歡迎來到函數的世界！
各位未來的數學家，大家好！本章節的主題是函數 (Functions)——高等數學中最基礎且強大的概念之一。如果一開始覺得記號很奇怪，請別擔心；函數其實就是將「輸入值」與「輸出值」連結起來的一種規則。
你可以把函數想像成一部精密的機器：你放入某樣東西（輸入值），機器根據規則進行處理，最後產生特定的結果（輸出值）。
掌握函數至關重要，因為它們讓我們能夠為現實世界中的關係建模——從計算複利到預測火箭的飛行軌跡！請準備好你的圖形計算機 (GDC)，它將成為你這個單元最好的夥伴！
第一部分：認識函數與記號 (C3.3 / E3.3)
1.1 什麼是函數？
函數是一種關係，其中每一個輸入值 (input) 都剛好對應一個輸出值 (output)。
我們使用函數記號 (function notation) 來描述這個規則。我們不寫 \(y = 2x + 1\)，而是寫成：
\(f(x) = 2x + 1\)
關鍵術語：
- \(f(x)\)： 讀作「f of x」，代表輸出值（通常即為 \(y\) 值）。
- 輸入值 (\(x\))： 你放入函數中的數值。
- 規則 (\(f\))： 應用於輸入值的運算過程。
步驟教學：使用函數記號
若 \(f(x) = 3x - 5\)，要找出 \(f(2\))，意思就是將所有的 \(x\) 換成 2：
1. 寫下函數：\(f(x) = 3x - 5\)
2. 代入 \(x=2\)：\(f(2) = 3(2) - 5\)
3. 計算：\(f(2) = 6 - 5 = 1\)
所以，當輸入值為 2 時，輸出值為 1。
1.2 定義域與值域（僅限延伸課程 - E3.3）
定義域 (domain) 和 值域 (range) 告訴我們函數可以處理哪些數值。
定義域（輸入值）：
- 函數有定義的、所有可能的輸入值 (\(x\)) 集合。
- 類比：如果你的函數是一台碎石機，定義域可能是「10公斤以內的石頭」。你不能丟羽毛，也不能丟 20 公斤的大石頭進去！
值域（輸出值）：
- 函數運算後產生的、所有可能的輸出值 (\(y\)) 集合。
- 類比：如果你的機器把石頭變成灰塵，值域就是「灰塵」（而不是「液態水」）。
重點複習：函數基礎
函數記號： \(f(x)\)、\(g(x)\)、\(h(x)\) 都只是輸出變數 \(y\) 的名稱。
定義域： 允許的 \(x\) 值。
值域： 產生的 \(y\) 值。
第二部分：辨識函數圖形 (C3.1 / E3.1)
能夠單憑圖形就辨認出函數類型，是一項至關重要的技能。
2.1 核心函數 (C3.1)
1. 線性函數 (Linear Function)
公式：\(f(x) = ax + b\)
形狀：直線。
（係數 \(a\) 是斜率，\(b\) 是 y 軸截距。）
2. 二次函數 (Quadratic Function)
公式：\(f(x) = ax^2 + bx + c\)
形狀：拋物線（U 型或倒 U 型）。
如果 \(a > 0\)，它是笑臉（開口向上）。如果 \(a < 0\)，它是哭臉（開口向下）。
2.2 延伸函數 (E3.1 - 辨識形狀與特徵)
3. 三次函數 (Cubic Function)
公式：\(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\)
形狀：S 型，通常有一個極大值和一個極小值（轉折點）。它從右上延伸到左下（或反之）。
4. 倒數函數 (Reciprocal Function)
公式：\(f(x) = \frac{k}{x}\) （\(k\) 為常數）
形狀：由兩個獨立的部分（分支）組成，並趨近於漸近線 (asymptotes)（即圖形永遠不會觸碰到的線，詳見 E3.5）。
5. 指數函數 (Exponential Function)
公式：\(f(x) = a^x\) （\(a > 0\)）
形狀：上升或下降得非常快。它有一條水平漸近線（通常是 \(x\) 軸）。
