歡迎來到函數圖像的世界！

函數圖像（Graphs of functions）是我們將數學規則視覺化的方法。你可以把函數想像成一部機器：你輸入一個數（\(x\)），它就會吐出一個唯一的輸出（\(y\)）。繪圖就是簡單地將這些輸入與輸出對應的點標記在笛卡兒平面（Cartesian plane）上，這樣你就能清楚看到它們之間的關係了！

這一章非常重要，因為它連結了代數（Algebra）與幾何（Geometry），讓你能夠透過觀察圖像來解決複雜的方程式。現在，讓我們一起來探索這些圖形和必備工具吧！

第一節：理解函數基礎 (C3.3 / E3.3)

1.1 函數符號：數學機器的標籤

我們不一定總是用 \(y =\) 來表示，我們可以使用像 \(f(x)\) 這樣的函數符號（function notation）。

  • \(f(x)\) 讀作「f of x」，意思是「當輸入為 \(x\) 時，函數 \(f\) 所產生的輸出（\(y\) 值）」。
  • 請記住：\(y\) 和 \(f(x)\) 代表同樣的意思。

範例：如果函數是 \(f(x) = 2x + 1\)，要找出 \(f(3)\) 即表示代入 \(x=3\)：
\(f(3) = 2(3) + 1 = 7\)。所以，點 \((3, 7)\) 位於圖線上。

重點總結：函數符號只是一種專業的說法，用來表達「\(y\) 隨 \(x\) 而變」。

1.2 定義域與值域（僅限延伸課程 - E3.3）

當你看著一張圖時，你需要知道哪些 \(x\) 值是允許的（定義域），以及哪些 \(y\) 值是真的會出現的（值域）。

什麼是定義域（Domain）？

定義域是指所有可能的輸入值 (\(x\)) 集合，使得函數有意義。它描述了圖線在左右方向上延伸的範圍。

什麼是值域（Range）？

值域是指所有產生的輸出值 (\(y\)) 集合。它描述了圖線在上下方向上延伸的範圍。

類比：想像一台影印機。你放入的紙張（\(x\) 值）就是定義域。印出來的影本（\(y\) 值）就是值域。如果影印機只接受 A4 紙，那這就是對定義域的限制！

快速回顧框：
定義域：水平移動（\(x\)）。
值域：垂直移動（\(y\)）。

第二節：識別函數圖像的形狀 (C3.1 / E3.1)

每一種函數都有其獨特的形狀。能夠一眼認出這些形狀至關重要，特別是在從草圖中辨識函數類型時。

2.1 線性函數（Linear Functions）

形式： \(f(x) = ax + b\) (或 \(y = mx + c\))
形狀： 一條直線。
關鍵特徵：

  • 數值 \(a\) (或 \(m\)) 是斜率（gradient/slope）。
  • 數值 \(b\) (或 \(c\)) 是\(y\) 截距（y-intercept）（與 \(y\) 軸相交的位置）。

2.2 二次函數（Quadratic Functions）

形式： \(f(x) = ax^2 + bx + c\)
形狀： 拋物線（parabola）（U 型或倒 U 型）。
關鍵特徵：

  • 若 \(a > 0\)（正數），拋物線開口向上（像個笑臉），並有一個最小值（minimum point）。
  • 若 \(a < 0\)（負數），拋物線開口向下（像個哭臉），並有一個最大值（maximum point）。
  • 轉折點稱為頂點（vertex）。
  • 圖像關於通過頂點的垂直線對稱。

2.3 三次函數（Cubic Functions，延伸課程 - E3.1）

形式： \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\)
形狀： 「S」形，通常從低處開始，向上彎曲，然後向下彎曲，最後再次向上（反之亦然）。
關鍵特徵：

  • 三次函數圖像通常有一或兩個轉折點（局部極大值與極小值）。
  • 它們在 \(y\) 軸上總是從負無窮大延伸到正無窮大（值域為所有實數）。

2.4 反比例函數（Reciprocal Functions，延伸課程 - E3.1）

形式： \(f(x) = \frac{k}{x}\) (\(k\) 為常數)
形狀： 兩條分離的曲線（稱為雙曲線（hyperbolas）），位於對稱的象限中。
關鍵特徵：

  • 圖線永遠不會碰到 \(x\) 軸或 \(y\) 軸。這些「隱形邊界」稱為漸近線（asymptotes，見 E3.5）。
  • 當 \(x=0\) 時，函數無定義（不能除以零！）。

