Percentages

🔢 第 1 章：百分比 (數目部分)

你好，未來的數學家！這一章的主題是百分比。你可能以為百分比只會出現在數學課上，但它其實無處不在：計算折扣後的價格、查看銀行利率，或是解讀新聞中的統計數據。熟練掌握百分比不僅對你的 IGCSE 考試 (0607) 至關重要，在日常生活中也同樣實用！

我們將會把每一種類型的百分比問題拆解，一步步帶你了解，確保你能自信地運用計算機和非計算機方法來解決問題。
我們開始吧！

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1. 百分比的基本概念

什麼是百分比？

“Percent”（百分比）一詞字面上意思就是「每百個中」或「一百分之幾」。這只是一種表示分數或比例的方式，分母永遠是 100。

例子：25% 意思就是 100 個中有 25 個，即 \(\frac{25}{100}\)。

1.1 轉換不同形式 (C1.4.2 / E1.4.2)

在進行任何計算之前，你必須熟練地將百分比轉換為小數，因為這是計算時最快捷的方法。

百分比 ↔ 小數轉換：簡易法則

• 百分比轉小數：除以 100（將小數點向左移 2 位）。
  例子：\(45\% \rightarrow 45 \div 100 = 0.45\)
• 小數轉百分比：乘以 100（將小數點向右移 2 位）。
  例子：\(0.7 \rightarrow 0.7 \times 100 = 70\%\)

轉換為分數：最簡形式 (C1.4.2 / E1.4.2)

要將百分比轉換為分數，將百分數值放在 100 之上，然後化簡：

例子：將 \(30\%\) 轉換為分數。
\(\frac{30}{100} = \frac{3}{10}\)

重點總結：小數是你進行快速百分比計算時的好朋友。要轉為小數，直接除以 100 就可以了！

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2. 計算百分比 (C1.12.1 / E1.12.1)

計算某數量的指定百分比是最基本的技能。這通常涉及計算存款、折扣或收入等問題。

步驟教學

要計算數量 Y 的 X%：

1. 將百分比 X% 轉換為小數（或分數）。
2. 將小數（或分數）乘以數量 Y。

例子：計算 $450 的 \(18\%\)。

• 步驟 1： 將 \(18\%\) 轉換為小數：\(18 \div 100 = 0.18\)
• 步驟 2： 相乘：\(0.18 \times \$450 = \$81\)

「你知道嗎？」心算小撇步：

你可以利用簡單的百分比來推算較複雜的數值：

• 要找 \(10\%\)，直接除以 10。（例如：90 的 \(10\%\) 是 9）。
• 要找 \(1\%\)，直接除以 100。（例如：500 的 \(1\%\) 是 5）。
• 要找 \(15\%\)，計算出 \(10\%\) 再加上其一半的數值 (\(5\%\))。

重點總結：「某數的百分之幾」通常意味著「小數乘該數量」。

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3. 以百分比表達兩數量的關係 (C1.12.2 / E1.12.2)

當你想知道一個數值佔總數的比例時（例如計算考試分數或市場份額），這項技能非常有用。

考試分數類比

想像你在滿分 50 分的測驗中拿了 38 分。你想知道你的分數佔百分之幾。

你需要先找出分數，然後乘以 100%。

\[ \text{百分比} = \frac{\text{部分}}{\text{整體}} \times 100\% \]

計算：
\[ \text{分數百分比} = \frac{38}{50} \times 100\% = 76\% \]

例子：一家公司去年的總收入為 $80,000，利潤為 $5,000。利潤佔總收入的百分比是多少？

\[ \text{利潤百分比} = \frac{\$5,000}{\$80,000} \times 100\% = 6.25\% \]

重點總結：永遠先將計算設為分數形式：(感興趣的部分) / (原始總數)。

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4. 百分比增長與減少 (C1.12.3 / E1.12.3)

計算百分比變化有兩種方法，但 乘數法 (Multiplier Method) 遠比傳統方法更高效，特別是在面對複雜問題時。

方法 A：使用變化量（傳統方法）

1. 計算實際增加或減少的金額。
2. 將變化量除以原始金額。
3. 乘以 100 得到百分比。

\[ \text{百分比變化} = \frac{\text{變化量}}{\text{原始金額}} \times 100\% \]

方法 B：使用乘數（高效方法）

乘數 (Multiplier) 是一個單一的小數，你只需將原始數量乘以它，就能直接得到最終數量。

如何找到乘數 (M)：

• 百分比增長（例如：增值稅 VAT、利潤）：
  \(M = 1 + \text{變化的百分比（小數形式）}\)
  例子：\(10\%\) 增長。 \(M = 1 + 0.10 = 1.10\)
• 百分比減少（例如：折扣、貶值）：
  \(M = 1 - \text{變化的百分比（小數形式）}\)
  例子：\(25\%\) 折扣。 \(M = 1 - 0.25 = 0.75\)