如果 \(a > 1\)，函數會增長（指數增長）。如果 \(0 < a < 1\)，函數會衰減（指數衰減）。
6. 三角函數 (Trigonometric Functions)
公式：\(f(x) = a \sin(bx)\)、\(f(x) = a \cos(bx)\)、\(f(x) = \tan x\)
形狀：週期性 (Periodic)（自我重複）。
- 正弦與餘弦 (Sine and Cosine)： 平滑、波浪狀的曲線，在最大值與最小值之間震盪。
- 正切 (Tangent)： 每 180° 重複一次，並具有垂直漸近線（例如在 90°、270° 等處）。
數值 \(b\) 控制週期 (period)（重複的速度）。
你知道嗎？(E3.1)
圖形的對稱性 (symmetry) 可以幫你認出它們。二次函數關於一條垂直線（對稱軸）對稱。正弦與餘弦波也具有高度的對稱性。
第三部分：使用圖形計算機 (GDC) (C3.2 / E3.2)
GDC 對於解決函數問題非常重要，能省去繁瑣的手算過程，對於非線性或不熟悉的函數尤其有效。
3.1 GDC 必備技能清單
你必須能夠使用 GDC 做到以下幾點：
- 繪製圖形 (Sketch a graph)： 輸入函數並顯示視覺圖形。
- 生成數值表 (Table of values)： 用於檢查點或手動繪圖。
- 尋找零點/根 (Find Zeros / Roots)： 找到 \(x\) 軸截距，即 \(f(x) = 0\) 的地方。
- 尋找極大值或極小值 (Find Local Maxima/Minima)： 找到非線性圖形（如二次或三次函數）的轉折點。
- 尋找交點 (Find Intersection Point)： 找到兩條圖形相交的座標。
- 尋找二次函數頂點 (Find Vertex of a Quadratic)： 拋物線最低點或最高點的專有名詞。
常見錯誤： 在尋找交點或零點時，一定要看題目要求的特定範圍。GDC 會找出所有點，但你只需要題目定義域內的那幾個！
關鍵要點：GDC 的強大之處
如果題目要求你「解方程式 \(f(x) = g(x)\)」，最簡單的方法通常是在 GDC 上分別輸入 \(y_1 = f(x)\) 和 \(y_2 = g(x)\)，然後找出它們的交點。
第四部分：進階函數運算（僅限延伸課程 - E3.3）
4.1 反函數 (\(f^{-1}(x)\))
反函數會將原函數的運算「反轉」。如果 \(f\) 將 \(x\) 變為 \(y\)，那麼 \(f^{-1}\) 就會將 \(y\) 還原回 \(x\)。
在圖形上，\(y = f^{-1}(x)\) 的圖形是 \(y = f(x)\) 關於 \(y = x\) 這條線的鏡像反射。
步驟教學：尋找反函數
設 \(f(x) = 5x + 8\)。
1. 將 \(f(x)\) 換成 \(y\)：
\(y = 5x + 8\)
2. 交換 \(x\) 和 \(y\)（這會反轉兩者的關係）：
\(x = 5y + 8\)
3. 重新整理方程式，使 \(y\) 成為主項：
\(x - 8 = 5y\)
\(y = \frac{x - 8}{5}\)
4. 使用反函數記號表示：
\(f^{-1}(x) = \frac{x - 8}{5}\)
記憶口訣： 要找反函數，請記得三個「代、交、解」：代 (Substitute) \(y\)、交 (Swap) \(x\) 與 \(y\)、解 (Solve) 出 \(y\)。
4.2 複合函數 (Composite Functions)
當你接連應用兩個函數時，會產生一個複合函數。
如果我們有兩個函數 \(f(x)\) 和 \(g(x)\)，我們可以將它們結合：
- \(fg(x)\)： 意思是先應用 \(g\)，然後將結果代入 \(f\)。
- \(gf(x)\)： 意思是先應用 \(f\)，然後將結果代入 \(g\)。
步驟教學：形成複合函數
