歡迎來到比例（Proportion）章節！
你好！這一章將教你如何運用代數的強大語言，表達數量之間的關係。比例的核心在於事物如何「一同變化」——它們是同步上升或下降，還是此消彼長。
理解比例不僅對高階數學至關重要，在日常生活中也很有用，無論是調整食譜比例還是計算油耗。我們將會使用比例符號（\(\propto\)），並將這些比例敘述轉化為精確的代數方程式，幫助我們計算未知數值。讓我們開始吧！
第一節：正比例（Direct Proportion，又稱正變）
1.1 什麼是正比例？
若兩個數量以相同的恆定比率一同增加或減少，它們便呈正比例關係。
你可以這樣理解：若輸入值加倍，輸出值也會加倍。
例子：香蕉的價格。如果一根香蕉售價 $0.50，兩根香蕉就是 $1.00。價格與香蕉數量成正比例。
代數形式
若數量 \(y\) 與數量 \(x\) 成正比例，我們寫作：
$$\text{比例關係： } y \propto x$$
為了將這種關係轉化為方程式，我們引入一個稱為比例常數（Constant of Proportionality）的數值，通常以 \(k\) 表示。
$$\text{方程式： } y = kx$$
關鍵術語： 比例常數 (\(k\))
這是聯繫兩個數量的固定數值。你可以透過 \(y\) 除以 \(x\) 來找到它：\(k = \frac{y}{x}\)。
分步解題：如何解決正比例問題
若 \(C\) 與 \(T\) 成正比例，且當 \(T = 3\) 時 \(C = 15\)，試求 \(T = 10\) 時的 \(C\) 值。
- 寫出比例關係： $$C \propto T$$
- 利用 \(k\) 建立方程式： $$C = kT$$
- 找出 \(k\)： 使用第一組已知數據（\(C=15, T=3\)）。 $$15 = k(3) \implies k = \frac{15}{3} = 5$$
- 寫出完整的公式： $$C = 5T$$
- 求未知數： 利用公式求 \(T = 10\) 時的 \(C\) 值。 $$C = 5(10) = 50$$
學習重點： 正比例意味著 \(y = kx\)。務必先算出 \(k\)，才能建立該問題專屬的公式。
第二節：反比例（Inverse Proportion，又稱反變）
2.1 什麼是反比例？
若兩個數量中，其中一個增加而另一個減少，且它們的乘積保持恆定，則它們呈反比例關係。
例子：想像挖掘一條溝渠。如果一個工人需要 10 小時，兩個工人就需要 5 小時（時間減半）。所花時間與工人數量成反比例。
你可以這樣理解：若輸入值加倍，輸出值就會減半。
代數形式
若數量 \(y\) 與數量 \(x\) 成反比例，這意味著 \(y\) 與 \(x\) 的倒數（\(\frac{1}{x}\)）成正比例。我們寫作：
$$\text{比例關係： } y \propto \frac{1}{x}$$
同樣地，我們引入常數 \(k\) 來建立方程式：
$$\text{方程式： } y = \frac{k}{x} \quad \text{或等同於， } xy = k$$
記憶小貼士： 「反比例」（Inverse）一詞應讓你聯想到「倒轉」（Invert）。變數必須被倒轉（放在分母位置）。
分步解題：如何解決反比例問題
若 \(P\) 與 \(V\) 成反比例，且當 \(V = 4\) 時 \(P = 20\)，試求 \(V = 8\) 時的 \(P\) 值。
- 寫出比例關係： $$P \propto \frac{1}{V}$$
- 利用 \(k\) 建立方程式： $$P = \frac{k}{V}$$
- 找出 \(k\)： 使用第一組已知數據（\(P=20, V=4\)）。 $$20 = \frac{k}{4} \implies k = 20 \times 4 = 80$$
- 寫出完整的公式： $$P = \frac{80}{V}$$
- 求未知數： 利用公式求 \(V = 8\) 時的 \(P\) 值。 $$P = \frac{80}{8} = 10$$
你有發現嗎？當 \(V\) 加倍（從 4 變成 8），\(P\) 就減半（從 20 變成 10）。這證明了它們是反比例關係！
學習重點： 反比例意味著 \(y = \frac{k}{x}\)。常數 \(k\) 可透過將一組數值相乘得到：\(k = xy\)。
第三節：其他變數類型（延伸內容）
比例的概念不僅限於簡單的線性關係。課程要求你處理涉及次方與根號的比例：
3.1 涉及次方與根號的正比例
有時候，一個數量不僅與 \(x\) 成正比，還可能與 \(x^2\)、\(x^3\) 或 \(\sqrt{x}\) 成正比。方法依然相同——只需將 \(y=kx\) 方程式中的 \(x\) 替換為對應的 \(x\) 函數即可。
| 關係描述 | 比例符號 | 代數方程式 |
|---|---|---|
| \(y\) 與 \(x\) 的平方成正比 | \(y \propto x^2\) | \(y = kx^2\) |
| \(y\) 與 \(x\) 的立方成正比 | \(y \propto x^3\) | \(y = kx^3\) |
