Equations

歡迎來到方程章節！

哈囉各位數學家！這一章位於代數的核心，將教你學習中最實用的一項技能：如何解數學謎題。

方程式就像一個平衡的天平：兩邊必須完全相等。我們的任務就是找出能讓天平保持平衡的數值（或多個數值！）。掌握方程至關重要，因為它是模擬現實情況（從金融到物理）的基礎。讓我們開始解題吧！

---

第 1 節：建立與重排公式 (C2.5.1, C2.5.5, E2.5.1)

1.1 將文字翻譯成數學語言

在解題之前，我們通常需要先建立問題。這意味著要將句子轉換為代數表達式 (algebraic expression)、方程式 (equation) 或 公式 (formula)。

關鍵定義：

• 表達式： 包含數字、變數和運算符號的數學短語（例如：\(2x + 5\)）。它沒有等號。
• 方程式： 表示兩個表達式相等的陳述（例如：\(2x + 5 = 11\)）。
• 公式： 一種特殊的方程式，顯示不同數量之間的關係，通常用字母表示（例如：面積 \(A = \pi r^2\)）。

建立公式的小撇步（延伸課程 E2.5.1）：
處理涉及數列或關係的問題時，請仔細翻譯：

• 「比 n 大 2 的數」 翻譯為 \(n + 2\)。(C2.5.1)
• 「兩個連續偶數的積。」 如果第一個偶數是 \(x\)，下一個偶數一定是 \(x + 2\)。其積為 \(x(x + 2)\)。

1.2 改變公式的主項（重排）

改變主項是指將不同的變數分離在等號的一側。你可以把它想像成把特定的變數放在聚光燈下。

逐步指南：簡單公式（核心課程 C2.5.5）

對於核心課程的學生，主項變數通常只出現一次，且不涉及冪或根號。

1. 找出你想要分離的變數（即新的主項）。
2. 使用逆運算將其他所有項移走。記住「黃金法則」：兩邊必須同時做一樣的事！

範例：將 \(y = 3x - 5\) 的主項改為 \(x\)。

• \(y = 3x - 5\)
• 兩邊同時加 5：\(y + 5 = 3x\)
• 兩邊同時除以 3：\(\frac{y + 5}{3} = x\)

新的公式為 \(x = \frac{y + 5}{3}\)。

---

第 2 節：解線性方程 (C2.5.2)

2.1 一元線性方程

線性方程意味著未知變數（通常是 \(x\)）的最高次方為 1。解通常是一個單一的數字。

逐步解題（天平法）

目標是將所有含有未知變數的項放在一邊，所有常數放在另一邊。

範例 1：解 \(3x + 4 = 10\)

1. 兩邊同時減 4：\(3x = 10 - 4\)
2. 簡化：\(3x = 6\)
3. 兩邊同時除以 3：\(x = \frac{6}{3}\)
4. 解：\(x = 2\)

範例 2：解 \(5 - 2x = 3(x + 7)\)

1. 展開括號：\(5 - 2x = 3x + 21\)
2. 整理 \(x\) 項（通常將 \(x\) 移到係數為正的一側會比較簡單）：兩邊同時加 \(2x\)。
   \(5 = 3x + 2x + 21 \rightarrow 5 = 5x + 21\)
3. 整理常數項：兩邊同時減 21。
   \(5 - 21 = 5x \rightarrow -16 = 5x\)
4. 除以 5：\(x = -\frac{16}{5}\) 或 \(-3.2\)

常見錯誤： 忘記對另一邊的每一項進行逆運算，或在移動項時搞錯正負號。特別要小心像上面範例中 \(-2x\) 這樣的負係數！

2.2 解分式方程（延伸課程 E2.5.3）

如果方程式中包含分數，首要任務是消去分母。

使用數字分母

範例：解 \(\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5\)

1. 找出分母（2 和 3）的最小公倍數 (LCM)。LCM 是 6。
2. 將方程中的每一項都乘以 LCM (6)：
   \(6 \times \frac{x}{2} + 6 \times \frac{x}{3} = 6 \times 5\)
3. 簡化（消去分母）：
   \(3x + 2x = 30\)
4. 解出結果的線性方程：\(5x = 30 \rightarrow x = 6\)

