🎯 IGCSE International Mathematics (0607) 學習筆記：坐標幾何
👋 前言：為什麼坐標幾何很重要？
歡迎來到坐標幾何的世界！這一章節的核心是關於如何在二維平面上精確地定位點與直線。試著想像一下，這就像是擔任航空交通管制員，或是使用 GPS 地圖導航一樣——你需要準確的指示，才能知道物體在哪裡以及它們往哪裡移動。
在本節中，你將學習描述、測量和定義直線的基本工具，這對於之後學習函數圖像以及處理更複雜的幾何問題是非常重要的基礎。如果這些公式看起來很複雜，別擔心；它們其實只是計算時的高效捷徑而已！
1. 笛卡兒坐標：尋找你的位置
C4.1 / E4.1: 使用及詮釋二維笛卡兒坐標。
笛卡兒坐標系（或稱坐標平面）使用兩條互相垂直的軸線來定義每一個位置。
核心定義
- 原點 (Origin)：這是起點，即兩軸的交點。其坐標為 \((0, 0)\)。
- x 軸：水平軸。沿此軸的移動量是坐標對中的第一個數字。
- y 軸：垂直軸。沿此軸的移動量是第二個數字。
- 坐標 (Coordinate) 總是寫成 \((x, y)\)。
🧠 記憶口訣：「先走再爬」
請務必先沿著水平的 x 軸移動（像走廊一樣走過去），然後再沿著垂直的 y 軸向上或向下移動（像爬樓梯一樣）。
例子：點 \((4, -2)\) 表示從原點開始，向右移動 4 個單位，再向下移動 2 個單位。
重點總結
坐標 \((x, y)\) 是平面上一點的精確地址。記住一定要從原點開始，先讀取 \(x\)，再讀取 \(y\)。
2. 直線的斜率（陡峭程度）
C4.2 / E4.2: 求出直線的斜率。
斜率 (Gradient) (\(m\)) 用來衡量直線的陡峭程度與方向。斜率越大，線就越陡；斜率為零，代表這是一條水平線。
基本概念：垂直變化量比水平變化量
斜率的計算方式是垂直距離的變化量（\(y\) 的變化）除以水平距離的變化量（\(x\) 的變化）。
$$ \text{斜率 } (m) = \frac{y \text{ 的變化量}}{x \text{ 的變化量}} = \frac{\text{垂直上升}}{\text{水平跨越}} $$
計算方法 1：從網格圖上求出（Core 核心課程）
如果你手上有畫在網格上的圖，你可以直接數格子：
- 在線上挑選兩個清晰的點。
- 數數看你向上或向下移動了多少單位（垂直上升）。
- 數數看你向右移動了多少單位（水平跨越）。
- 計算 \(m = \text{垂直上升} / \text{水平跨越}\)。
計算方法 2：從兩點坐標計算（Extended 延伸課程）
如果題目只給你兩個點的坐標 \((x_1, y_1)\) 和 \((x_2, y_2)\)，你必須使用斜率公式：
$$ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $$
例子：求點 \(A(1, 5)\) 和 \(B(4, -1)\) 之間的斜率。
$$ m = \frac{-1 - 5}{4 - 1} = \frac{-6}{3} = -2 $$
詮釋斜率的正負號
- 正斜率：直線向上傾斜（從左到右）。
- 負斜率：直線向下傾斜（從左到右）。
- 零斜率 (\(m=0\))：一條完全平坦的水平線 (\(y = k\))。
- 未定義斜率：一條完全垂直的豎直線 (\(x = k\))。（因為除數不能為零！）
⚠️ 常見錯誤提醒：請務必確保相減時的順序一致！如果你分子先用了 \(y_2\)，分母就必須先用 \(x_2\)。
重點總結
斜率 (\(m\)) 告訴你直線的傾斜程度。計算時使用「垂直上升/水平跨越」（Core 使用數格子法）或公式（Extended 使用坐標計算）。
3. 線段測量：長度與中點
C4.3 / E4.3: 計算線段長度及求出線段中點。
3.1 長度（距離公式）
兩點 \(A(x_1, y_1)\) 和 \(B(x_2, y_2)\) 之間的距離，本質上是透過構造一個直角三角形，並使用畢氏定理 (Pythagoras' Theorem) 來求得。
水平距離是 \((x_2 - x_1)\)，垂直距離是 \((y_2 - y_1)\)。
$$ \text{長度 } (d) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$
你知道嗎？因為你會將距離平方，所以無論哪一點標記為 \((x_1, y_1)\) 或 \((x_2, y_2)\) 都不會影響結果。長度永遠是正數！
例子：求 \((1, 2)\) 和 \((4, 6)\) 之間的距離。
$$ d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} $$ $$ d = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ 單位} $$
3.2 中點公式
中點 (Midpoint) 是兩端點之間正中間的點。要求出中點，只需分別算出 \(x\) 坐標和 \(y\) 坐標的平均值即可。
$$ \text{中點 } (M) = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) $$
💡 類比：分享旅程。如果你和朋友在半路會合，你們其實就是將各自的出發位置取平均值！
例子：求 \((1, 2)\) 和 \((5, 10)\) 之間的中點。
$$ M = \left( \frac{1 + 5}{2}, \frac{2 + 10}{2} \right) = \left( \frac{6}{2}, \frac{12}{2} \right) = (3, 6) $$
測量公式速查表
- 長度： \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) (畢氏定理)
