學習筆記：數系——四則運算 (0607 International Mathematics)

歡迎來到 IGCSE 數學的基礎章節！在我們深入探討複雜的代數或幾何之前，必須確保你的基本功扎實。本章旨在熟練掌握四則運算：加法、減法、乘法和除法，這些運算適用於你會遇到的所有數字類型（整數、分數和小數）。

請將這四種運算視為你數學工具箱中的必備工具。如果工具使用不當，無論題目看起來多麼巧妙，結果都會出錯！讓我們開始吧。

1. 黃金法則：運算順序

當計算過程包含多於一種運算時（例如同時有加法和乘法），我們必須遵循嚴格的順序，以確保每個人得出的答案都一致。這條規則通常透過記憶法 BODMAS 或 PEMDAS 來記住。

什麼是 BODMAS/PEMDAS？

這個記憶法會告訴你哪些運算優先級較高：

  • Brackets（括號）
  • Order（冪、指數或平方根）
  • Division and Multiplication（除法和乘法，由左至右計算）
  • Addition and Subtraction（加法和減法，由左至右計算）

比喻： 想像 BODMAS 就像你烹飪時必須遵守的清單。如果弄亂了步驟，食譜就不會成功了！

BODMAS 分步指南

讓我們計算 \(4 \times (5 - 2)^2 + 8 \div 4\)：

  1. B - 括號： 先解決括號內的所有內容。
    \(4 \times (\mathbf{3})^2 + 8 \div 4\)
  2. O - 指數（Order）： 計算任何冪或根。
    \(4 \times \mathbf{9} + 8 \div 4\)
  3. DM - 除法與乘法： 從左到右依序進行。
    \(\mathbf{36} + \mathbf{2}\)
  4. AS - 加法與減法： 從左到右依序進行。
    \(\mathbf{38}\)

必須避免的常見錯誤： 請記住，除法和乘法的優先級是相等的。如果在表達式中（從左到右閱讀），乘法出現在除法之前，就先做乘法。加法和減法的情況也是如此。

快速回顧：運算順序

優先級 1： 括號 ($()$)
優先級 2： 冪/根 ($a^2, \sqrt{a}$)
優先級 3： 乘法/除法 ($\times, \div$) (由左至右)
優先級 4： 加法/減法 ($+, -$) (由左至右)

2. 整數運算

整數是全數，包括正數、負數和零。在 IGCSE 的題目中，涉及負數的計算非常頻繁，尤其是在實際情境（如溫度或金融）中。

負數的加法與減法

關鍵在於理解當兩個符號相遇時會發生什麼：
  • 兩個相鄰的正號或兩個相鄰的負號會變成 正號 (+)。（例如：\(5 + (-3)\) 變成 \(5 - 3\)；\(5 - (-3)\) 變成 \(5 + 3\)）。
  • 一個正號和一個負號會變成 負號 (-)。

記憶輔助（金錢比喻）：

  • 如果你有 $5 但欠人 $8：\(5 - 8 = -3\)（你還欠 $3）。
  • 如果氣溫是 \(-2^\circ\text{C}\) 且下降了 \(3^\circ\text{C}\)：\(-2 - 3 = -5^\circ\text{C}\)。

分步範例： 計算 \(-10 + 5 - (-2)\)

  1. 簡化符號：\(-10 + 5 + 2\)
  2. 從左到右計算：\((-10 + 5) = -5\)
  3. 最終結果：\(-5 + 2 = -3\)

負數的乘法與除法

規則很簡單，適用於乘法和除法：

  • 符號相同： 答案為 正數。
    範例： \((-5) \times (-3) = 15\)；\(-10 \div (-2) = 5\)
  • 符號不同： 答案為 負數。
    範例： \((-5) \times 3 = -15\)；\(10 \div (-2) = -5\)

你知道嗎？ 任何數字除以或乘以零皆為未定義（undefined）。然而，$0$ 除以任何非零數總是 $0$。例如：\(0 \div 5 = 0\)。

關鍵要點：整數

掌握符號變換至關重要：一個負號後面緊跟著另一個負號，代表你要做加法！

3. 分數運算

分數往往讓學生感到頭痛，但只要遵循每種運算的具體規則，就會變得容易許多。

先決條件：假分數

在開始加、減、乘、除之前，必須先將所有帶分數（如 \(2 \frac{1}{3}\)）轉換為假分數（如 \(\frac{7}{3}\)）。

範例： \(3 \frac{1}{4} = \frac{(3 \times 4) + 1}{4} = \frac{13}{4}\)。

3.1. 分數的加法與減法

只有當分數具有相同的分母（底部的數字）時，才能進行加減。你必須先找出最小公分母 (LCD)。

分步範例： 計算 \(\frac{1}{2} + \frac{2}{5}\)

  1. 找出 2 和 5 的 LCD。最小公倍數是 10。
  2. 將兩個分數都轉換為分母為 10 的形式。
    \(\frac{1}{2} = \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10}\)
    \(\frac{2}{5} = \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10}\)
  3. 將分子相加。分母保持不變。
    \(\frac{5}{10} + \frac{4}{10} = \frac{9}{10}\)
  4. 化簡最後答案（如果可以）。\(\frac{9}{10}\) 已是最簡形式。