使用代數分母（延伸課程 E2.5.3）

這就比較棘手了！你必須乘以一個能消去*所有*分母的項。

範例：解 \(\frac{2}{x+2} + \frac{3}{2x-1} = 1\)

1. 將每一項乘以兩個分母，即 \((x+2)(2x-1)\)：
   \((x+2)(2x-1) \times \frac{2}{x+2} + (x+2)(2x-1) \times \frac{3}{2x-1} = 1 \times (x+2)(2x-1)\)
2. 消去各項：
   • \(2(2x-1) + 3(x+2) = (x+2)(2x-1)\)
3. 展開所有括號：
   • \(4x - 2 + 3x + 6 = 2x^2 - x + 4x - 2\)
4. 簡化並整理各項（這通常會產生一個二次方程）：
   • \(7x + 4 = 2x^2 + 3x - 2\)
   • \(0 = 2x^2 - 4x - 6\)（現在解這個二次方程，可能透過因式分解或使用公式！）

---

第 3 節：聯立線性方程 (C2.5.3, E2.5.4)

當你有兩個或以上的未知變數（例如 \(x\) 和 \(y\)）時，你需要同樣數量的方程式才能找到唯一解。我們是在尋找兩條直線的交點 \((x, y)\)。

我們有兩種主要方法：消元法 (Elimination) 和 代入法 (Substitution)。

3.1 方法一：消元法

這種方法透過將兩個方程相加或相減，使得其中一個變數「消失」（被消去）。

逐步消元

考慮以下方程：
(1) \(3x + 2y = 19\)
(2) \(x + 2y = 13\)

1. 對齊係數： 檢查 \(x\) 或 \(y\) 的係數（前面的數字）是否相同。（在此範例中，\(y\) 的係數均為 2）。
2. 相加或相減： 由於 \(y\) 項的符號相同（均為 \(+2y\)），我們將方程式 (1) 減去方程式 (2) 以消去 \(y\)。
   \((3x - x) + (2y - 2y) = (19 - 13)\)
   \(2x = 6\)
3. 解第一個變數： \(x = 3\)
4. 代回求值： 將 \(x\) 的值代入任何一個原始方程式以求出 \(y\)。使用 (2)：
   \(3 + 2y = 13 \rightarrow 2y = 10 \rightarrow y = 5\)
5. 最終答案： \(x = 3\)，\(y = 5\)。(如果題目要求，寫成座標形式 \((3, 5)\)。)

記憶口訣：同號相減 (SSS)，異號相加 (DSA)。 這能幫助你記住步驟 2 中應該相加還是相減。

3.2 方法二：代入法

如果其中一個變數已經被分離出來，或者其係數為 1，這種方法通常是最好的。

逐步代入

考慮以下方程：
(1) \(y = x + 1\)
(2) \(4x + y = 16\)

1. 分離變數： (1) 已經解出 \(y\) 的表達式。
2. 代入： 用該表達式替換*另一個*方程中的變數。將 \((x + 1)\) 代入方程 (2) 中的 \(y\)：
   \(4x + (x + 1) = 16\)
3. 解第一個變數：
   \(5x + 1 = 16 \rightarrow 5x = 15 \rightarrow x = 3\)
4. 代回求值： 將 \(x = 3\) 代回最簡單的方程 (1)：
   \(y = 3 + 1 \rightarrow y = 4\)
5. 最終答案： \(x = 3\)，\(y = 4\)。

---

第 4 節：解二次方程 (延伸課程 E2.5.5)

二次方程 (Quadratic equation) 包含 \(x^2\) 項，且可以寫成標準形式：\(ax^2 + bx + c = 0\)，其中 \(a \neq 0\)。這些方程通常有兩個解。

4.1 方法一：因式分解法

如果你能將二次表達式進行因式分解，你可以利用以下事實：若 \(A \times B = 0\)，則 \(A = 0\) 或 \(B = 0\)（或兩者皆是）。

範例：解 \(x^2 - 5x + 6 = 0\)

1. 因式分解二次式：\((x - 2)(x - 3) = 0\)
2. 將每個因子設為零：
   • \(x - 2 = 0 \rightarrow x = 2\)
   • \(x - 3 = 0 \rightarrow x = 3\)
3. 解：\(x = 2\) 或 \(x = 3\)。

