歡迎來到三角函數精確值（Exact Trigonometric Values）的世界！

你好！這一章節至關重要，特別是在你的「非計算機試卷」（non-calculator papers）中。為什麼呢？因為有時候，數學不希望你使用近似值（例如 0.707...），而是要求你給出精確值（例如 \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) 或 \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)）。

在本節中，我們將學習如何推導並記住幾個非常特殊的角度的精確正弦（sine）、餘弦（cosine）和正切（tangent）值：\(0^{\circ}\)、\(30^{\circ}\)、\(45^{\circ}\)、\(60^{\circ}\) 以及 \(90^{\circ}\)。這些數值可是三角學的基石！

第一節：為什麼我們需要精確值？

當你在計算機上輸入 \(\sin(60^{\circ})\) 時，你會得到大約 0.866。但其精確值其實是 \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)。在許多考試情境下，特別是處理無理數（根式）時，你必須使用精確形式。

重點總結：精確值涉及整數和無理數（如 \(\sqrt{2}\) 或 \(\sqrt{3}\)），這對於不允許使用計算機的題目來說非常關鍵。

第二節：利用特殊三角形推導精確值

我們可以使用兩個簡單的直角三角形來推導出大部分數值。如果一開始覺得有點難也不用擔心；畫出這些三角形是最好的複習工具！

2.1 \(45^{\circ}\) 三角形（等腰直角三角形）

從一個邊長為 1 的正方形開始。

  1. 沿對角線將正方形切開，形成兩個直角三角形。
  2. 內部的角度分別為 \(90^{\circ}\)、\(45^{\circ}\) 和 \(45^{\circ}\)。
  3. 兩條較短的邊長均為 1。
  4. 使用畢氏定理（Pythagoras' Theorem，即 \(a^2 + b^2 = c^2\)）來求斜邊：
    \(c^2 = 1^2 + 1^2 = 2\)
    \(c = \sqrt{2}\)

在這個三角形上使用 SOH CAH TOA：

  • 正弦 \(\sin(45^{\circ})\) (SOH)：對邊 / 斜邊
    \(\sin(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\)（通常有理化為 \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)）
  • 餘弦 \(\cos(45^{\circ})\) (CAH)：鄰邊 / 斜邊
    \(\cos(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\)（通常有理化為 \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)）
  • 正切 \(\tan(45^{\circ})\) (TOA)：對邊 / 鄰邊
    \(\tan(45^{\circ}) = \frac{1}{1} = 1\)

記憶小撇步：由於兩個非直角相等，因此 \(45^{\circ}\) 的正弦和餘弦值必須相同。而且 \(\tan(45^{\circ})\) 永遠等於 1！

2.2 \(30^{\circ}\) 和 \(60^{\circ}\) 三角形（半等邊三角形）

從一個等邊三角形開始（所有邊和角度都相等）。設邊長為 2（這樣計算會更簡潔）。

  1. 所有角度均為 \(60^{\circ}\)，所有邊長均為 2。
  2. 從頂點向底邊畫一條垂線。這會將三角形精確對半平分，形成一個直角三角形。
  3. 新三角形的角度分別為 \(90^{\circ}\)、\(60^{\circ}\) 和 \(30^{\circ}\)。
  4. 斜邊保持為 2，底邊現在變為 1（2 的一半）。
  5. 使用畢氏定理求出剩餘邊長（高度 \(h\)）：
    \(1^2 + h^2 = 2^2\)
    \(1 + h^2 = 4\)
    \(h^2 = 3\)
    \(h = \sqrt{3}\)

在這個 1-\(\sqrt{3}\)-2 三角形上使用 SOH CAH TOA：

針對 \(30^{\circ}\)：

  • \(\sin(30^{\circ}) = \text{對邊}/\text{斜邊} = \frac{1}{2}\)
  • \(\cos(30^{\circ}) = \text{鄰邊}/\text{斜邊} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
  • \(\tan(30^{\circ}) = \text{對邊}/\text{鄰邊} = \frac{1}{\sqrt{3}}\)（通常有理化為 \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)）

針對 \(60^{\circ}\)：

  • \(\sin(60^{\circ}) = \text{對邊}/\text{斜邊} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
  • \(\cos(60^{\circ}) = \text{鄰邊}/\text{斜邊} = \frac{1}{2}\)
  • \(\tan(60^{\circ}) = \text{對邊}/\text{鄰邊} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}\)