- 中點： \(\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)\) (求平均值)
4. 線性方程
C4.4 / E4.4: 詮釋及取得 \(y = mx + c\) 形式的直線方程。
直線方程讓你能夠預測線上的任何一點。最重要的形式是斜截式：
$$ y = mx + c $$
- \(m\) 是斜率。
- \(c\) 是 y 軸截距（直線與 y 軸相交的位置，即點 \((0, c)\)）。
逐步教學：如何求出方程
當題目給予兩個點，或者一個點和斜率時，請依照以下步驟：
- 求 \(m\)： 使用公式 \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) 計算斜率（若在網格上則直接數格子）。
- 求 \(c\)： 將已知的點 \((x, y)\) 和算出的斜率 \(m\) 代入 \(y = mx + c\) 中，解出 \(c\)。
- 寫出最終方程： 將 \(m\) 和 \(c\) 的數值代入，寫成 \(y = mx + c\) 的形式。
例子：求斜率為 \(m=3\) 且通過點 \((2, 7)\) 的直線方程。
1. \(m=3\) (已知)。
2. 將 \((2, 7)\) 代入 \(y = 3x + c\)：
\(7 = 3(2) + c\)
\(7 = 6 + c\)
\(c = 1\)
3. 方程為：\(\mathbf{y = 3x + 1}\)
特殊情況：水平線與垂直線
- 水平線：斜率為零 (\(m=0\))。方程永遠是：
$$ y = k $$
（其中 \(k\) 是 y 軸截距。例子：\(y=5\)）
- 垂直線：斜率未定義。方程永遠是：
$$ x = k $$
（其中 \(k\) 是 x 軸截距。例子：\(x=-3\)）
(僅限 Extended) 其他方程形式
有時線性方程會以 \(\mathbf{ax + by = c}\) 的形式給出。你必須懂得將其重排為 \(y=mx+c\)，以便輕鬆識別斜率 (\(m\)) 和 y 軸截距 (\(c\))。
例子：求 \(5x + 4y = 8\) 的 \(m\) 和 \(c\) (Syllabus E4.4 例子)
\(4y = -5x + 8\)
\(y = -\frac{5}{4}x + \frac{8}{4}\)
\(y = -\frac{5}{4}x + 2\)
因此，\(m = -\frac{5}{4}\) 且 \(c = 2\)。
重點總結
核心線性方程是 \(y=mx+c\)。使用算出的斜率 (\(m\)) 並代入一點即可求出 y 軸截距 (\(c\))。
5. 平行線與垂直線
這些概念將兩條直線的斜率關聯起來，讓你能夠找出相關直線的方程。
C4.5 / E4.5: 平行線
如果兩條直線平行，它們永遠不會相交，這意味著它們具有完全相同的陡峭程度（相同的斜率）。
若直線 1 的斜率為 \(m_1\)，直線 2 的斜率為 \(m_2\)：
$$ m_1 = m_2 $$
例子：平行於 \(y = 4x - 1\) 的直線，其斜率也必須是 \(m = 4\)。
逐步教學：求平行線方程
問題：求平行於 \(y = 4x - 1\) 且通過點 \((1, -3)\) 的直線方程。(Syllabus E4.5 例子)
- 已知直線的斜率為 \(m = 4\)，因此新的平行線斜率也必須為 \(m = 4\)。
- 將 \(m=4\) 及點 \((1, -3)\) 代入 \(y = mx + c\)：
\(-3 = 4(1) + c\) - 解出 \(c\)：\(-3 = 4 + c\)，得到 \(c = -7\)。
- 方程為 \(\mathbf{y = 4x - 7}\)。
E4.6: 垂直線（僅限 Extended 課程）
如果兩條直線垂直，它們會以直角 (\(90^\circ\)) 相交。它們的斜率有一種特定的關係：互為負倒數。
若直線 1 的斜率為 \(m_1\)，則垂直線的斜率 \(m_2\) 為：
$$ m_2 = -\frac{1}{m_1} $$
這也意味著當你將兩個斜率相乘時，結果必須為 \(-1\)：
$$ m_1 \times m_2 = -1 $$
例子：
- 若 \(m_1 = 5\)，則 \(m_2 = -\frac{1}{5}\)。
- 若 \(m_1 = \frac{2}{3}\)，則 \(m_2 = -\frac{3}{2}\)。
- 若 \(m_1 = -4\)，則 \(m_2 = \frac{1}{4}\)。
垂直線的主要應用 (Extended)
你可能會被要求求出垂直平分線 (Perpendicular Bisector) (E4.6) 的方程。這結合了兩個技巧：
- 求出中點（平分意指切成兩半）。
- 求出垂直斜率。
- 利用中點與垂直斜率代入 \(y=mx+c\) 來組成方程。
例子：直線 L1 連接 \((1, 1)\) 和 \((3, 5)\)。求通過 \((3, 0)\) 且與 L1 垂直的直線方程。
1. 求 \(m_1\)：\(m_1 = \frac{5 - 1}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2\)
2. 求 \(m_2\) (垂直斜率)：\(m_2 = -\frac{1}{2}\)
3. 將 \(m_2 = -\frac{1}{2}\) 及點 \((3, 0)\) 代入 \(y = mx + c\)：
\(0 = (-\frac{1}{2})(3) + c\)
\(0 = -\frac{3}{2} + c\)
\(c = \frac{3}{2}\) 或 1.5
4. 方程為：\(\mathbf{y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}}\)
重點總結
平行線共享相同的斜率 (\(m_1 = m_2\))。垂直線的斜率互為負倒數 (\(m_1 \times m_2 = -1\))。