4.2 方法二：二次公式法

當二次方程無法輕易進行因式分解（或根本無法分解）時，你必須使用公式。此公式會列在考試卷的公式表上！

對於方程 \(ax^2 + bx + c = 0\)，其解為：
\[\n x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\n \]

範例：解 \(2x^2 + 5x - 3 = 0\)

1. 找出 \(a\)、\(b\) 和 \(c\)：在此，\(a=2\)、\(b=5\)、\(c=-3\)。
2. 將數值代入公式： \[\n x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)}\n \]
3. 簡化判別式 (\(b^2 - 4ac\))：\(25 - (-24) = 49\)。 \[\n x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{4}\n \]
4. 使用 \(\pm\) 計算出兩個解：
   \(x_1 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = 0.5\)
   \(x_2 = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3\)

你知道嗎？ \(\sqrt{b^2 - 4ac}\) 被稱為判別式 (discriminant)。如果它是負數，則沒有實數解！

關於根式形式 (Surd form, E2.5.5) 的說明： 有時題目會要求「精確值」，或要求將答案保留在根式形式。如果 \(\sqrt{b^2 - 4ac}\) 不是一個完全平方數，請簡化根式，但不要換算成小數。
例如，如果你得到 \(\frac{2 + \sqrt{20}}{2}\)，則簡化 \(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)，最終答案為 \(1 + \sqrt{5}\)。

4.3 方法三：使用 GDC 解二次方程 (C2.5.4, E2.5.5)

你的圖形顯示計算機 (GDC) 是一個強大的工具，可以透過繪製函數圖形快速解方程。

若要解 \(ax^2 + bx + c = 0\)，你可以繪製函數 \(y = ax^2 + bx + c\)。解就是圖形與 \(x\) 軸相交的點。這些點被稱為零點 (zeros) 或根 (roots)。

GDC 操作步驟：

1. 進入計算機的圖形功能並輸入方程式（例如 Y1）。
2. 繪製函數圖形。
3. 使用「Zero」或「Root」功能（通常在 CALC 或 G-Solve 選單中）找出 \(x\) 截距。

---

第 5 節：進階方程與重排（延伸內容 E2.5.6, E2.5.7）

5.1 複雜的主項改變（延伸課程 E2.5.6）

對於延伸數學，你必須能夠重排主項出現多次、或涉及冪和根號的公式。

情況 1：冪與根號

若要撤銷冪，請使用逆運算（根號）。若要撤銷根號，請使用逆運算（冪）。

範例：將圓錐體積公式 \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\) 的主項改為 \(r\)

1. 兩邊乘以 3：\(3V = \pi r^2 h\)
2. 除以 \(\pi h\)：\(\frac{3V}{\pi h} = r^2\)
3. 開平方根：\(r = \sqrt{\frac{3V}{\pi h}}\)

情況 2：主項出現兩次

你必須先將所有含有新主項的項收集到一側，然後因式分解將其提出。

範例：將 \(A = \frac{t+k}{t}\) 的主項改為 \(t\)

1. 兩邊乘以 \(t\) 以清除分母：\(At = t + k\)
2. 將含有 \(t\) 的項移到左側：\(At - t = k\)
3. 將 \(t\) 提出來（這是關鍵步驟！）：\(t(A - 1) = k\)
4. 透過除以括號 \((A - 1)\) 來分離 \(t\)：\(t = \frac{k}{A - 1}\)

5.2 使用 GDC 解陌生方程（C2.5.4, E2.5.7）

課程要求你使用 GDC 來解非線性或陌生的方程，例如三角方程或倒數方程。

透過尋找交點來解題

當面對像 \(2x - 1 = \frac{1}{x}\) 這樣的方程時，代數解法可能很困難。GDC 可以透過將方程拆分為兩個函數來輕鬆解決：

• 函數 1：\(y_1 = 2x - 1\)
• 函數 2：\(y_2 = \frac{1}{x}\)

原始方程的解就是兩個圖形交點的 \(x\) 座標。

GDC 操作步驟：

1. 將 \(y_1\) 和 \(y_2\) 輸入 GDC 的圖形功能。
2. 調整視窗設定（縮放），直到能清晰看到圖形的交點。
3. 使用「Intersection」功能（通常在 CALC 或 G-Solve 中）找到交點。計算機將給出 \(x\) 和 \(y\) 值；而我們需要的就是 \(x\) 值作為解。