| \(y\) 與 \(x\) 的平方根成正比 | \(y \propto \sqrt{x}\) | \(y = k\sqrt{x}\) |
3.2 涉及次方與根號的反比例
若關係為反比例，則將 \(x\) 的函數置於分母。
| 關係描述 | 比例符號 | 代數方程式 |
|---|---|---|
| \(y\) 與 \(x\) 的平方成反比 | \(y \propto \frac{1}{x^2}\) | \(y = \frac{k}{x^2}\) |
| \(y\) 與 \(x\) 的立方根成反比 | \(y \propto \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\) | \(y = \frac{k}{\sqrt[3]{x}}\) |
例子：面積縮放
圖形的面積（\(A\)）與其半徑（\(r\)）的平方成正比。
若當 \(r = 5\) 時 \(A = 50\)，求聯繫 \(A\) 與 \(r\) 的公式。
1. 寫出比例關係：\(A \propto r^2\)
2. 建立方程式：\(A = kr^2\)
3. 找出 \(k\)：\(50 = k(5^2) \implies 50 = 25k \implies k = 2\)
4. 完成公式：\(A = 2r^2\)
常見錯誤： 學生在找 \(k\) 時經常忘記應用平方或平方根。如果 \(y \propto x^3\)，你必須代入 \(x^3\) 進入方程式，而不僅僅是 \(x\)。
第四節：判斷最佳變數模型（延伸技巧）
有時你會得到一組數據點並被要求判斷其關係——它是 \(y \propto x\)、\(y \propto x^2\) 還是 \(y \propto 1/x\)？
你必須為每個可能的模型計算常數 \(k\)。正確的模型是那個 \(k\) 值在所有數據組中均保持一致（或接近一致）的模型。
4.1 識別正確模型的步驟
假設你有兩個變數 \(X\) 和 \(Y\)。
測試 1：是正比例 (\(Y = kX\)) 嗎？
為每一對數據點計算 \(k_1 = \frac{Y}{X}\)。如果所有的 \(k_1\) 值都相等，則模型為 \(Y \propto X\)。
測試 2：是平方正比例 (\(Y = kX^2\)) 嗎？
為每一對數據點計算 \(k_2 = \frac{Y}{X^2}\)。如果所有的 \(k_2\) 值都相等，則模型為 \(Y \propto X^2\)。
測試 3：是反比例 (\(Y = \frac{k}{X}\)) 嗎？
為每一對數據點計算 \(k_3 = YX\)。如果所有的 \(k_3\) 值都相等，則模型為 \(Y \propto \frac{1}{X}\)。
模型識別範例
數據點：(2, 18), (3, 40.5)。這是什麼關係？
我們來測試一下模型：
- 測試 \(Y \propto X\) (\(k = Y/X\))：
第 1 組：\(k = 18 / 2 = 9\)
第 2 組：\(k = 40.5 / 3 = 13.5\)
\(k\) 值不同。此模型錯誤。 - 測試 \(Y \propto X^2\) (\(k = Y/X^2\))：
第 1 組：\(k = 18 / (2^2) = 18 / 4 = 4.5\)
第 2 組：\(k = 40.5 / (3^2) = 40.5 / 9 = 4.5\)
\(k\) 值相同！此模型正確。
結論： 該關係為 \(Y = 4.5X^2\)。
學習小撇步： 看到數據表時不要慌。只需系統地利用 \(k = y/x\)、\(k = y/x^2\) 或 \(k = xy\) 等公式計算可能的常數 \(k\)。其中一個一定會奏效！
第五節：總結與公式複習
速查表：比例的代數（E2.8）
本章的核心技能總是一樣的：將比例敘述轉換為含有 \(k\) 的方程式，找出 \(k\)，最後利用方程式解題。
| 比例類型 | 比例符號 | 方程式（如何求 \(k\)） |
|---|---|---|
| \(y\) 與 \(x\) 成正比 | \(y \propto x\) | \(y = kx \implies k = y/x\) |
| \(y\) 與 \(x\) 成反比 | \(y \propto 1/x\) | \(y = k/x \implies k = xy\) |
| \(y\) 與 \(x^n\) 成正比 | \(y \propto x^n\) | \(y = kx^n \implies k = y/x^n\) |
| \(y\) 與 \(x^n\) 成反比 | \(y \propto 1/x^n\) | \(y = k/x^n \implies k = yx^n\) |
最後提醒： 比例題看起來複雜，是因為你需要仔細閱讀來判定正確的關係式（\(x\)、\(x^2\)、\(1/\sqrt{x}\) 等）。慢慢來，用 \(\propto\) 正確地設定關係，剩下的就只是代數替換而已！你做得到的！