Inequalities

🌟 代數第二章：不等式 🌟

歡迎來到不等式章節！你之前已經花了很多時間解方程式（其中一邊「等於」另一邊）。但在現實生活中，情況往往不只是相等。我們時刻都在處理各種限制、預算和最低要求。

本章將教你如何用數學方式描述「大於」、「小於」或「最多」這類情境。掌握不等式對於數學及其他領域的問題解決至關重要！

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第一節：不等式基礎與符號

不等式是一個數學語句，用來表示兩個不相等的算式之間的關係。

不等式關鍵符號

符號	含義	不等式類型
\(<\)	小於	嚴格不等式
\(>\)	大於	嚴格不等式
\(\leq\)	小於或等於	非嚴格不等式
\(\geq\)	大於或等於	非嚴格不等式
\(\neq\)	不等於	（在 IGCSE 題目中較少見）

在數線上表示不等式 (C2.6 / E2.6)

由於不等式通常有多個可能的解（一個數值範圍），我們使用數線來清晰地展示解集。圓圈的標示方式非常重要：

1. 嚴格不等式 (< 或 >)： 使用空心圓圈。
   這表示該數字本身不包含在解集內。

   例子： \(x > 2\)。數字 2 本身不是解，但 2.000001 是。

2. 非嚴格不等式 (≤ 或 ≥)： 使用實心圓圈。
   這表示該數字本身包含在解集內。

   例子： \(x \leq 5\)。數字 5 是解之一。

💡 記憶小技巧：
符號 \(\leq\)（小於或等於）下方有一條線，就像一個實心的底座。所以使用實心圓圈。
符號 \(<\)（小於）只是空的，所以使用空心圓圈。

表示法範例：

\(x > -1\)
<-----O------|------|------|------|-----> x
      -2     -1      0     1     2

\(x \leq 3\)
<-----|------|------|------●-----> x
      1     2     3     4     5

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第二節：解線性不等式 (C2.6 / E2.6)

解線性不等式的方法與解線性方程式幾乎一模一樣。你使用相同的運算（加、減、乘、除）來將變數 (\(x\)) 單獨分離出來。

不等式的黃金法則

這裡有一個關鍵差異，學生經常忘記。這是本課題中最常見的錯誤！

如果你將整個不等式乘以或除以一個負數，你必須改變（翻轉）不等號的方向。

為什麼？讓我們用簡單的類比：
我們知道 \(5 > 2\)，這是正確的。
如果我們將兩邊都乘以 \(-1\)：
得到 \(-5\) 和 \(-2\)。
現在，\(-5\) 實際上小於 \(-2\)。因此，我們必須翻轉符號：\(-5 < -2\)。

解題步驟

例子 1 (基礎核心題)： 解 \(5 - 2x \leq 13\)

1. 兩邊同減 5：
   \(5 - 2x - 5 \leq 13 - 5\)
   \(-2x \leq 8\)
2. 兩邊同除以 -2 (注意黃金法則！)：
   因為我們除以一個負數 (\(-2\))，所以必須將 \(\leq\) 翻轉為 \(\geq\)。
   \(\frac{-2x}{-2} \geq \frac{8}{-2}\)
   \(x \geq -4\)
3. 解讀： 解是所有大於或等於 -4 的數字。（這會在數線上以 -4 處的實心圓圈表示，並向右畫箭頭。）

例子 2 (擴充題)： 解 \(3x < 2x + 4\)

1. 將 \(x\) 項移到同一側： 兩邊同減 \(2x\)。
   \(3x - 2x < 4\)
   \(x < 4\)
2. 解讀： 解是所有嚴格小於 4 的數字。（在 4 處標記空心圓圈，並向左畫箭頭。）

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第三節：複合不等式 (Extended E2.6)

複合不等式將兩個簡單不等式組合成一個語句，通常表示一個連續的數值範圍。

例子： \(-3 < x < 5\) 意味著 \(x\) 必須大於 \(-3\) 且小於 \(5\)。

解複合不等式（「三明治」法）

當解像 \(a \leq bx + c < d\) 這樣的不等式時，你必須對所有三部分同時進行相同的運算。

例子： 解 \(-3 \leq 3x - 2 < 7\)

