Ratio and proportion

歡迎來到比與比例的世界！

你好！這一章的內容主要是關於如何比較數量，以及如何進行縮放——這些技能你在日常生活中經常會用到，無論是跟著食譜烹飪還是閱讀地圖。
比（Ratio）與比例（Proportion）是極為基礎的數學工具，能幫助你解決現實世界中涉及分配、縮放和比較測量等問題。讓我們馬上開始吧！

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1. 理解比 (C1.10/E1.10)

比是一種用來比較兩個或多個同類數量大小的方法。它展示了一種事物與另一種事物相比的份量。

關鍵術語與標記

如果你在調配油漆，每 3 份白色油漆混合 1 份紅色油漆，紅漆與白漆的比就是 1 比 3，寫作：\(1 : 3\)。

• 份量（Parts）：比當中的數值（即 1 和 3）。
• 順序很重要：比 \(1:3\)（紅：白）與 \(3:1\)（白：紅）的意義完全不同。請務必留意題目要求的順序！

1.1 化簡比

比必須像分數一樣，寫成最簡形式。要化簡比，只需將所有份量除以它們的最大公因數 (HCF)。

例子：化簡 \(20 : 30 : 40\)
20、30 和 40 的最大公因數 (HCF) 是 10。
將各項除以 10：
\(20 \div 10 : 30 \div 10 : 40 \div 10\)
化簡後的比為：\(2 : 3 : 4\)。

重要規則：單位必須統一！

在所有數量換算為相同單位之前，你是不可以進行化簡的。

例子：化簡 \(50 \text{ cm} : 2 \text{ m}\)
1. 將米換算為厘米：\(2 \text{ m} = 200 \text{ cm}\)。
2. 使用相同單位寫出比：\(50 : 200\)。
3. 化簡（除以 50）：\(1 : 4\)。

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2. 按比例分配數量 (C1.10/E1.10)

這通常被稱為「分配」問題。當你需要根據一個給定的比來拆分總數時，請遵循以下簡單步驟：

步驟拆解：總份數法

問題：將 $450 按 \(2 : 3 : 4\) 的比進行分配。

第 1 步：找出總份數（Parts）
將比中的所有數值加起來：\(2 + 3 + 4 = 9\) 份總額。

第 2 步：求出每份的價值
用總數量除以總份數：
\( \text{每份價值} = \frac{\$450}{9} = \$50 \)。

第 3 步：計算每個部分的份額
將每份的價值乘以比中對應的份數：

• 第一部分：\(2 \times \$50 = \$100\)
• 第二部分：\(3 \times \$50 = \$150\)
• 第三部分：\(4 \times \$50 = \$200\)

驗算： \(100 + 150 + 200 = 450\)。總數相符！（做完題目記得檢查一下！）

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3. 生活中的比例推理 (C1.10/E1.10)

比例推理是指將比應用於實際情況中，以保持平衡或正確地調整規模。

3.1 食譜與配料

比對於調整食譜份量至關重要。如果一個食譜要求麵粉與糖的比為 \(5:2\)，無論你是製作一大份還是一小份，這個比率都必須保持不變。

縮放例子：一份食譜需要 150g 糖和 375g 麵粉。如果你只有 50g 糖，你需要多少麵粉？

1. 找出比（麵粉：糖）：\(375 : 150\)。
2. 化簡比：除以 75，得到 \(5 : 2\)。
3. 建立比例關係：\(\frac{\text{麵粉}}{\text{糖}} = \frac{5}{2}\)。
4. 代入新的糖的量（50g）：\(\frac{\text{麵粉}}{50} = \frac{5}{2}\)。
5. 計算麵粉量：\(\text{麵粉} = 50 \times \frac{5}{2} = 125 \text{ g}\)。

3.2 地圖比例尺

地圖比例尺通常以比的形式給出，例如 \(1 : 50\ 000\)。這意味著地圖上的 1 個單位代表現實中的 50 000 個單位。

• 如果地圖上的距離為 3 cm，實際距離為： \(3 \times 50\ 000 = 150\ 000 \text{ cm}\)。
• 由於 \(100 \text{ cm} = 1 \text{ m}\) 且 \(1\ 000 \text{ m} = 1 \text{ km}\)： \(150\ 000 \text{ cm} = 1500 \text{ m} = 1.5 \text{ km}\)。

3.3 判斷最佳價值 (Best Value)

