你好，未來的數學家！歡迎來到「數感中心」！
這一章是數學最核心的基礎。分數、小數和百分比（FDP）其實只是表達「整體的一部分」的三種不同方式——就像同一件事可以用三種不同的語言來描述。掌握這些轉換和運算，不僅能提升你的考試成績，還能幫你管理金錢、理解統計數據，並在現實生活中游刃有餘！
如果以前覺得分數很難，別擔心。我們會一步一步拆解每個概念。你一定做得到！
1. 理解三種形式 (C1.4 / E1.4)
分數：整體的一部分
分數代表除法或是一個整體中的某個部分。
- 分子： 上面的數字（你所擁有的部分數量）。
- 分母： 下面的數字（構成整體所需的總部分數）。
我們需要認識三種關鍵分數類型：
1. 真分數： 分子小於分母（例如：\(\frac{3}{4}\)）。數值小於 1。
2. 假分數： 分子大於或等於分母（例如：\(\frac{7}{4}\)）。數值為 1 或更大。
3. 帶分數： 由整數和一個真分數組成（例如：\(1 \frac{3}{4}\)）。
關鍵任務：假分數與帶分數的互換
假分數轉帶分數： 將分子除以分母。
例子： 將 \(\frac{11}{3}\) 轉換。
- 11 除以 3 等於 3，餘數為 2。
- 整數部分是 3。餘數 (2) 成為新的分子。
- 結果：\(3 \frac{2}{3}\)。
帶分數轉假分數： 將整數乘以分母，然後加上分子。
例子： 將 \(2 \frac{1}{5}\) 轉換。
- \((2 \times 5) + 1 = 11\)。
- 結果：\(\frac{11}{5}\)。
小數：十進制的威力
小數是使用十進制系統寫成的分數。每個數字的位置決定了它的價值（十分位、百分位、千分位等）。
例子：0.25 讀作「二十五百分之一」，也就是分數 \(\frac{25}{100}\)。
百分比：百分之百
百分比（符號 \%）的意思是「每 100 當中」。它其實就是分母固定為 100 的分數。
你知道嗎？ 「Percent」一詞來自拉丁文短語 per centum，意思是「按百計」。
關鍵要點 1：等值性
這三種形式——分數、小數、百分比——都代表相同的數值。你必須熟練於它們之間的互相轉換。
2. 識別等值與轉換 (C1.4 / E1.4)
你必須能夠輕鬆地將數量從一種形式轉換為另一種。
A. 分數轉小數 (F → D)
規則：將分子除以分母。
$$\frac{3}{8} = 3 \div 8 = 0.375$$
注意：有些分數，例如 \(\frac{1}{3}\)，會產生循環小數 (0.333...)。
B. 小數轉百分比 (D → P)
規則：將小數乘以 100。
小撇步：將小數點向右移動兩位，並加上 % 符號。
$$0.42 \times 100 = 42\%$$
$$1.5 \times 100 = 150\%$$
C. 百分比轉分數 (P → F)
規則：將百分數放在 100 上面作為分子，然後進行約簡。
$$75\% = \frac{75}{100}$$
約簡（分子分母同時除以 25）：
$$\frac{75 \div 25}{100 \div 25} = \frac{3}{4}$$
D. 百分比轉小數 (P → D)
規則：將百分數除以 100。
小撇步：將小數點向左移動兩位，並去掉 % 符號。
$$6.5\% = 6.5 \div 100 = 0.065$$
快速複習箱：轉換三角形
F → D： 除法
D → P： \(\times 100\)
P → F： 放在 100 上面，約簡
3. FDP 的四則運算 (C1.6 / E1.6)
記得，進行複雜計算時，永遠要遵守運算順序（BODMAS/BIDMAS）。
A. 分數運算
1. 加法與減法
要進行分數加減，分母必須相同（通分）。
步驟 1： 找出分母的最小公倍數 (LCM)。
步驟 2： 使用 LCM 作為新分母，將兩個分數都轉換為等值分數。
步驟 3： 將分子相加或相減，分母保持不變。
例子： 計算 \(\frac{1}{4} + \frac{2}{3}\)。
- 4 和 3 的 LCM 是 12。
