Surds

歡迎來到根式 (Surds) 的世界！(延伸課程 E1.17)

你好！本章節我們要學習如何處理那些無法簡化成整數的平方根。這些數稱為根式（Surds，亦稱為無理根式）。它們屬於「數」這個單元，對於確保你的答案為準確值 (exact value)，而不是四捨五入後的小數，至關重要。

如果初看之下覺得這些東西很棘手，請別擔心——根式遵循一套非常嚴格的規則，只要掌握了這些規則，它們的運算就跟處理代數項一模一樣！

究竟什麼是根式？

定義與背景

根式是數學上對一個有理數的無理根 (irrational root) 的稱呼。

• 有理數 (rational number) 可以寫成分數形式（例如：\(\frac{1}{2}, -5, 0.7\)）。
• 無理數 (irrational number) 無法精確地寫成分數，也不能表示為有限或循環小數（例如：\(\pi\) 或 \(\sqrt{2}\)）。

如果你試著用計算機計算 \(\sqrt{2}\)，你會得到 \(1.41421356...\)。這個數字會無限不循環地延伸下去。

當題目要求準確值 (exact value) 時，意味著你必須將答案以根式形式（或 \(\pi\) 的形式）保留。

是根式還是不是根式？

只有當根號內的數不是完全平方數時，該平方根才被稱為根式。

• 是根式： \(\sqrt{3}, \sqrt{7}, \sqrt{15}\)
• 不是根式： \(\sqrt{9} = 3\), \(\sqrt{16} = 4\), \(\sqrt{0.25} = 0.5\)

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1. 簡化根式 (E1.17.1)

就像你簡化分數（例如：\(\frac{10}{20} = \frac{1}{2}\)）一樣，你必須始終將根式簡化到最簡形式。

簡化的目標是將任何完全平方因數移到根號外面。

逐步簡化法

準備工作： 請記住前幾個平方數：4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100...

1. 找出最大的完全平方因數： 尋找能整除根號內數字的最大平方數。
2. 分離根式： 將根式改寫為兩個根式相乘，其中一個包含該完全平方數。
3. 簡化完全平方根： 計算那個完全平方數的平方根。

範例：簡化 \(\sqrt{20}\)

（這是課程大綱中特別提到的例子！）

1. 20 的完全平方因數有 1 和 4。最大的是 4。
2. 分離根式： \[\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = \sqrt{4} \times \sqrt{5}\] 3. 簡化： \[\sqrt{4} \times \sqrt{5} = 2\sqrt{5}\]

所以，\(\sqrt{20}\) 可簡化為 \(\mathbf{2\sqrt{5}}\)。

類比： 把根號內的數字（被開方數）想像成一間旅館。只有完全平方數可以「退房」！4 是一個完全平方數，所以它得以離開，但它出來後會變成它的平方根，也就是 2。而剩下的因數 (5) 則繼續留在根號內。

根式運算的關鍵規則

我們在乘法和除法中會頻繁使用這些規則：

規則 1 (乘法)： \[\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\] 範例： \(\sqrt{3} \times \sqrt{5} = \sqrt{15}\)
範例： \(\sqrt{4} \times \sqrt{9} = 2 \times 3 = 6\)。同樣 \(\sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = 6\)。

規則 2 (除法)： \[\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\] 範例： \(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3\)

2. 根式的加減（合併同類項）

只有當根號內部的數值相同時，你才能進行根式的加減。這些稱為同類根式 (like surds)。

試著把根式 \(\sqrt{a}\) 想像成一個未知數，例如 \(x\)。你只能合併擁有相同變數的項。

• \(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\)（就像合併 \(3x + 5x = 8x\) 一樣）。
• \(7\sqrt{3} - \sqrt{3} = 6\sqrt{3}\)（記住 \(\sqrt{3}\) 其實是 \(1\sqrt{3}\)）。
• \(4\sqrt{5} + 2\sqrt{7}\) 無法合併。

解綜合運算式

有時候，根式看起來無法合併，但其實可以先透過簡化，把它們變成同類根式。

範例：計算 \(\sqrt{200} - \sqrt{32}\)

（這是課程大綱中特別提到的例子！）

1. 簡化 \(\sqrt{200}\)： 200 的最大平方因數是 100。
\[\sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = 10\sqrt{2}\] 2. 簡化 \(\sqrt{32}\)： 32 的最大平方因數是 16。
\[\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}\] 3. 減去同類根式：
\[\sqrt{200} - \sqrt{32} = 10\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = \mathbf{6\sqrt{2}}\]

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3. 分母有理化 (E1.17.2)

在數學上，如果分母留有根式，通常被視為格式不規範（或未完成）。分母有理化 (Rationalising the denominator) 的過程就是消除分數底部根式的過程，通常是透過乘以 1（以特殊形式呈現）來達成。

類型 A：分母為單一根式

如果分母僅是 \(\sqrt{a}\)，將分數的分子和分母同時乘以 \(\sqrt{a}\)。記住，\(\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a\)。

範例：分母有理化 \(\frac{10}{\sqrt{5}}\)

（這是課程大綱中特別提到的例子！）

1. 將分數乘以 \(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\)： \[\frac{10}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\]
2. 計算分子與分母： \[\frac{10 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5}\]
3. 簡化分數（處理有理數部分）： \[\frac{10\sqrt{5}}{5} = \mathbf{2\sqrt{5}}\]

類型 B：二項式分母（使用共軛複式）

這是許多學生最容易失手的延伸課程部分。如果分母看起來像 \(a + \sqrt{b}\) 或 \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\)，我們不能只乘以單一的根式部分。我們必須使用它的共軛複式 (conjugate)。

共軛複式的形成方式，僅僅是改變兩項之間的符號。

• 如果分母是 \(3 + \sqrt{2}\)，其共軛複式就是 \(\mathbf{3 - \sqrt{2}}\)。
• 如果分母是 \(\sqrt{5} - 1\)，其共軛複式就是 \(\mathbf{\sqrt{5} + 1}\)。

為什麼要用共軛複式？ 它應用了平方差公式： \[(a+b)(a-b) = a^2 - b^2\] 應用在根式上時，這會讓平方根消失！ \[(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b}) = a^2 - (\sqrt{b})^2 = a^2 - b \quad \text{（根式消失了！）}\]

範例：分母有理化 \(\frac{1}{-1+\sqrt{3}}\)

（這是課程大綱中特別提到的例子，為了符合代數順序 \(\sqrt{3} - 1\)，書寫方式略有不同）。

1. 為了清晰起見重寫分母：\(\frac{1}{\sqrt{3} - 1}\)。
2. \(\sqrt{3} - 1\) 的共軛複式是 \(\mathbf{\sqrt{3} + 1}\)。
3. 將分數乘以共軛複式： \[\frac{1}{\sqrt{3} - 1} \times \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1}\]
4. 計算分母（使用平方差公式）： \[(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1) = (\sqrt{3})^2 - (1)^2 = 3 - 1 = 2\]
5. 計算分子： \[1 \times (\sqrt{3} + 1) = \sqrt{3} + 1\]
6. 寫出最終有理化後的分數： \[\frac{\sqrt{3} + 1}{2} \quad \text{或} \quad \mathbf{\frac{1+\sqrt{3}}{2}}\]

你知道嗎？ 分母有理化在歷史上非常重要，因為以前手動計算無理數除法幾乎是不可能的！現在雖然計算機可以輕鬆處理，但我們學習它仍然是為了確保數學表達的正確性與簡潔性。

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