歡迎來到代數的世界！

你好，IGCSE 學生！如果代數現在看起來像個謎題，請別擔心。這一章「代數簡介」是你的基礎。試想代數是一個強大的工具，讓你能解決未知數的問題——它能將現實世界的情況轉化為整潔的數學方程式。

我們正在從單純使用數字（算術）轉向使用字母和符號（代數）來表示一般情況。一旦你掌握了處理這些字母的基本技巧，數學的其餘部分就會變得清晰多了！

第 1 節：變數、代數式與代入法 (C2.1)

在我們開始計算之前，需要先了解代數的「語言」。

關鍵定義

  • 變數 (Variable)： 一個符號，通常是字母（例如 \(x\)、\(y\) 或 \(n\)），用來代表未知數或會改變的數值。（可以把它當作數字的臨時佔位符。）
  • 項 (Term)： 單獨的數字、單獨的變數，或是數字與變數相乘的結果。（例如：\(5\)、\(3x\)、\(-2y^2\)。）
  • 代數式 (Expression)： 由加號或減號連接的項的集合。它*沒有*等號。（例如：\(3x + 5y - 7\)。）
  • 公式 (Formula)： 使用符號表示的關係或規則，通常顯示一個量如何取決於其他量。它*一定*有等號。（例如：\(A = \pi r^2\)。）
  • 係數 (Coefficient)： 項中與變數相乘的數字。（在項 \(7x\) 中，係數是 7。）

將數字代入代數式和公式

代入法 (Substitution) 是將代數式或公式中的變數替換為給定數值的過程。
這是核心技能！當你進行代入時，你是在計算該代數式在特定情況下的數值。

逐步教學：如何代入

讓我們使用這個代數式：\(E = 2a + 3b - 5\)。若 \(a = 4\) 且 \(b = -2\)。

  1. 使用括號重新寫出： 務必將代入的數值放在括號內。這有助於防止符號錯誤，尤其是在乘法或處理指數時。

    \(E = 2(\text{4}) + 3(\text{-2}) - 5\)

  2. 計算乘法：

    \(E = 8 + (-6) - 5\)

  3. 化簡： 使用加法/減法規則。

    \(E = 8 - 6 - 5\)
    \(E = 2 - 5\)
    \(E = -3\)

公式的小貼士： 如果你使用像三角形面積 \(A = \frac{1}{2}bh\) 這樣的公式，給定 \(b=10\) 和 \(h=4\)，請小心代入：\(A = \frac{1}{2} \times 10 \times 4\)。

⚠ 常見錯誤警示！
將負數（如 \(x = -3\)）代入像 \(4x\) 這樣的項時，學生有時會寫成 \(4 - 3\)。
正確方法： 你必須將其視為乘法：\(4(-3) = -12\)。一定要使用括號！

第 2 節：代數運算 I – 化簡 (C2.2.1)

化簡 (Simplifying) 代數式意味著盡可能將其簡化。我們通過合併同類項 (collecting like terms) 來做到這一點。

什麼是同類項？

同類項是指變數完全相同，且這些變數的冪次也完全相同的項。
類比： 你可以把 3 個蘋果 (\(3a\)) 和 5 個蘋果 (\(5a\)) 加起來得到 8 個蘋果 (\(8a\))。但你不能把 3 個蘋果和 5 個香蕉 (\(5b\)) 相加。

  • \(4x\) 和 \(-2x\) 是同類項。（變數相同 \(x\)，冪次均為 1。）
  • \(5a^2\) 和 \(a^2\) 是同類項。（變數相同 \(a\)，冪次均為 2。）
  • \(7xy\) 和 \(-xy\) 是同類項。（變數相同 \(x\) 和 \(y\)。）
  • \(4x\) 和 \(4x^2\) 不是同類項。（冪次不同。）
  • \(5a\) 和 \(5b\) 不是同類項。（變數不同。）

合併同類項：逐步教學

化簡：\(2a + 3b + 5a – 9b\)

  1. 識別同類項： 將同類項分組。圈出或劃線標記它們會很有幫助，記得要連同前面的正負號一起圈。

    第 1 組 (a 的項)： \(+2a\) 和 \(+5a\)
    第 2 組 (b 的項)： \(+3b\) 和 \(-9b\)

  2. 合併係數： 將每一組的係數進行加減。

    第 1 組：\(2 + 5 = 7\)。結果：\(7a\)
    第 2 組：\(3 - 9 = -6\)。結果：\(-6b\)

  3. 寫出最終代數式：

    化簡後的代數式為：\(7a - 6b\)

練習範例

化簡：\(5x + 3y^2 - x + 4y^2\)

\(x\) 的項：\(5x - x = 4x\)
\(y^2\) 的項：\(3y^2 + 4y^2 = 7y^2\)
答案： \(4x + 7y^2\)

重點總結： 化簡完全依賴於準確地識別並合併同類項。如果變數部分不同，你就不能把它們合併！

第 3 節：代數運算 II – 展開括號 (C2.2.2)

展開 (Expanding) 意味著通過將括號外的每一項乘以括號內的每一項來去掉括號。這是基於分配律 (Distributive Law)。

A. 展開單括號

將括號外的係數/項乘以括號內的每一項。

範例： 展開 \(3x(2x - 4y\))