- 轉換：\(\frac{1}{4} = \frac{3}{12}\) 且 \(\frac{2}{3} = \frac{8}{12}\)。
- 計算：\(\frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{11}{12}\)。
2. 乘法
規則：將分子相乘作為新分子，分母相乘作為新分母。
步驟 1： 分子相乘。
步驟 2： 分母相乘。
步驟 3： 將結果約簡。
例子： 計算 \(\frac{2}{5} \times \frac{3}{4}\)。
$$\frac{2 \times 3}{5 \times 4} = \frac{6}{20}$$
約簡：\(\frac{6}{20} = \frac{3}{10}\)。
3. 除法
規則：保留第一個分數，將運算改為乘法，並將第二個分數翻轉（取倒數）。
記憶口訣： K.C.F. (Keep, Change, Flip - 保留、更改、翻轉)
例子： 計算 \(\frac{1}{2} \div \frac{3}{5}\)。
- 保留 \(\frac{1}{2}\)。
- 將 \(\div\) 改為 \(\times\)。
- 將 \(\frac{3}{5}\) 翻轉為 \(\frac{5}{3}\)。
- 計算：\(\frac{1}{2} \times \frac{5}{3} = \frac{5}{6}\)。
B. 小數運算
在計算中處理小數時（特別是在無計算機試卷中），對齊是關鍵。
- 加法/減法： 務必對齊小數點。在末尾補零（佔位符）可以避免錯誤。
- 乘法： 先忽略小數點進行乘法，算出答案後，數一數原本數值中共有幾位小數，再將結果的小數點向左移對應位數。
- 除法： 如果除數是小數，請同時移動除數和被除數的小數點，直到除數變成整數。
避免常見錯誤： 將分數轉為小數時，確保正確處理四捨五入。如果題目要求 3 位有效數字 (3 s.f.)，請務必等到*最後一步*才進行四捨五入。
關鍵要點 2：分數運算
加法/減法需要公分母。乘法很直接。除法使用 KCF 規則。
4. 百分比核心計算 (C1.12 / E1.12)
百分比問題通常分為兩大類：
A. 計算數量的百分比
這通常是指當你知道「整體」和「百分率」時，找出「部分」。
例子： 找出 $600 的 30%。
方法 1：使用小數（推薦使用計算機時）
將百分比轉換為小數然後相乘。
$$30\% = 0.30$$
$$0.30 \times 600 = 180$$
結果：$180
方法 2：使用分數/心算（適用於無計算機時）
使用基礎百分比（10%, 1%, 50% 等）。
- \(600 \text{ 的 } 10\% = 60\)。
- \(30\% = 3 \times 10\%\)。
- \(3 \times 60 = 180\)。
B. 將一個數量表示為另一個數量的百分比
這是在問：「A 是 B 的百分之多少？」
規則：寫成分數，然後乘以 100%。
$$\text{百分比} = \frac{\text{部分}}{\text{整體}} \times 100\%$$
例子： 一位學生的成績是 60 分滿分中的 45 分。其得分百分比是多少？
$$\frac{45}{60} \times 100\%$$
先約簡分數：\(\frac{45}{60} = \frac{3}{4}\)。
$$\frac{3}{4} \times 100\% = 75\%$$
C. 計算百分比增加或減少 (C1.12.3)
百分比變化告訴你數值相對於原始值上升或下降了多少。
方法 1：兩步計算法（較長但較安全）
1. 計算實際增加/減少的金額。
2. 將此金額與原始值相加或相減。
方法 2：乘數法（更快且更重要）
乘數是一個單一的小數，你將原始金額乘以它即可得到最終金額。
- 增加： 從 100% 開始。加上百分比。轉換為小數。（例如：增加 20%：\(100\% + 20\% = 120\% = 1.2\)）
- 減少（折扣）： 從 100% 開始。減去百分比。轉換為小數。（例如：減少 15%：\(100\% - 15\% = 85\% = 0.85\)）