2.5 指數函數（Exponential Functions，延伸課程 - E3.1）

形式： \(f(x) = a^x\) (\(a > 0\) 且 \(a \neq 1\))
形狀： 一條快速生長或衰減的曲線。
關鍵特徵：

  • 若 \(a > 1\)，圖像呈現指數增長（exponential growth）（向右快速上升）。
  • 若 \(0 < a < 1\)，圖像呈現指數衰減（exponential decay）（向右快速下降）。
  • 它總是通過 \((0, 1)\) 點，因為 \(a^0 = 1\)。
  • \(x\) 軸是一條漸近線（圖像無限接近 \(y=0\) 但永不接觸）。

2.6 三角函數（Trigonometric Functions，延伸課程 - E3.1）

你需要辨識、繪製並解釋 \(y = a \sin(bx)\)、\(y = a \cos(bx)\) 和 \(y = \tan x\) 在 \(0^\circ \le x \le 360^\circ\) 範圍內的圖像。


正弦（Sine, \(y = a \sin(bx)\)）與餘弦（Cosine, \(y = a \cos(bx)\)）：

  • 形狀： 平滑的重複波動（正弦曲線）。
  • 振幅（Amplitude, \(a\)）： 最大值與最小值之間距離的一半。它決定了波的高度。
  • 週期（Period, \(b\)）： 完成一個完整週期所需的 \(x\) 軸長度。對於 \(y = \sin x\) 或 \(y = \cos x\)，標準週期是 \(360^\circ\)。
  • 差異： 正弦從原點 \((0, 0)\) 開始。餘弦從最大點 \((0, a)\) 開始。

正切（Tangent, \(y = \tan x\)）：

  • 形狀： 每 \(180^\circ\) 重複一次，由獨立的分支組成。
  • 漸近線： 在 \(90^\circ\) 和 \(270^\circ\)（之後每 \(180^\circ\)）有垂直漸近線。

重點總結：記住每一種函數類型的基本形狀和兩個關鍵特徵（如頂點、截距或漸近線）。

第三節：圖形顯示計算機（GDC）的超能力 (C3.2 / E3.2)

GDC 對於 0607 課程至關重要。你必須熟練運用它來快速分析圖形。

3.1 GDC 核心技能清單

你必須能夠使用 GDC 執行以下操作：

  1. 繪製圖形： 輸入函數（例如在 Y= 選單中）並按下 Graph。
  2. 製作數值表（Table of values）： 使用表格功能列出座標，以便準確描點。
  3. 描點： 手動將表格中的點繪製到網格上。
  4. 尋找零點（x-intercepts）： 找出 \(f(x) = 0\) 的點（使用「Calculate」或「G-Solve」選單）。
  5. 尋找局部極大或極小值： 找出曲線的轉折點（如二次函數的頂點或三次函數的山峰/谷底）。
  6. 尋找兩圖形的交點： 找出兩個函數 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 相等的點 \((x, y)\)。這通常用於以圖解法解聯立方程式。
  7. 尋找二次函數的頂點： 這是尋找局部極大值或極小值（技能 5）的特殊情況。

如果你的計算機選單名稱略有不同（例如「G-Solve」對比「Analyse Graph」），請別擔心。關鍵在於了解所需的數學操作。多練習找出這些點！

第四節：進階函數運算（延伸課程 - E3.3）

4.1 反函數：逆轉過程

反函數（inverse function），寫作 \(f^{-1}(x)\)，是逆轉 \(f(x)\) 運算的函數。

  • 如果 \(f(3) = 7\)，那麼 \(f^{-1}(7) = 3\)。
  • 在圖形上，\(y = f^{-1}(x)\) 的圖像就是 \(y = f(x)\) 關於直線 \(y = x\) 的對稱圖形（reflection）。

如何求反函數 \(f^{-1}(x)\)（步驟）：

  1. 從 \(y = f(x)\) 開始。（例如 \(f(x) = 3x - 2\)，即 \(y = 3x - 2\)）。
  2. 交換 \(x\) 和 \(y\)。（例如 \(x = 3y - 2\)）。（這是關鍵步驟！）
  3. 重新排列方程式，使 \(y\) 成為主項。（例如 \(x + 2 = 3y\)，所以 \(y = \frac{x+2}{3}\)）。
  4. 使用反函數符號寫下答案：\(f^{-1}(x) = \frac{x+2}{3}\)。