設 \(f(x) = x + 3\) 和 \(g(x) = 2x^2\)。求 \(gf(x)\)。
1. 從外層函數 \(g\) 開始。將 \(g\) 的輸入值換成內層函數 \(f(x)\)。
\(g(f(x)) = 2(f(x))^2\)
2. 將 \(f(x)\) 的表達式代入公式中：
\(gf(x) = 2(x + 3)^2\)
3. 展開（若題目要求）：
\(gf(x) = 2(x^2 + 6x + 9) = 2x^2 + 12x + 18\)
重要提示 (E3.3)： 你不需要求複合函數的定義域和值域，只需要將它們組合成最簡形式即可。
第五部分：進階圖形特徵與變換（僅限延伸課程）
5.1 尋找二次函數 (E3.4)
當已知特定點時，你可以求出二次函數的方程式，通常寫成頂點式 (vertex form)：
\(y = a(x - h)^2 + k\)
這種形式的好處是，頂點 (vertex)（即轉折點）可以直接由座標 \((h, k)\) 看出。
-
如果已知頂點 \((h, k)\) 和另一點：
1. 將 \((h, k)\) 代入 \(y = a(x - h)^2 + k\)。
2. 將另一個點的座標 \((x, y)\) 代入方程式。
3. 解出 \(a\) 的值。 -
如果已知 \(x\) 軸截距 (\(p\) 和 \(q\)) 和另一點：
你也可以使用截距式：\(y = a(x - p)(x - q)\)。
5.2 漸近線 (E3.5)
漸近線 (asymptote) 是一條圖形會愈來愈靠近、但永遠不會真正碰到的線。它們像是無形的邊界線。
你需要辨識出與座標軸平行的簡單漸近線。
-
在倒數函數 \(y = \frac{1}{x}\) 中，圖形有兩條漸近線：
- 垂直漸近線：\(x = 0\)（即 \(y\) 軸）
- 水平漸近線：\(y = 0\)（即 \(x\) 軸） - 在三角函數 \(f(x) = \tan x\) 中，圖形在 90°、270° 等處有垂直漸近線。
5.3 圖形變換（平移） (E3.6)
變換描述了當你修改函數時，\(y = f(x)\) 的圖形會如何改變。在此課程大綱中，我們專注於平移 (translations)（移動圖形）。
設 \(k\) 為正整數（常數值）。
1. 垂直平移（上下移動）
公式：\(y = f(x) + k\)
效果：將圖形垂直向上移動 \(k\) 個單位。
公式：\(y = f(x) - k\)
效果：將圖形垂直向下移動 \(k\) 個單位。
2. 水平平移（左右移動）
公式：\(y = f(x + k)\)
效果：將圖形水平向左移動 \(k\) 個單位。
公式：\(y = f(x - k)\)
效果：將圖形水平向右移動 \(k\) 個單位。
記憶技巧： 垂直平移很直觀（\(+k\) 就是向上）。水平平移則較為反直覺或「騙人」的（\(x + k\) 其實是向左，感覺像是負方向！）。
5.4 對數函數 (E3.7)
對數函數 (logarithmic function) 是指數函數的反函數。
如果我們有一個指數關係：
\(y = a^x\)
這等同於對數關係：
\(x = \log_a y\)
（讀作：「x 是以 a 為底，y 的對數」。）
在 IGCSE 0607 中，除非另有說明，所有對數均假定為以 10 為底 (base 10)。我們通常寫作 \(\log y\)。
使用對數解方程式
如果你需要解未知數在指數位置的指數方程式，對數就是你的工具。
要解 \(a^x = b\)，我們將其轉換為對數形式：
\(x = \frac{\log b}{\log a}\)
範例：解 \(5^x = 100\)。
\(x = \frac{\log 100}{\log 5}\)
\(x \approx \frac{2}{0.699}\) （最後數值請使用計算機計算）。
關鍵要點：對數
對數是用來還原指數的。它們對於解決涉及指數增長（如複利）或指數衰減（如折舊）的問題至關重要。