  1. \(3x\) 乘以 \(2x\)：\(3x \times 2x = 6x^2\)
  2. \(3x\) 乘以 \(-4y\)：\(3x \times (-4y) = -12xy\)
  3. 合併：\(6x^2 - 12xy\)

另一個範例： 展開 \(-5(4 - 2a\))

\(-5 \times 4 = -20\)
\(-5 \times (-2a) = +10a\)
答案： \(-20 + 10a\) 或 \(10a - 20\)

記憶輔助：符號規則檢查！
確保在計算數字和變數的同時，也要乘上符號：
\((+) \times (+) = (+)\)
\((-) \times (-) = (+)\)
\((+) \times (-) = (-)\)

B. 展開雙括號 (Core 等級)

在 Core 等級，你需要能夠展開涉及一個變數的雙括號乘積，例如 \((2x + 1)(x - 4)\)。

我們必須確保第一個括號中的每一項都乘以第二個括號中的每一項。

助記法：F.O.I.L.

FOIL 是記住四次乘法的有效方法：

  • F (First) 首項： 乘以每個括號中的第一項。
  • O (Outer) 外項： 乘以最外面的兩項。
  • I (Inner) 內項： 乘以最裡面的兩項。
  • L (Last) 末項： 乘以每個括號中的最後一項。

範例： 展開 \((2x + 1)(x - 4)\)

  1. F： \(2x \times x = 2x^2\)
  2. O： \(2x \times (-4) = -8x\)
  3. I： \(1 \times x = +x\)
  4. L： \(1 \times (-4) = -4\)

中間步驟： \(2x^2 - 8x + x - 4\)

最後一步 – 化簡（合併同類項）： 合併 \(x\) 的項（外項和內項）。 \(-8x + x = -7x\)
最終答案： \(2x^2 - 7x - 4\)

重點總結： 展開就是乘法。展開後務必通過合併同類項來化簡。

第 4 節：代數運算 III – 因式分解 (C2.2.3)

因式分解 (Factorising) 是展開的逆過程。我們不去掉括號，而是通過找到所有項的最大公因數 (Highest Common Factor, HCF) 來把括號加回去。

課程大綱要求通過提取公因式來進行分解（這是最基本且最重要的類型）。

逐步教學：提取公因式

範例： 完全分解 \(9x^2 + 15xy\)

  1. 找出數字（係數）的最大公因數：

    數字是 9 和 15。9 和 15 的 HCF 是 3。

  2. 找出共同變數：

    項分別是 \(9x^2\) 和 \(15xy\)。兩項都有 \(x\)，\(x\) 的最低冪次是 \(x^1\)。
    只有第一項有 \(y\)，所以 \(y\) 不是公因數。

  3. 確定整體最大公因數 (HCF)：

    組合結果：整體 HCF 是 \(3x\)。

  4. 除法並寫出結果： 將 HCF 寫在括號外，並將原代數式的每一項除以 HCF，得到括號內的項。

    \(9x^2 \div 3x = 3x\)
    \(15xy \div 3x = 5y\)

最終答案： \(3x(3x + 5y)\)

⚠ 常見錯誤警示！
因式分解後，你應該隨時可以通過重新展開括號來檢查你的答案。如果展開後能回到原始代數式，那就是正確的！

第 5 節：簡化基礎代數分式 (C2.3)

代數分式 (Algebraic fraction) 就是在分子、分母或兩者都包含變數（代數）的分式。

在 Core 等級，簡化代數分式涉及約去分子（上）和分母（下）之間的公因數。課程大綱僅要求單步驟簡化，即非常直接的約分。

規則：將分子和分母同除以一個公因數

範例 1：變數

簡化 \(\frac{x^2}{x}\)

由於 \(x^2 = x \times x\)，我們可以從分子和分母中各約去一個 \(x\)。
\(\frac{x^2}{x} = \frac{x \times x}{x}\)
答案： \(x\)

範例 2：數字和變數

簡化 \(\frac{3}{6x}\)

  1. 找出數字（3 和 6）的 HCF：3。
  2. 分子和分母同時除以 3。

\(\frac{3 \div 3}{6x \div 3} = \frac{1}{2x}\)
答案： \(\frac{1}{2x}\)

範例 3：綜合

簡化 \(\frac{10a^3}{5a}\)

  1. 簡化數字：\(10 \div 5 = 2\)。
  2. 簡化變數：\(\frac{a^3}{a} = a^{3-1} = a^2\)。

答案： \(2a^2\)

重點總結： 簡化分式的核心就是「約分」。你只能約去相乘的因數，絕對不能約去相加或相減的項！

快速複習摘要：代數簡介

你現在已經掌握了所有代數工作所需的基本工具！

概念 做法 檢查/規則
代入法 用數字替換字母。 使用括號！特別是針對負數時。
化簡 合併具有相同變數和冪次的項。 帶上該項前面的符號（\(+\) 或 \(-\)）。
展開 用外面的項乘以括號內的每一項（分配律）。 若是雙括號，請使用 FOIL（或類似的方法）。
因式分解 找出所有項的最大公因數 (HCF)。 通過重新展開分解後的代數式來檢查答案。

請繼續練習這四項技能——它們是成功掌握其餘代數內容最重要的基石！你一定可以做到的！