Relative and expected frequencies

你好，未來的概率專家！

歡迎來到相對頻率（Relative Frequency）與期望頻率（Expected Frequency）的精彩世界！如果理論概率（例如 \(P(\text{擲出公面}) = 0.5\)）告訴我們「應該」發生什麼，那麼這一章將告訴我們當進行實驗時「實際」會發生什麼，以及如何根據結果進行預測。

別擔心這些術語聽起來很複雜——我們只是將你已學過的數學知識與現實世界中的結果連結起來，例如檢查一枚硬幣是否「公平」，或者根據球隊過去的表現預測他們可能贏得多少場比賽。讓我們馬上開始吧！

第一節：什麼是相對頻率？（實驗概率）

1.1 理論與實驗的分別

當你初次學習概率（C9.1）時，你接觸的是理論概率 (Theoretical Probability)。它是基於完美的數學假設。

• 例子： 在公平的六面骰子上擲出「4」的理論概率是 \(P(4) = \frac{1}{6}\)。

然而，如果你真的擲了六次骰子，你很可能不會剛好得到一次「4」！這就是相對頻率 (Relative Frequency) 的用武之地。

1.2 定義相對頻率

相對頻率（亦稱為實驗概率 Experimental Probability）是純粹根據實驗或觀察結果所得出的概率估計值。它顯示了在實驗過程中某個事件發生的比例。

相對頻率公式

公式非常簡單：

\[\n\text{相對頻率} = \frac{\text{事件發生的次數}}{\text{試驗（或實驗）的總次數}}\n\]

記住： 結果應該始終在 0 到 1 之間（或 0% 到 100%）。

1.3 逐步示範

想像一位學生旋轉一個有偏差的轉盤 200 次，並記錄結果：

結果（顏色）	頻率（旋轉次數）
紅色	45
藍色	105
綠色	50

問題： 請使用相對頻率估計轉到藍色的概率。

第一步：找出所需的數據。
藍色發生的次數 = 105
試驗總次數 = 200

第二步：套用公式。
\[\n\text{相對頻率（藍色）} = \frac{105}{200}\n\]

第三步：簡化或轉換（如有需要）。
\( \frac{105}{200} = \frac{21}{40} \) （或 0.525 或 52.5%）

重點總結： 藍色的相對頻率是 0.525。根據實驗結果，這是我們對轉到藍色之真實概率的最佳估計。

1.4 大數定律（為什麼我們要做實驗）

如果你只旋轉轉盤 5 次，相對頻率可能會非常不準確。然而，你重複實驗的次數越多（試驗次數越大），相對頻率就會越接近真實的理論概率。

記憶小撇步： 試驗次數越多 = 估計越準！如果在基於 10 次試驗和 10,000 次試驗的結果中作選擇，10,000 次試驗肯定能提供更可靠的概率估計。

第二節：期望頻率（進行預測）

2.1 什麼是期望頻率？

一旦我們有了已知的概率（無論是理論概率還是準確的相對頻率估計值），我們就能進行預測。期望頻率 (Expected Frequency) 是指如果重複進行某個次數的實驗，我們預測某事件會發生的次數。

這是你從總體或一組試驗中獲得的「期望值」。

期望頻率公式

要計算預測值，將概率乘以總試驗次數：

\[\n\text{期望頻率} = P(\text{事件}) \times \text{試驗總次數}\n\]

你知道嗎？ 期望頻率的結果並不一定是整數。這完全正常！如果你算出預期有 12.5 個人會選擇雲呢拿味雪糕，這只是意味著最可能有 12 或 13 個人選擇它。

2.2 逐步示範（使用理論概率）

問題： 將一枚公平的六面骰子擲 300 次。你預期擲出大於 4 的數字多少次？

第一步：找出事件的概率。
大於 4 的數字意味著擲出 5 或 6。（2 個成功結果）
總結果 = 6
\(P(\text{大於 } 4) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)

第二步：找出總試驗次數。
總試驗次數 = 300

第三步：計算期望頻率。
\[\n\text{期望頻率} = P(\text{事件}) \times \text{試驗總次數}\n\] \[\n\text{期望頻率} = \frac{1}{3} \times 300 = 100\n\]

結論： 我們預期會擲出 100 次大於 4 的數字。

2.3 使用相對頻率進行估計的例子

讓我們回到第一節那個有偏差的轉盤。我們估計 \(P(\text{藍色}) = 0.525\)。

問題： 如果再旋轉 500 次，轉到藍色的期望頻率是多少？

第一步：使用概率的最佳估計值。
\(P(\text{藍色}) = 0.525\)

第二步：找出總試驗次數。
總試驗次數 = 500

第三步：計算期望頻率。
\[\n\text{期望頻率} = 0.525 \times 500 = 262.5\n\]

結論： 我們預期藍色會出現 262 或 263 次。

第三節：關鍵詞彙：公平 (Fair)、偏差 (Bias) 與隨機 (Random)

這些術語幫助我們理解概率實驗在什麼條件下進行。

3.1 公平與偏差

這些術語通常指實驗中的所有結果是否具有相同的發生可能性。

• 公平 (Fair)：如果每個可能的結果都有相同的理論概率發生，那麼物體或事件就是公平的。
  例子： 標準骰子是公平的，因為 \(P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = \frac{1}{6}\)。
• 偏差 (Bias)：如果某些結果比其他結果更有可能發生，那麼物體或事件就具有偏差 (或稱為「有偏的」)。此時的理論概率是不相等的。
  例子： 一枚加了重物的硬幣可能 80% 的時間都會擲出正面。這枚硬幣對「正面」有偏差。

我們使用相對頻率的結果來檢查是否有偏差。如果我們擲一枚硬幣 1000 次，結果出現 990 次正面，即使理論上它應該是公平的，我們也可以很有信心地斷定該硬幣是有偏差的。

3.2 隨機

隨機 (Random) 意味著任何單次試驗的結果都無法預測，並且是由偶然性決定的。

• 隨機樣本 (Random sample) 指總體中的每一項都有同等的機會被選中。
• 隨機過程 (Random process)（例如擲骰子或抽牌）意味著在結果發生之前，該結果是不確定的。

類比： 即使你知道一枚硬幣是公平的（理論概率為 0.5），下一次投擲的結果仍然是隨機的。知道連續出現了 5 次正面，並不會改變第 6 次投擲出現反面的隨機概率！