👋 歡迎來到三角函數的世界！

你好！三角學聽起來可能很複雜，但其實它是一個非常棒的工具，能幫我們測量那些無法直接觸及的事物，例如山的高度或星星的距離。在本章中，我們將跨越簡單的直角三角形，進一步探討這些關係（正弦、餘弦和正切）如何作為連續函數運作、如何在任何三角形中使用它們，以及如何將其應用於三維空間。

如果看到圖形像波浪一樣也不要擔心！我們會一步步拆解它們。讓我們開始探索並解開三角學的奧秘吧！

第一節：基礎——直角三角形 (E7.1 & E7.2)

畢氏定理與 SOH CAH TOA

在處理角度之前，請記住三角形計算的基石：畢氏定理 (Pythagoras’ Theorem) (E7.1)。
對於任何斜邊為 \(c\) 的直角三角形： $$a^2 + b^2 = c^2$$

三角比取決於你所處理的角度（\(\theta\)）的位置：

  • 斜邊 (Hypotenuse, H)：直角對面的邊（永遠是最長的邊）。
  • 對邊 (Opposite, O)：直接對著角度 \(\theta\) 的邊。
  • 鄰邊 (Adjacent, A)：在角度 \(\theta\) 旁邊的邊（非斜邊）。

記憶法：SOH CAH TOA

這是記住三個基本三角比的關鍵口訣 (E7.2)：

  • SOH：Sine (正弦) \(\theta = \frac{\text{對邊}}{\text{斜邊}}\)
  • CAH：Cosine (餘弦) \(\theta = \frac{\text{鄰邊}}{\text{斜邊}}\)
  • TOA：Tangent (正切) \(\theta = \frac{\text{對邊}}{\text{鄰邊}}\)

仰角與俯角

這些概念用於二維問題 (E7.2.4)，並依賴於水平線的概念。

  • 仰角 (Angle of Elevation)：從水平視線向上測量到上方物體的角度。
  • 俯角 (Angle of Depression)：從水平視線向下測量到下方物體的角度。

小貼士：由人 A 看向人 B 的仰角，永遠等於由人 B 看向人 A 的俯角（平行水平線之間的內錯角）。

快速溫習：準確度 (E7.2 筆記)

在計算機試卷中，請記住非精確答案的規則：

  • 長度/面積：答案保留至 3 位有效數字 (s.f.)。
  • 角度：答案保留至 1 位小數 (d.p.)。

第二節：精確值與三角函數圖像 (E7.3 & E7.4)

三角函數精確值 (E7.3)

在不准使用計算機的試卷（Paper 2）中，你必須熟記特定角度的精確值，例如 \(0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ\) 和 \(90^\circ\)。這些值通常涉及根式，必須以精確形式（而非小數）表示。

最常考的數值：

  • \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)
  • \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\)
  • \(\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\) 或 \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
  • \(\tan 45^\circ = 1\)
  • \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
  • \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

你知道嗎？這些數值是通過繪製正方形和等邊三角形，並使用畢氏定理得出的！

三角函數與圖像 (E7.4)

當我們繪製 \(\sin \theta\)、\(\cos \theta\) 和 \(\tan \theta\) 在所有角度的值時，會得到連續的波浪圖形。你需要能夠在定義域 \(0^\circ \le x \le 360^\circ\) 內識別、繪製及解讀這些圖像。

1. 正弦函數：\(y = \sin x\)
  • 形狀：從原點 (0, 0) 開始，上升至 1，降至 –1，最後回到 0。
  • 關鍵點：最大值在 \((90^\circ, 1)\)，最小值在 \((270^\circ, -1)\)，零點在 \(0^\circ, 180^\circ, 360^\circ\)。
  • 週期：\(360^\circ\)（波浪每 \(360^\circ\) 重複一次）。
  • 值域：\(-1 \le y \le 1\)。
2. 餘弦函數：\(y = \cos x\)
  • 形狀：看起來與正弦波完全一樣，只是向左平移了 \(90^\circ\)。它從最高點開始。
  • 關鍵點：最大值在 \((0^\circ, 1)\) 和 \((360^\circ, 1)\)，最小值在 \((180^\circ, -1)\)。零點在 \(90^\circ\) 和 \(270^\circ\)。
  • 週期：\(360^\circ\)。
  • 值域：\(-1 \le y \le 1\)。
3. 正切函數：\(y = \tan x\)

正切函數非常不同，因為它定義為 \(\frac{\sin x}{\cos x}\)。這意味著當 \(\cos x = 0\) 時，函數無定義！

  • 形狀：重複的 'S' 型曲線。
  • 週期：\(180^\circ\)（它的重複速度是正弦和餘弦的兩倍）。
  • 漸近線：函數無定義的垂直線。這些線出現在 \(90^\circ\) 和 \(270^\circ\)。圖像趨近於這些線，但永遠不會接觸到它們。
  • 零點：\(0^\circ, 180^\circ, 360^\circ\)。

解三角方程 (E7.4.2)

解方程如 \(\sin x = 0.5\) 意味著找出定義域 \(0^\circ \le x \le 360^\circ\) 內所有滿足方程的角度 \(x\)。由於圖像呈對稱波浪狀，通常會有兩個解。