3.2. 分數的乘法

乘法是最簡單的！你不需要公分母。

規則： 分子乘以分子，分母乘以分母。

範例： \(\frac{3}{4} \times \frac{2}{7}\)

分子：\(3 \times 2 = 6\)
分母：\(4 \times 7 = 28\)
結果：\(\frac{6}{28}\)

記得化簡你的最終答案：\(\frac{6 \div 2}{28 \div 2} = \frac{3}{14}\)。

技巧： 在相乘之前，通常可以「交叉約分」以簡化數字，讓最終化簡更容易。在 \(\frac{3}{4} \times \frac{2}{7}\) 中，可以將 4（左下）和 2（右上）同時除以 2：\(\frac{3}{\mathbf{2}} \times \frac{\mathbf{1}}{7} = \frac{3}{14}\)。

3.3. 分數的除法

除法通常使用流行的助記法 KFC（Keep, Flip, Change，即保持、倒轉、改乘）或 KCF 來記憶。

規則： 保持第一個分數不變，將除號改為乘號，並將第二個分數倒轉（求其倒數）。

範例： \(\frac{1}{3} \div \frac{2}{5}\)

  1. 保持 (Keep) 第一個分數：\(\frac{1}{3}\)
  2. 改 (Change) 符號：\(\times\)
  3. 倒轉 (Flip) 第二個分數：\(\frac{5}{2}\)

現在相乘：\(\frac{1}{3} \times \frac{5}{2} = \frac{5}{6}\)

關鍵要點：分數

先轉換帶分數！加減法需要 LCD。除法需要 KCF 規則。

4. 小數運算

小數運算常應用於現實生活中，例如計算金額 (C1.15) 或度量衡 (C1.11)。雖然圖形計算機 (GDC) 可以處理複雜的小數，但你必須了解非計算機卷（Paper 1 或 2）的運算規則。

4.1. 小數的加法與減法

最重要的規則是將小數點垂直對齊。

範例： 計算 \(15.3 + 2.78\)

第一步： 將數字寫下來，對齊小數點。（你可以加上零作為佔位符。）

\(15.30\)
\(+ \ 2.78\)
\(----- \)
\(18.08\)

4.2. 小數的乘法

先忽略小數點，最後再處理！

分步範例： 計算 \(1.2 \times 0.05\)

  1. 忽略小數點，將它們視為整數相乘：\(12 \times 5 = 60\)。
  2. 計算原始數字中小數位數 (d.p.) 的總和。
    1.2 有 1 位小數。
    0.05 有 2 位小數。
    所需總位數：\(1 + 2 = 3\) 位小數。
  3. 將答案 (60) 的小數點向左移動 3 位。
    $60 \to 0.060$（或簡寫為 0.06）

4.3. 小數的除法

進行除法時，將除數乘以 10 的冪，使其變為整數；同時被除數也要乘以相同的數。

範例： 計算 \(4.2 \div 0.6\)

  1. 將除數 (0.6) 乘以 10 變為整數。4.2 也必須乘以 10。
    \(4.2 \times 10 = 42\)
    \(0.6 \times 10 = 6\)
  2. 計算變為 \(42 \div 6\)。
  3. 答案：7。
關鍵要點：小數

加減法請對齊小數點。乘法請計算小數位數總和。

5. 實際情境的應用 (C1.6)

課程大綱要求你將這些運算應用於現實問題。這些問題通常涉及整數（如溫度或銀行餘額）或小數（金額和時間）。

範例：溫度變化

莫斯科的氣溫是 \(-8^\circ\text{C}\)。白天氣溫升高了 \(5^\circ\text{C}\)，隨後下降了 \(10^\circ\text{C}\)。最終氣溫是多少？

計算：
開始：\(-8\)
升高：\(-8 + 5 = -3\)
下降：\(-3 - 10 = -13\)
答案： \(-13^\circ\text{C}\)

範例：涉及金額的組合運算

建築工人購買了 \(2 \frac{1}{2}\) 公斤的沙子，每公斤 $1.50，以及 3 袋水泥，每袋 $5.25。計算總成本。

注意： 我們需要同時使用乘法和加法，並確保先處理帶分數。

  1. 沙子成本： 將 \(2 \frac{1}{2}\) 轉換為 \(2.5\)（或 \(\frac{5}{2}\)）。
    沙子成本 = \(2.5 \times 1.50 = \$3.75\)
  2. 水泥成本： \(3 \times 5.25 = \$15.75\)
  3. 總成本： \(3.75 + 15.75 = \$19.50\)

如果起初覺得有點棘手，不用擔心！ 成功的關鍵是不斷練習這些運算規則，特別是在混合不同數字類型和符號時。隨時複習你的 BODMAS/PEMDAS 運算順序，以確保每次都能正確解題！