歡迎來到二次函數偵探社！
在本章中，我們要學習一項至關重要的技能：反向推導。我們不再是從方程式開始去畫圖，而是根據拋物線（二次函數圖形的形狀）的關鍵特徵，去反向建構出原本的方程式。
這項技能在建模 (Modelling)中非常實用，讓數學家和工程師能精準地算出投射體的路徑、衛星碟盤的曲線，或是拱橋的最優形狀。
快速複習：二次函數
二次函數是指任何可以寫成以下一般形式的函數：
標準式/一般式： \(y = ax^2 + bx + c\)
雖然這個形式對於計算 y 截距 (\(c\)) 很有用，但當我們需要根據給定的點求出方程式時，這通常不是最方便的形式。因此，我們需要依賴另外兩種專業形式。
1. 必備工具：專業形式
為了根據幾何資訊（例如頂點或截距）求出二次函數，我們必須選擇正確的形式。
工具一：頂點式 (Vertex Form)
當你知道拋物線的最高點或最低點時，這個形式最完美。
公式： \(y = a(x - h)^2 + k\)
- \((h, k)\) 是頂點（轉折點）。
- \(a\) 決定了拋物線的方向（若 \(a > 0\) 開口向上；若 \(a < 0\) 開口向下）以及拋物線的拉伸或壓縮程度。
- 記憶小撇步： 記得括號內的符號要變號！如果頂點在 \((2, 5)\)，方程式開頭就是 \((x - 2)^2\)。
工具二：截距式 (Intercept Form)
當你知道圖形與 x 軸的交點（根/零點）時，這個形式最完美。
公式： \(y = a(x - p)(x - q)\)
- \(p\) 和 \(q\) 是 x 截距（根或零點）。這些就是 \(y = 0\) 時的點。
- 同樣地，\(a\) 決定了拉伸程度和方向。
- 常見錯誤警告： 如果截距是 \(x = -3\) 和 \(x = 4\)，那麼因式就是 \((x + 3)\) 和 \((x - 4)\)。符號永遠是相反的！
2. 情境 A：利用頂點和一點求函數
這是最常見的問題類型之一。題目會給你明確的轉折點以及拋物線經過的另一個隨機點。
分步驟處理（使用頂點式）
範例：求出一個頂點為 \((3, 1)\) 且通過點 \((5, 9)\) 的二次函數方程式。
步驟 1：找出 \(h\) 和 \(k\) 並代入頂點式。
頂點 \((h, k)\) 為 \((3, 1)\)。
從公式開始： \(y = a(x - h)^2 + k\)
代入： \(y = a(x - 3)^2 + 1\)
步驟 2：使用另一個點 \((x, y)\) 來解出 \(a\)。
另一個點 \((5, 9)\) 代表 \(x = 5\) 且 \(y = 9\)。將這些值代入步驟 1 的方程式。
\(9 = a(5 - 3)^2 + 1\)
\(9 = a(2)^2 + 1\)
\(9 = 4a + 1\)
步驟 3：求出 \(a\)。
\(9 - 1 = 4a\)
\(8 = 4a\)
\(a = 2\)
步驟 4：寫出最終方程式。
將算出的 \(a\) 值代回步驟 1 的頂點式。
最終答案： \(y = 2(x - 3)^2 + 1\)
情境 A 的重點摘要：
從 頂點式 \(y = a(x-h)^2 + k\) 開始。頂點能讓你直接得到 \(h\) 和 \(k\)。額外的點提供了計算拉伸係數 \(a\) 所需的 \(x\) 和 \(y\)。
3. 情境 B：利用 x 截距和一點求函數
如果你知道圖形與 x 軸的交點，那麼截距式就是你最好的朋友。
分步驟處理（使用截距式）
範例：求出 x 截距為 \(x = -2\) 和 \(x = 4\)，且通過點 \((1, -9)\) 的二次函數方程式。
步驟 1：找出 \(p\) 和 \(q\) 並代入截距式。
截距為 \(p = -2\) 和 \(q = 4\)。
從公式開始： \(y = a(x - p)(x - q)\)
代入（記得因式中的符號要相反！）：
\(y = a(x - (-2))(x - 4)\)
\(y = a(x + 2)(x - 4)\)
步驟 2：使用另一個點 \((x, y)\) 來解出 \(a\)。
點 \((1, -9)\) 代表 \(x = 1\) 且 \(y = -9\)。
\(-9 = a(1 + 2)(1 - 4)\)
\(-9 = a(3)(-3)\)
\(-9 = -9a\)
步驟 3：求出 \(a\)。
\(a = 1\)
步驟 4：寫出最終方程式（若題目要求，則展開）。
代入 \(a = 1\)：
\(y = 1(x + 2)(x - 4)\)
如果題目要求標準式 \(y = ax^2 + bx + c\)，你必須將括號展開：
\(y = x^2 - 4x + 2x - 8\)
最終答案： \(y = x^2 - 2x - 8\)
你知道嗎？從截距求頂點
如果題目給了截距，你可以輕鬆求出頂點的 x 坐標！
拋物線永遠關於其頂點對稱。頂點的 x 坐標剛好位於兩截距的正中央。
如果截距為 \(p\) 和 \(q\)，則頂點的 x 坐標為： \(x_{vertex} = \frac{p + q}{2}\)。
以上面的例子為例 (\(p = -2, q = 4\))： \(x_{vertex} = \frac{-2 + 4}{2} = 1\)。這剛好符合點 \((1, -9)\) 的 x 值，證實了 \((1, -9)\) 就是頂點！
4. 特殊情況：當 \(a = 1\) 時 (課程大綱 E3.4c)
有時考試會簡化問題，直接告訴你拉伸係數 \(a = 1\)。若 \(a=1\)，拋物線的形狀與 \(y = x^2\) 完全相同，只是位置發生了平移。
情境一：已知頂點 \((h, k)\) 且 \(a=1\)
如果頂點是 \((-1, 5)\) 且 \(a=1\)，你根本不需要第二個點！你可以直接寫出方程式：
\(y = 1(x - (-1))^2 + 5\)
方程式： \(y = (x + 1)^2 + 5\)
情境二：已知 x 截距 \(p\) 和 \(q\) 且 \(a=1\)
如果 x 截距是 \(x=0\) 和 \(x=6\)，且 \(a=1\)：
\(y = 1(x - 0)(x - 6)\)
方程式： \(y = x(x - 6)\) 或 \(y = x^2 - 6x\)
給同學的小撇步： 如果題目很簡單，只給了頂點或截距（二選一），那它很可能就是在測驗 \(a=1\) 的情況，或者是仔細找找題目中是否有給出 \(a\) 的說明。如果你需要自己算 \(a\)，題目一定會給你三個資訊（例如兩個點加一個頂點，或是兩個點加兩個截距）。
5. 最終總結：選擇正確的切入點
快速複習欄：
- 若給出 頂點： 使用 \(y = a(x - h)^2 + k\)
- 若給出 x 截距： 使用 \(y = a(x - p)(x - q)\)
- 無論如何： 都要利用額外的點 \((x, y)\) 來算出未知的 \(a\)。
如果起初覺得有點棘手，別擔心！ 二次函數有很多種形式，但只要你將手邊的資訊（頂點或截距）與正確的公式配對，剩下的就只是解 \(a\) 的簡單代數運算。只要多練習，你就能練就選對工具的火眼金睛！