)： 將數據排序後位於正中間的數值。它受極端值（離群值）的影響較小。
- 四分位數 (Quartiles, \(Q_1\) 及 \(Q_3\))： 將數據集分為四等份。
- \(Q_1\)（下四分位數）是位於 25% 位置的數值。
- \(Q_3\)（上四分位數）是位於 75% 位置的數值。
- 四分位距 (Interquartile Range, IQR)： 衡量離散程度的一種指標：\(IQR = Q_3 - Q_1\)。
重點提示： GDC 非常強大，因為它能透過一個通常稱為「單變數統計」(1-Variable Statistics) 的功能，一次過計算出平均值、中位數和四分位數。
第二部分：設定圖像計算機 (GDC)
要計算平均值，你必須進入 GDC 的 STATISTICS（統計） 模式。具體按鍵取決於你的型號（例如 Casio 或 Texas Instruments），但邏輯都是一樣的。
步驟 1：進入統計模式
找到並按下進入統計數據輸入的按鍵（通常標示為 STAT 或 DATA）。
你會看到表格，通常標記為 L1, L2, L3（List 1, List 2, List 3）。
步驟 2：清除舊數據
關鍵提示： 在開始新題目之前，務必先清除所有舊數據！殘留在列表中的舊數字會導致計算結果錯誤。
步驟 3：數據輸入：列表 (Lists)
視乎數據類型，你會用到 L1 和 L2：
- L1 (List 1)： 永遠用於輸入 數據值 (x)。
- L2 (List 2)： 用於輸入 頻數 (f)。如果你的數據只是單純的一組數字（並非頻數分組表），只需使用 L1。
第三部分：計算離散數據的平均值
離散數據 (Discrete Data) 指的是只能取特定、可數數值的數據（例如兄弟姐妹的人數、鞋碼）。這類數據可能以簡單列表或非分組的頻數表形式給出。
例子 A：簡單數據列表
數據集：10, 15, 12, 18, 10, 15, 10
- 輸入數據： 進入 STAT 模式，將所有數值輸入到 L1 中。(10, 15, 12, 18, 10, 15, 10)
- 設定頻數： 由於沒有頻數列，計算時必須將頻數設定為 1 (或 Off/None)。
- 計算： 執行 1-Variable Statistics 計算。
例子 B：頻數表中的離散數據
一家商店在 50 天內售出的外套數量 (x)。
| 外套數量 (x) | 天數 (f) |
|---|---|
| 0 | 5 |
| 1 | 15 |
| 2 | 20 |
| 3 | 10 |
- 輸入數據： 將「外套數量 (x)」輸入到 L1 (0, 1, 2, 3)。
- 輸入頻數： 將「天數 (f)」輸入到 L2 (5, 15, 20, 10)。
解讀 GDC 輸出的離散數據結果
GDC 會顯示一堆結果，你必須識別以下符號：
- 平均值： 顯示為 \(\mathbf{\bar{x}}\)。
- 數據總數： 顯示為 \(\mathbf{n}\) 或 \(\mathbf{\sum f}\)。（在例子 B 中，n 應為 50。）
- 中位數： 顯示為 Med 或 Q2。
- 四分位數： 顯示為 \(\mathbf{Q_1}\) 和 \(\mathbf{Q_3}\)。
你知道嗎？ 如果你手動計算 IQR (\(Q_3 - Q_1\))，計算機上顯示的「全距」(Max x - Min x) 是另一種衡量離散程度的指標。
快速回顧：離散數據
L1 放數據，L2 放頻數。計算機可以直接幫你算出準確的平均值、中位數和四分位數。
第四部分：計算分組數據的平均值
課程要求你使用計算機找出分組數據的平均值 (mean for grouped data)。當數據分組（如 10 < t \(\le\) 20）時，我們無法求出確切平均值，只能計算出平均值估計值。
此計算需要使用每個組別的組中點 (Midpoint)。
分步過程（估計平均值）
例子：分組頻數表。
| 時間 (分鐘) | 頻數 (f) |
|---|---|
| 0 < t \(\le\) 10 | 4 |
| 10 < t \(\le\) 20 | 6 |
| 20 < t \(\le\) 30 | 10 |
- 計算組中點 (x)： 對於每個組別，找出中間值。
- 0 < t \(\le\) 10 的中點：\((0 + 10) / 2 = \mathbf{5}\)
- 10 < t \(\le\) 20 的中點：\((10 + 20) / 2 = \mathbf{15}\)
- 20 < t \(\le\) 30 的中點：\((20 + 30) / 2 = \mathbf{25}\)
- 將中點輸入 L1： 輸入 (5, 15, 25) 到 L1。
- 將頻數輸入 L2： 輸入 (4, 6, 10) 到 L2。
- 計算： 執行 1-Variable Statistics，確保 L1 是數據列表，L2 是頻數列表。
計算機顯示的 \(\mathbf{\bar{x}}\) 就是分組數據的平均值估計值。
類比：為何要用組中點？
想像有 4 位學生做功課的時間在 0 到 10 分鐘之間。由於我們不知道每位學生的精確時間，我們只能假設他們都用了組中點（5 分鐘）。在計算平均值時，組中點是該組別最好的代表數值。
關於分組數據四分位數的重要說明
雖然 GDC 在輸入中點 (L1) 和頻數 (L2) 後也能輸出四分位數，但這些數值通常是基於中點進行線性插值計算出的。在 IGCSE 0607 中，分組數據的四分位數和中位數通常是透過累積頻數圖 (Cumulative Frequency Diagrams) (E10.8) 來獲取。在 C10.5 和 E10.5 中，請主要專注於用 GDC 計算分組數據的平均值。
重點提示： 對於分組數據，GDC 使用 L1（組中點）和 L2（頻數）來計算平均值估計值。
第五部分：常見錯誤與使用技巧
A. 應避免的常見錯誤
- 忘記清除數據： 開始新問題前，務必清除 L1 和 L2。
- 頻數設定錯誤： 若輸入單一數據點至 L1，頻數設定必須為「1」。若使用頻數表，確保頻數設定指向 L2。
- 直接輸入分組上下限： 處理分組數據時，絕對不要直接將上下限輸入 L1，必須先算出組中點！
- 混淆 L1 和 L2： 確認數據值（或組中點）在「數據」列表，頻數在「頻數」列表。
B. 記憶小撇步：兩步統計檢查
按下最後的計算按鈕前，問自己：
1. 我的數據 (x) 在哪個列表？（通常是 L1）
2. 我的頻數 (f) 在哪個列表？（L2，若為簡單列表則設為 1）
C. 精確度處理
記住計算機試卷的黃金法則：
不要過早進行四捨五入！ 計算過程中請使用計算機顯示的完整數值。只有在最後的最終答案才按要求進行取捨（除非另有說明，通常為 3 位有效數字，或角度取 1 位小數）。
你已經掌握了 IGCSE 統計學的核心工具！多練習這些操作，能讓你在考試時更快速、更有信心。