要找出最佳價值（最划算），你必須比較單位價格（例如：每公斤價格、每公升價格）。這運用了速率（Rate）的概念。

例子：哪一個更划算？
A：500g 咖啡，價格 $8.00
B：750g 咖啡，價格 $11.50

• 計算每克（或每 100g，或每 kg）的價格。我們以每克為例。
• A：\(\frac{\$8.00}{500 \text{ g}} = \$0.016\) 每克。
• B：\(\frac{\$11.50}{750 \text{ g}} \approx \$0.0153\) 每克。

由於 B 的每克價格較低，B 更划算。

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4. 速率 (C1.11/E1.11)

速率（Rate）是一種特殊的比，其中被比較的兩個數量具有不同的單位。例如，公里每小時 (km/h) 或美元每公升 (\$/L)。

4.1 速度與時間

速度是你最常遇到的速率計算。你必須掌握以下關係：

$$ \text{速度} = \frac{\text{距離}}{\text{時間}} $$ $$ \text{距離} = \text{速度} \times \text{時間} $$ $$ \text{時間} = \frac{\text{距離}}{\text{速度}} $$

常見錯誤：時間單位轉換！

計算速度時，時間必須換算為單一單位（通常是小時或秒），不能混合使用小時和分鐘。

例子：一輛車在 1 小時 30 分鐘內行駛了 45 公里。平均速度是多少？

1. 將時間換算為小時：30 分鐘 = 0.5 小時。總時間 = 1.5 小時。
2. 計算速度：\(\text{速度} = \frac{45 \text{ km}}{1.5 \text{ h}} = 30 \text{ km/h}\)。

4.2 其他常見速率

• 時薪：每小時 (h) 的收入 ($)。
• 燃料消耗：行駛距離 (km) 與所用燃料量 (L) 的比，通常表示為 km/L。
• 流速：單位時間（如秒或分）內的體積（如公升或 cm³），通常表示為 L/min 或 g/cm³（密度，這也是一種速率）。
• 匯率：用於將一種貨幣兌換為另一種貨幣的比率（例如：1 USD : 0.85 EUR）。

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5. 進階內容：代數比例 / 變分 (E2.8)

如果你正在學習 Extended 課程，你需要了解如何利用比例關係以代數方式描述數量之間的關係。

比例的符號是 \(\propto\)（讀作「與...成正比」）。

關鍵原則：常數 \(k\)

每當你看到 \(\propto\) 時，將其替換為等號和一個常數 \(k\)。這個常數 \(k\) 被稱為比例常數 (Constant of proportionality)。

不用擔心，這聽起來很複雜，但方法永遠一致：先找到 \(k\)！

5.1 正比 (Direct Proportion)

如果兩個數量 \(y\) 和 \(x\) 隨彼此以相同速率增加或減少，則稱它們為正比。當一個翻倍時，另一個也會翻倍。

線性正比

描述：\(y\) 與 \(x\) 成正比。
標記：\(y \propto x\)
方程：\(y = kx\)

類比：工作的小時數越多 (\(x\))，賺到的錢就越多 (\(y\))。

其他正比形式

正比關係也可以涉及 \(x\) 的冪或根：

• \(y\) 與 \(x\) 的平方成正比：\(y \propto x^2 \implies y = kx^2\)
• \(y\) 與 \(x\) 的立方根成正比：\(y \propto \sqrt[3]{x} \implies y = k\sqrt[3]{x}\)

5.2 反比 (Inverse Proportion)

如果兩個數量 \(y\) 和 \(x\) 其中一個增加而另一個減少（反之亦然），則稱它們為反比。

線性反比

描述：\(y\) 與 \(x\) 成反比。
標記：\(y \propto \frac{1}{x}\)
方程：\(y = \frac{k}{x}\)

類比：負責工作的人數越多 (\(x\))，完成工作所需的時間就越短 (\(y\))。

其他反比形式

反比關係也可以涉及冪或根：

• \(y\) 與 \(x\) 的平方成反比：\(y \propto \frac{1}{x^2} \implies y = \frac{k}{x^2}\)

5.3 步驟拆解：解變分問題

問題：\(P\) 與 \(T\) 成正比。當 \(T=5\) 時，\(P=20\)。求當 \(T=12\) 時的 \(P\)。

1. 寫出變分關係式和方程：
   \(P \propto T \implies P = kT\)
2. 代入已知數值以求出 \(k\)：
   \(20 = k(5)\)
   \(k = \frac{20}{5} = 4\)
3. 寫出完整的公式：
   \(P = 4T\)
4. 使用公式解出未知數：
   當 \(T=12\) 時：\(P = 4(12) = 48\)。

你知道嗎？理解正比和反比對於學習物理至關重要，特別是在處理力、壓強和電路時！