例子： 將 $450 增加 12%。
- 新百分比：\(100\% + 12\% = 112\%\)。
- 乘數：1.12。
- 最終計算：\(450 \times 1.12 = 504\)。
- 結果：$504
關鍵要點 3：乘數法
在計算百分比增加/減少時，請務必使用乘數法，特別是處理金錢或多次變動時。它速度更快，且較不容易出現捨入誤差。
5. 金融數學：單利與複利 (C1.12.4)
課程要求你能夠進行單利和複利計算。請注意考試不會提供公式，因此你必須理解其概念和過程。
A. 單利 (Simple Interest, SI)
單利僅按投資或借出的原始金額（本金, P）計算。每年獲得的利息都是相同的。
- P = 本金（起始資金）
- R = 利率（通常為每年百分比，計算時使用小數）
- T = 時間（以年為單位）
常用的公式是：總利息 \(= P \times R \times T\)。(計算出利息後，最後再加回本金)。
例子： 計算 $5000 以每年 4% 的利率存 3 年的單利。
- 利率 R = 0.04。
- 每年利息：\(5000 \times 0.04 = 200\)。
- 總利息：\(200 \times 3 = 600\)。
B. 複利 (Compound Interest, CI)
複利是針對初始本金以及之前所有期間累積的利息進行計算。
類比： 單利就像只賺取初始種子的收益；複利就像既賺取初始種子的收益，也賺取去年生長出來的作物（利息）的收益。
我們這裡使用乘數法，並按照年份進行重複計算。
複利乘數： \((1 + \frac{\text{利率}}{100})\)
總金額 \(A\) = 本金 \(P\) \(\times\) (乘數)時間 \(n\)
$$A = P (1 + R)^n$$
例子： 如果 $5000 以 4% 的複利投資 3 年，計算最終金額。
- 乘數 R = 1.04。
- 最終金額：\(5000 \times (1.04)^3\)。
- \(5000 \times 1.124864 = 5624.32\)。
- 結果：$5624.32 (賺取的總利息為 \(5624.32 - 5000 = 624.32\))。
6. 進階內容：反向百分比 (Reverse Percentages, E1.12.5)
這是僅針對 Extended 學生的關鍵技能，而且經常讓人混淆！反向百分比用於當題目給出百分比變化之後的最終金額，要求你找出原始起始金額的情況。
反向百分比的黃金法則：
$$\text{原始值} = \frac{\text{最終值}}{\text{乘數}}$$
步驟 1： 確定最終金額代表的百分比（\(100\% + X\%\) 或 \(100\% - X\%\)）。
步驟 2： 找出小數乘數。
步驟 3： 用最終金額除以乘數。
例子 1（增加）： 一家商店以 20% 的利潤率將外套賣 $180。原來的成本價是多少？
- 最終價格 ($180) 代表 \(100\% + 20\% = 120\%\)。
- 乘數：1.20。
- 原始成本：\(\frac{180}{1.20} = 150\)。
- 結果：原始成本為 $150。
例子 2（減少）： 打 15% 折扣後，洗衣機的價格為 $765。原價是多少？
- 最終價格 ($765) 代表 \(100\% - 15\% = 85\%\)。
- 乘數：0.85。
- 原始成本：\(\frac{765}{0.85} = 900\)。
- 結果：原價為 $900。
⚠ 反向百分比常見錯誤 ⚠
千萬不要試圖去計算最終價格的百分比。例如，如果 $180 比原價多 20%，原價絕對不是 \(180 - (180 \times 0.20)\)。這是錯誤的！請務必除以乘數！
最終重點總結：FDP 總覽
分數、小數和百分比是數值的互換表示法。轉換讓我們能為特定的計算選擇最方便的形式（例如，計算某數量的百分比時用小數，在無計算機試卷的運算中使用分數）。對於所有涉及增長或衰減（利息、盈虧、折舊）的金錢計算，乘數法是最強大的工具。