你知道嗎？你會發現 \(\sin(30^{\circ})\) 與 \(\cos(60^{\circ})\) 相等，而 \(\cos(30^{\circ})\) 與 \(\sin(60^{\circ})\) 相等。這是因為 \(30^{\circ} + 60^{\circ} = 90^{\circ}\)！

快速回顧：兩個必備三角形

如果你忘記了數值，立刻畫出以下圖形：

三角形 1 (45°): 邊長 1, 1, \(\sqrt{2}\)。
三角形 2 (30°, 60°): 邊長 1, \(\sqrt{3}\), 2 (斜邊為 2)。

第三節：極端情況：\(0^{\circ}\) 與 \(90^{\circ}\)

\(0^{\circ}\) 和 \(90^{\circ}\) 的值比較特別，因為它們無法形成「正規」的三角形（屬於極限情況）。我們可以透過想像一個直角三角形，當其中一個角變得極小（趨近 \(0^{\circ}\)）或極大（趨近 \(90^{\circ}\)）來理解。

想像直角三角形中有一個微小的角（\(\theta\)）：

  • 當 \(\theta \to 0^{\circ}\) 時，對邊變得極小（趨近於 0），而鄰邊變得幾乎與斜邊一樣長（趨近於 1）。
  • 當 \(\theta \to 90^{\circ}\) 時，對邊變得幾乎與斜邊一樣長（趨近於 1），而鄰邊變得極小（趨近於 0）。

\(0^{\circ}\) 與 \(90^{\circ}\) 的精確值：

  • \(\sin(0^{\circ}) = 0\),   \(\cos(90^{\circ}) = 0\)
  • \(\cos(0^{\circ}) = 1\),   \(\sin(90^{\circ}) = 1\)
  • \(\tan(0^{\circ}) = \frac{\sin(0^{\circ})}{\cos(0^{\circ})} = \frac{0}{1} = 0\)
  • \(\tan(90^{\circ})\)：即 \(\frac{\sin(90^{\circ})}{\cos(90^{\circ})} = \frac{1}{0}\)。除以零在數學上是未定義的。我們稱之為未定義（undefined）或無窮大。

第四節：終極記憶法（平方根法）

如果你在考試中沒時間畫三角形，這個方法是重建正弦與餘弦表格最快的方式。

正弦與餘弦步驟指南 (0°, 30°, 45°, 60°, 90°)
  1. 寫下角度順序：按照 \(0^{\circ}\) 到 \(90^{\circ}\) 的順序排列。
  2. 寫下索引數字：
    • 對於正弦，寫下序列：0, 1, 2, 3, 4。
    • 對於餘弦，反向寫下序列：4, 3, 2, 1, 0。
  3. 套用公式：精確值永遠等於：\(\frac{\sqrt{\text{索引數字}}}{2}\)

範例：求 \(\sin(60^{\circ})\)

\(60^{\circ}\) 在正弦序列中是第三個索引數字（0, 1, 2, 3, 4）。
數值 = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)。 (與我們的三角形推導一致！)

範例：求 \(\cos(45^{\circ})\)

\(45^{\circ}\) 在餘弦序列中是索引數字 2（4, 3, 2, 1, 0）。
數值 = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)。 (與我們的三角形推導一致！)

別忘了正切：一旦有了正弦和餘弦，請記住這個恆等式：
\(\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\)

要避免的常見錯誤

當你計算出 \(\sin(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{1}}{2}\) 時，記得 \(\sqrt{1} = 1\)。所以答案簡單來說就是 \(\frac{1}{2}\)。
同樣地，\(\sin(0^{\circ}) = \frac{\sqrt{0}}{2} = 0\)。

第五節：精確值總表

你需要記住或是能夠快速推導出下表中的數值。

角度 (\(x\)) \(0^{\circ}\) \(30^{\circ}\) \(45^{\circ}\) \(60^{\circ}\) \(90^{\circ}\)
\(\sin(x)\) \(0\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) 或 \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(1\)
\(\cos(x)\) \(1\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) 或 \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(\frac{1}{2}\) \(0\)
\(\tan(x)\) \(0\) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) 或 \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) \(1\) \(\sqrt{3}\) 未定義


重點總結：掌握平方根分子序列（0, 1, 2, 3, 4）的規律。這能確保你在開始考試時，能在 30 秒內重組整個表格！

你做得到的！掌握這些精確值是你在非計算機三角函數題中拿分的保證。多練習畫那兩個特殊三角形，直到它們成為你的直覺為止。