Exponential growth and decay

歡迎來到指數增長與衰減的世界！

你好，未來的數學家！本章是你將學到最實用且有用的課題之一。指數函數描述的是變化極快（無論是激增還是驟減）的過程，它們無處不在——從銀行戶口裡的存款到你手機的價值，都離不開指數函數。

理解指數增長與衰減 (exponential growth and decay) 是掌握數與運算部分的關鍵，特別是在處理複利 (compound interest) 和折舊 (depreciation) 等財務問題時。別擔心公式看起來很複雜；我們會帶你一步步拆解！

第一節：線性變化與指數變化

在深入探討指數公式之前，我們先透過與簡單的線性變化 (linear change) 進行比較，來確保你了解指數變化的強大之處。

1.1 線性變化（簡單）

在線性變化中，你在每個時間週期內都加或減一個固定的數值。

• 例子： 如果你本金 $100，每年賺取 $10 的利息。
• 第一年：$100 + $10 = $110
• 第二年：$110 + $10 = $120
• 第三年：$120 + $10 = $130

1.2 指數變化（強大）

在指數變化中，你在每個時間週期內都乘以一個固定的倍率 (factor)（即百分比增長或減少）。

• 例子： 如果你本金 $100，每年賺取 10% 的利息。
• 第一年：$100 \(\times\) 1.10 = $110
• 第二年：$110 \(\times\) 1.10 = $121
• 第三年：$121 \(\times\) 1.10 = $133.10

看出分別了嗎？在指數變化中，每次增加的金額都會變大，因為百分比是應用於不斷增加的總額上。這就是為什麼它被稱為增長 (growth) 或衰減 (decay)——因為它的速度會持續加快！

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第一節重點總結

線性變化涉及重複的加法或減法。指數變化涉及重複乘以一個固定的增長或衰減系數 (growth or decay factor)。

第二節：通用指數公式

所有涉及指數增長（如複利）或衰減（如折舊）的問題都使用相同的基本結構。即使考試不會提供這個公式，你也必須熟練掌握。

2.1 通用公式

最終金額 (\(A\)) 是根據初始金額 (\(P\))、利率 (\(r\)) 和時間週期數 (\(n\)) 計算出來的。

$$A = P (1 \pm r)^n$$

2.2 理解變數

• \(A\) (Accumulated/Final Amount，累計/最終金額)： 經過 \(n\) 個時間週期後的價值。
• \(P\) (Principal/Initial Amount，本金/初始金額)： 起始數值或數量。
• \(r\) (Rate，利率)： 每個週期的百分比變化，需轉換為小數表達。（例如：利率為 5%，則 \(r = 0.05\)）。
• \(n\) (Number of Periods，週期數)： 增長或衰減發生的次數（通常以年、月等為單位）。
• \((1 \pm r)\)： 這是乘數 (multiplier)，即增長/衰減系數 (growth/decay factor)。

2.3 乘數 \((1 \pm r)\) 的重要性

\((1 \pm r)\) 這一項就是神奇之處。

1. 用於增長 (Increase)： 使用加號：\((1 + r)\)。
例子： 如果某事物每年增長 8%，乘數為 \(1 + 0.08 = 1.08\)。這表示你保留了原來的 100%（即 '1'），再加上 8%。

2. 用於衰減 (Decrease/Depreciation)： 使用減號：\((1 - r)\)。
例子： 如果一輛車每年折舊 15%，乘數為 \(1 - 0.15 = 0.85\)。這表示你保留了原本價值的 85%，而 15% 則是損失掉的。

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第二節重點總結

增長問題使用 \(A = P(1+r)^n\)，衰減問題使用 \(A = P(1-r)^n\)。關鍵在於正確識別小數利率 \(r\) 和時間週期 \(n\)。

第三節：指數增長（複利與人口）

當數量在相等的時段內按固定比例增加時，就會出現指數增長。這最常見於財務（複利）和科學（人口增加）領域。

3.1 應用一：複利（銀行類比）

複利 (Compound Interest) 是指利息不僅計算在初始本金上，還會計入先前期間所累積的利息。

例子： 你投資 $5000，年利率為 4%，每年複利一次，為期 6 年。

步驟 1：標示變數。
初始金額 \(P = 5000\)
利率（小數），\(r = 4\% = 0.04\)
週期數 \(n = 6\)
乘數 \(1 + r = 1.04\)