分步解題法：

  1. 找出基本角 (\(\alpha\))：使用反三角函數（例如 \(x = \sin^{-1}(0.5)\)）。這通常會給你銳角（第一象限）。我們稱這個角度為 \(\alpha\)。
  2. 辨別象限/對稱性：觀察你所求數值的正負號：
    • 如果 \(\sin x\) 為正，解為 \(\alpha\) 和 \((180^\circ - \alpha)\)。
    • 如果 \(\cos x\) 為正，解為 \(\alpha\) 和 \((360^\circ - \alpha)\)。
    • 如果 \(\tan x\) 為正，解為 \(\alpha\) 和 \((180^\circ + \alpha)\)。
  3. 找出剩餘的解：根據正負號應用對稱規則。

例題：解 \(2 \cos x + 1 = 0\)，範圍為 \(0^\circ \le x \le 360^\circ\)。
首先，整理方程：\(\cos x = -0.5\)。餘弦值為負。
1. 找出基本角 \(\alpha\)：\(\cos^{-1}(0.5) = 60^\circ\)。(此步驟忽略負號)。
2. 對稱性：餘弦在第二和第三象限為負。
3. 解：

  • 解 1 (第二象限)：\(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\)
  • 解 2 (第三象限)：\(180^\circ + 60^\circ = 240^\circ\)
解為 \(x = 120^\circ\) 和 \(x = 240^\circ\)。

⚠️ 常見錯誤警示

解 \(\cos x = -0.5\) 時，不要直接將負號輸入計算機。你必須先找出銳角參考角 (\(\cos^{-1}(0.5)\))，然後利用對稱規則（圖像形狀）在對應的象限中找出正確角度。

第三節：非直角三角形 (E7.5)

標準的 SOH CAH TOA 規則僅適用於直角三角形。當遇到一般三角形（任何形狀）時，必須使用正弦公式 (Sine Rule)、餘弦公式 (Cosine Rule) 或面積公式 (Area Rule) (E7.5)。
（記住：這些公式已提供在你的 Extended 公式表內！）

1. 正弦公式

適用情況：

  • 已知兩個角和任意一條邊 (AAS 或 ASA)
  • 已知兩條邊和一個非夾角 (SSA – 要小心歧義情況/無解情況)
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

歧義情況 (Ambiguous Case)：這僅發生在已知兩邊及一個非夾角 (SSA) 來求角度（角 B）時。由於 \(\sin \theta = \sin(180^\circ - \theta)\)，計算機可能會給你銳角，但鈍角也可能是有效的。你必須檢查兩個角度（銳角和 \(180^\circ - \text{銳角}\)）在該三角形中是否在幾何上可行。

2. 餘弦公式

適用情況：

  • 已知兩條邊和夾角 (SAS) – 用於求第三條邊。
  • 已知三條邊 (SSS) – 用於求任意一個角。

求邊 \(a\)： $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$

求角 \(A\)：（必須轉換公式！） $$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$

3. 三角形面積

當你知道兩條邊和夾角 (SAS) 時使用面積公式 (E7.5.2)。 $$\text{面積} = \frac{1}{2}ab \sin C$$

重點總結：選擇正確的公式！正弦公式需要成對的邊與對角。餘弦公式用於 SSS 或 SAS 的情況。

第四節：三維空間中的三角學 (E7.6)

三維 (3D) 三角學只是將畢氏定理和 SOH CAH TOA 規則應用於立方體、角錐和稜鏡等立體圖形。主要的挑戰是在 3D 圖形中識別出正確的直角三角形。

關鍵技能：找出直線與平面之間的夾角

這是最常見的 3D 三角題型 (E7.6)。

想像一支鉛筆（直線）斜靠在桌子（平面）上。鉛筆與桌面的夾角，可以通過想像鉛筆的影子直接落在桌面上的位置來找到。

分步程序：

  1. 識別直線 (L)：你需要找出夾角的那條線段（例如 AG）。
  2. 識別平面 (P)：它接觸的表面（例如底面 ABCD）。
  3. 找出投影 (P')：直線 L 在平面 P 上的影子。這是位於 L 正下方的線段（例如 AC 是 AG 在底面 ABCD 上的投影）。
  4. 形成直角三角形：所需的三角形將由直線 (L)、投影 (P') 和連接 L 端點到 P' 的垂直高度 (H) 組成。（例如三角形 AGC，如果 AG 是直線，AC 是投影，則 C 為直角）。
  5. 求解：使用畢氏定理（求出 P' 或 L 的長度），然後利用 SOH CAH TOA 求出所需角度。

類比：把這條線想成是一個斜坡。斜坡的角度就是斜坡本身（直線）與地面（它在平面上的投影）之間的夾角。

最後檢查與學習建議

祝賀你完成了三角函數章節！這一部分完美地將幾何與函數聯繫起來。請務必練習以下技能：

  • 熟練運用正弦與餘弦公式，特別是要能辨認出歧義情況。
  • 對不准使用計算機的試卷，需做到能即時反應出三角函數的精確值。
  • 視覺化並繪製出三個主要的三角函數圖像，並了解它們的零點及最大/最小值。
  • 在解決 3D 問題時，自信地找出關鍵的直角三角形。
保持練習這些題目——特別是 3D 題型——你一定能精通這一章！