1. 分離中間的 \(x\) 項。 首先所有三部分加 2：
   \(-3 + 2 \leq 3x - 2 + 2 < 7 + 2\)
   \(-1 \leq 3x < 9\)
2. 分離 \(x\)。 所有三部分除以 3（因為 3 是正數，無需翻轉符號）：
   \(\frac{-1}{3} \leq \frac{3x}{3} < \frac{9}{3}\)
   \(-\frac{1}{3} \leq x < 3\)
3. 解讀（數線）： 解是從 \(-\frac{1}{3}\)（包含，實心圓圈）到 3（不包含，空心圓圈）的所有數值。

你知道嗎？ 有時將複合不等式拆開成兩個獨立的不等式分別解，再尋找它們的共同區間會更容易。例如，\(-3 \leq 3x - 2 < 7\) 可以拆解為：
1. \(-3 \leq 3x - 2\)
2. \(3x - 2 < 7\)

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第四節：圖解不等式 (Extended E2.6)

當處理兩個變數（如 \(x\) 和 \(y\)）的不等式時，其解不再是一個點或一條線，而是笛卡爾坐標平面上的一整個區域。

邊界線與陰影區域

首先，將不等號改為等號（例如 \(y < 2x + 1\) 變成 \(y = 2x + 1\)）來繪製邊界線。

1. 嚴格邊界 (< 或 >)： 使用虛線。
   （線上方的點不是解。）
2. 非嚴格邊界 (≤ 或 ≥)： 使用實線。
   （線上方的點包含在解集內。）

陰影慣例（IGCSE 0607 關鍵點）：

除非題目另有指定，否則本課程大綱 (E2.6) 的標準慣例是塗掉「不要的區域」（非解區域）。這意味著保持空白的區域即為解集。

步驟：確定解區域

例子： 找出由 \(y > 2x - 1\) 定義的區域。

1. 繪製邊界： 畫出直線 \(y = 2x - 1\)。因為不等式是 \(>\)（嚴格），請使用虛線。
2. 測試點： 選取一個簡單的測試點，通常選原點 \((0, 0)\)，代入原始不等式：
   \(y > 2x - 1\)
   \(0 > 2(0) - 1\)
   \(0 > -1\)
3. 確定陰影範圍：
   • \(0 > -1\) 是否為真？是的。這意味著 \((0, 0)\) 位於所需的解區域內。
   • 由於我們塗掉的是不要的區域，因此我們需要塗掉直線的另一側（即不包含 \((0, 0)\) 的那一側）。

💪 小撇步 \(y >\) 或 \(y <\)： 如果不等式寫成 \(y > mx + c\) 的形式，想要的區域在線的上方。如果寫成 \(y < mx + c\)，想要的區域在線的下方。記住，這條規則的前提是 \(y\) 的係數必須為正！

根據圖形定義區域

有時你會看到帶有陰影區域的圖形，並被要求列出定義空白（解）區域的不等式。

步驟：

• 識別每條邊界線的方程式（\(y = mx + c\) 或 \(x = k\)）。
• 檢查線是實線（使用 \(\leq\) 或 \(\geq\)）還是虛線（使用 \(<\) 或 \(>\)）。
• 使用原點 \((0, 0)\) 或其他測試點，確定相對於空白區域的正確不等號方向。

例如，如果邊界線是 \(y = 1\)（實線），而空白的解區域在上方，則不等式為 \(y \geq 1\)。

使用 GDC 解方程式/不等式 (Extended E2.6.3)

你的圖形計算機 (GDC) 是視覺化和解不等式的強大工具，特別是對於那些陌生或非線性的問題（儘管此課程主要關注線性不等式）。

若要解不等式如 \(2x^2 + 3 < 11\)：

1. 在計算機輸入 \(y_1 = 2x^2 + 3\) 和 \(y_2 = 11\) 進行繪圖。
2. 找出兩條圖形的交點。這些點定義了解的邊界。
3. 觀察圖形：拋物線 \(y_1\) 在哪裡位於水平線 \(y_2\) 的下方？該區段的 \(x\) 值就是你的解。