步驟 2：列出公式。
$$A = 5000 (1 + 0.04)^6$$ $$A = 5000 (1.04)^6$$

步驟 3：計算最終金額（使用 GDC 計算機）。
\(A \approx 6326.60\)（記得金錢問題通常要四捨五入至小數點後兩位。）
6 年後的總價值為 $6326.60。

3.2 應用二：人口變化

如果資源不受限制，人口增長通常遵循指數模型。

例子： 一個城鎮有 15,000 名居民，每年人口增長 2.5%。請問 10 年後人口是多少？

變數： \(P = 15000\), \(r = 0.025\), \(n = 10\)。
$$A = 15000 (1 + 0.025)^{10}$$ $$A = 15000 (1.025)^{10}$$

計算： \(A \approx 19201.27\)
由於人口必須是整數，我們取整：19,201 人。

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第三節重點總結

增長問題使用 \((1+r)\)。確保正確處理時間週期（例如：如果利息是半年複利，你需要將 \(n\) 加倍，將 \(r\) 減半，不過 IGCSE 0607 在此背景下通常著重於年度複利）。

第四節：指數衰減（折舊）

指數衰減 (Exponential decay) 描述的是數量隨時間按固定百分比減少。最常見的現實例子是折舊 (depreciation)，即資產（如汽車或機械）的價值隨時間下降。

4.1 折舊公式

過程與增長相同，但我們在乘數中使用減號：

$$A = P (1 - r)^n$$

4.2 例子：汽車折舊

以 $35,000 購買一輛新車，每年折舊 12%。請問 5 年後的價值是多少？

步驟 1：標示變數。
初始價值 \(P = 35000\)
利率（小數），\(r = 12\% = 0.12\)
週期數 \(n = 5\)
衰減乘數 \(1 - r = 1 - 0.12 = 0.88\)

步驟 2：列出公式。
$$A = 35000 (1 - 0.12)^5$$ $$A = 35000 (0.88)^5$$

步驟 3：計算最終金額（使用 GDC 計算機）。
\(A \approx 18471.19\)
5 年後該車的價值為 $18,471.19。

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第四節重點總結

衰減問題使用 \((1-r)\)。確保你計算的是剩餘價值，而不僅僅是損失的百分比。

第五節：求解時間 (\(n\)) 或利率 (\(r\))

有時候，題目會給你初始和最終金額，並要求你找出經過的時間 (\(n\)) 或變化的利率 (\(r\))。由於變數在指數位置（或在冪次內），通常需要用到代數方法（如對數）。

別擔心！ IGCSE International Mathematics (0607) 課程通常期望你使用圖形計算機 (GDC) 來解決這些方程式。

5.1 求解時間週期 (\(n\))

如果利率為 7%，一筆 $2000 的投資需要多久才能翻倍？

方程式： \(4000 = 2000 (1.07)^n\)

步驟 1：代數簡化方程式。
兩邊同時除以 2000： $$2 = (1.07)^n$$

步驟 2：使用 GDC（圖形法）。

1. 定義 \(Y1 = 2\)（目標金額或比例）。
2. 定義 \(Y2 = (1.07)^x\)（其中 \(x\) 代表 \(n\)）。
3. 畫出兩個函數並使用 GDC 的 "Intersect" 功能找出 \(x\) 的值。

交點將在 \(x \approx 10.24\) 處。因此，投資翻倍大約需要 10.24 年。

5.2 求解利率 (\(r\))

一台機器初始價值為 $10,000，4 年後價值為 $6,500。求該機器的恆定年折舊率 (\(r\))。

方程式： \(6500 = 10000 (1 - r)^4\)

步驟 1：隔離乘數。
除以 10000： $$0.65 = (1 - r)^4$$

步驟 2：求解 \((1 - r)\)。
兩邊同時取四次方根： $$1 - r = \sqrt[4]{0.65}$$ $$1 - r \approx 0.90048$$

步驟 3：求解 \(r\)。
$$r = 1 - 0.90048$$ $$r \approx 0.09952$$

步驟 4：轉換為百分比。
折舊率約為 \(0.09952 \times 100 = 9.95\%\)（保留 3 位有效數字）。

5.3 如果複利週期較頻繁怎麼辦？

雖然標準 IGCSE 題目通常使用年度週期，但有時也會出現按月、按季或按半年變化的情況。

如果銀行提供 6% 的利率，每月複利一次，為期 5 年：

• 利率 \(r\)： 將年利率除以 12。\(r = 0.06 / 12 = 0.005\)
• 時間 \(n\)： 將年數乘以 12。\(n = 5 \times 12 = 60\) 個週期。
• 公式： \(A = P (1 + 0.005)^{60}\)

重點複習總結