4.2 複合函數：函數鏈

複合函數（composite function）結合了兩個或多個函數，其中一個函數的輸出會成為下一個函數的輸入。

符號 \(gf(x)\) 的意思是：

  • 先計算 \(f(x)\)。
  • 將該結果作為函數 \(g\) 的輸入。

記憶小撇步：從右到左讀取函數，或者思考離 \(x\) 最近的函數先進行。

範例：若 \(f(x) = x+2\)，\(g(x) = 5x\)。求 \(gf(x)\)。
1. 將 \(g(x)\) 中的 \(x\) 替換為 \(f(x)\) 的完整表達式：
\(g(f(x)) = g(x+2)\)
2. 將 \(g\) 的規則應用於新輸入 \((x+2)\)：
\(g(x+2) = 5(x+2) = 5x + 10\)。

重要提示（E3.3）：你必須將答案以最簡分數形式表示。

重點總結：反函數逆轉過程（\(x \leftrightarrow y\)），複合函數則是將過程連成一串（先 \(f\) 再 \(g\)）。

第五節：關鍵特徵與變換（延伸課程 - E3.4, E3.5, E3.6, E3.7）

5.1 由資訊求二次函數（E3.4）

有時你需要根據給定的點或特徵建立二次函數方程式。

情況 1：已知頂點 \((h, k)\) 和另一點

使用頂點式（Vertex Form）： \(y = a(x - h)^2 + k\)。
代入 \((h, k)\) 及另一點座標 \((x, y)\) 以求出 \(a\) 的值。

情況 2：已知 \(x\) 截距 \((\alpha, 0)\) 和 \((\beta, 0)\) 及另一點

使用因式分解式（Factored Form）： \(y = a(x - \alpha)(x - \beta)\)。
代入截距及另一點座標 \((x, y)\) 以求出 \(a\) 的值。

5.2 漸近線：隱形邊界（E3.5）

漸近線（asymptote）是一條曲線無限接近但永遠不會真正碰到的直線。

在 IGCSE 0607 中，你主要處理平行於軸的垂直與水平漸近線。

  • 垂直漸近線（VA）： 當函數無定義時出現，通常是分數分母為零時。（例如 \(f(x) = \frac{1}{x}\) 在 \(x=0\) 處有一條 VA）。
  • 水平漸近線（HA）： 當 \(x\) 趨向極大或極小的數值時，函數所接近的值（長期行為）。（例如 \(f(x) = \frac{1}{x}\) 在 \(y=0\) 處有一條 HA）。

你知道嗎？正切函數 \(y = \tan x\) 是擁有許多垂直漸近線的經典例子！它們出現在 \(x = 90^\circ, 270^\circ\)，以此類推。

5.3 圖形變換（E3.6）

如果你有 \(y = f(x)\) 的圖像，你可以使用簡單的規則在平面上移動它。這稱為平移（translation）。

變換 1：垂直平移（上下）

如果你有 \(y = f(x) + k\)：

  • \(y = f(x)\) 的圖像會垂直平移 \(k\) 個單位。
  • 若 \(k\) 為正，向上移動；若 \(k\) 為負，向下移動。

範例：若 \(f(x) = x^2\)，則 \(g(x) = x^2 + 5\) 將拋物線向上移動 5 個單位。

變換 2：水平平移（左右）

如果你有 \(y = f(x + k)\)：

  • \(y = f(x)\) 的圖像會水平平移 \(k\) 個單位。
  • 小心！水平平移的方向與 \(k\) 的符號相反。
  • 若 \(k\) 為正，向左移動；若 \(k\) 為負，向右移動。

範例：若 \(f(x) = x^2\)，則 \(h(x) = (x+5)^2\) 將拋物線向左移動 5 個單位。

5.4 對數函數（Logarithmic Function，E3.7）

對數函數（logarithmic function）是指數函數的反函數。

  • 指數形式： \(y = a^x\)
  • 對數形式： \(x = \log_a y\)

在此階段，我們通常專注於以 10 為底的對數（在計算機上寫作 \(\log y\)）。

其關係為：

\(10^x = y\) 等同於 \(x = \log_{10} y\)

如何用它解方程式：

若要解像 \(a^x = b\) 這類方程式，你可以對兩邊取對數，或使用上述定義。 解法為：\(x = \frac{\log b}{\log a}\)。

範例：若 \(2^x = 10\)，則 \(x = \frac{\log 10}{\log 2}\)。

重點總結：對數圖形是指數圖形關於 \(y=x\) 的對稱圖形，它們能幫助你求出未知指數。


記住：將 GDC 作為檢查作業以及找出交點和頂點等精確數值的工具。多練習計算機操作技巧！你一定沒問題的！