計算：
\[ \text{新金額} = \text{原始金額} \times \text{乘數} \]

例子：一部自行車原價 $320，現有 \(15\%\) 折扣。求新價格。

• 減少了 \(15\%\)，所以新價格是原價的 \(100\% - 15\% = 85\%\)。
• 乘數 \(M = 0.85\)。
• 新價格 \( = 320 \times 0.85 = \$272\)。

重點總結：多用乘數法！它能節省時間，並且是計算利息和反向百分比問題的關鍵。

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5. 單利與複利 (C1.12.4 / E1.12.4)

利率計算對於理解存款、投資和貸款至關重要。請記住：單利和複利的公式並不會在考試大綱中給出。你必須真正理解其中的運作方法。

5.1 單利 (Simple Interest)

單利是指利息僅根據原始本金 (P) 每年計算。每年獲得的利息金額都是一樣的。

單利計算

利息 (I) 計算方式：
\[ I = \frac{PRT}{100} \]

其中 P = 本金（起始金額），R = 利率（年百分比），T = 時間（以年為單位）。

例子：將 $500 存入銀行，以 \(4\%\) 單利計算，存放 3 年。

1. 計算一年所得利息：
\(500 \times 0.04 = \$20\) 一年。

2. 計算 3 年總利息：
\(3 \times \$20 = \$60\)

3. 計算總金額（本金 + 利息）：
\(\$500 + \$60 = \$560\)

5.2 複利 (Compound Interest)（重複的百分比變化）

複利是指利息是根據本金 加上 已經賺取的利息來計算的。這是重複百分比變化的一個例子。

類比：想像一個雪球從山上滾下來。它每次滾動都會變大，所以下一次它能黏上的雪就更多了。

複利計算（使用乘數）

T 年後的總金額 (A)：
\[ A = P \times (M)^T \]

其中 P = 本金，M = 乘數 (1 + 利率的小數形式)，T = 時間期數。

例子：將 $500 存入銀行，以 \(4\%\) 複利計算，存放 3 年。

• 本金 (P) = $500
• 利率 = \(4\%\)，故乘數 (M) = 1.04
• 時間 (T) = 3 年

\[ A = 500 \times (1.04)^3 \]

\[ A = 500 \times 1.124864 \approx \$562.43 \]

注意：所得複利 ($62.43) 比單利 ($60) 略高，這展現了「利疊利」的威力！

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6. 反向百分比 (延伸內容 E1.12.5)

如果初次接觸覺得棘手，不用擔心！反向百分比是指在只知道百分比變化後的最終金額時，找出原始金額。

這在價格增減問題（例如找出特價前的原價）中非常常見。關鍵在於確定最終金額所代表的百分比。

反向百分比法

\[ \text{原始金額} = \frac{\text{最終金額}}{\text{乘數}} \]

步驟 1： 識別百分比變化，並確定最終金額佔原本的百分比（相對於原始的 \(100\%\)）。

步驟 2： 將這個最終百分比轉換為乘數 (M)。

步驟 3： 將最終金額除以該乘數。

例子 1：找回原價（減少情況）
一件襯衫打 \(20\%\) 折扣後售價為 $48。原價是多少？

1. 最終百分比： \(100\% - 20\% = 80\%\)。
2. 乘數 (M)： \(0.80\)。
3. 原價 \( = \frac{\$48}{0.80} = \$60\)。

例子 2：找回稅前價格（增加情況）
收據顯示筆記型電腦售價 $952，已包含 \(19\%\) 增值稅 (VAT)。求稅前成本。

1. 最終百分比： \(100\% + 19\% = 119\%\)。
2. 乘數 (M)： \(1.19\)。
3. 原價 \( = \frac{\$952}{1.19} = \$800\)。

重點總結：反向百分比是通過除以乘數來撤銷百分比變化的影響。

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最終章節摘要

• 計算 Y 的 X%：使用小數乘數：\(Y \times (X/100)\)。
• 表達 A 佔 B 的百分比：\(\frac{A}{B} \times 100\%\)。
• 處理百分比變化問題：乘數法 是最快捷且最可靠的方法。
• 單利：每年增加相同金額：\(A = P + I\)。
• 複利：使用重複乘法：\(A = P \times M^T\)。
• 反向百分比（延伸）：將最終金額除以乘數：\(\text{原始} = \frac{\text{最終}}{M}\)。