Calculus

歡迎來到微積分：變化的數學！

各位未來的數學家，大家好！微積分聽起來可能有點可怕，但它是你將學到的最有力、最令人興奮的數學領域之一。微積分的核心其實就是研究事物如何變化——無論是汽車的速度、曲線的斜率，還是流入水箱的水量。

在考試中，你不會獲得任何微積分公式，因此熟練掌握這些規則和概念至關重要。別擔心，我們會一步一步為你拆解！

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第一部分：微分（尋找變化率）

1.1 導數的概念

微分的核心思想是尋找函數的瞬時變化率。你可以把它想像成汽車的車速錶：雖然平均速度很容易計算，但微分可以告訴你在特定時間點的精確速度。

對函數 \(y = f(x)\) 進行微分的結果稱為導數 (derivative)，它給出了曲線在任何一點 \(x\) 的斜率 (gradient)。

關鍵符號：

• \(y\) 對 \(x\) 的導數寫作：\(\frac{dy}{dx}\)
• 如果函數是 \(f(x)\)，其導數寫作：\(f'(x)\)
• 二階導數（微分兩次）寫作：\(\frac{d^2y}{dx^2}\) 或 \(f''(x)\)

你知道嗎？ 微分在形式上基於極限的概念，即觀察 \(y\) 的變化量 (\(\delta y\)) 除以 \(x\) 的變化量 (\(\delta x\)) 在 \(\delta x\) 趨近於零 (\(\delta x \to 0\)) 時的表現。不過，在附加數學 (Add Maths) 中，你只需要對這個概念有非正式的理解即可——不需要從基本原理 (first principles) 進行微分！

1.2 標準導數與基本規則（課程綱要 14.3）

這些是微積分的基石，你必須把這些規則銘記於心！

冪規則 (Power Rule)

若 \(y = ax^n\)，則 \(\frac{dy}{dx} = n a x^{n-1}\)。

記憶小撇步（冪規則）： 把指數乘下來，然後將指數減一。

例子：

• 若 \(y = 5x^3\)，則 \(\frac{dy}{dx} = 3 \times 5x^{3-1} = 15x^2\)。
• 若 \(y = \frac{1}{x} = x^{-1}\)，則 \(\frac{dy}{dx} = (-1)x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\)。
• 若 \(y = 7\)（常數），則 \(\frac{dy}{dx} = 0\)。

標準函數（必須使用弧度！）

對於三角函數，所有角度必須以弧度 (radians) 為單位。

1. 指數函數：
若 \(y = e^x\)，則 \(\frac{dy}{dx} = e^x\)。 (這最簡單！)

2. 對數函數：
若 \(y = \ln x\)，則 \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}\)。

3. 三角函數：

• 若 \(y = \sin x\)，則 \(\frac{dy}{dx} = \cos x\)。
• 若 \(y = \cos x\)，則 \(\frac{dy}{dx} = -\sin x\)。
• 若 \(y = \tan x\)，則 \(\frac{dy}{dx} = \sec^2 x\)。

和與常數倍數規則

微分可以輕鬆應用於加減運算，常數項則直接乘上即可：
若 \(y = 3x^2 + 5e^x - 2\)，則 \(\frac{dy}{dx} = 6x + 5e^x - 0\)。

第二部分：進階微分技巧

2.1 連鎖律 (Chain Rule)（複合函數）

當函數嵌套在另一個函數中時，就需要用到這個規則，例如 \(y = (3x^2 + 4)^5\)。

如果 \(y\) 是 \(u\) 的函數，且 \(u\) 是 \(x\) 的函數，那麼：
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} \]

類比：剝洋蔥。 先對外層進行微分，將內層視為 \(u\)，然後乘以內層的導數 (\(\frac{du}{dx}\))。

例子： 對 \(y = (3x^2 + 4)^5\) 進行微分。

1. 外層（冪規則）： \(5(3x^2 + 4)^4\)
2. 內層（對 \(3x^2 + 4\) 微分）： \(6x\)
3. 連鎖律： \(\frac{dy}{dx} = 5(3x^2 + 4)^4 \times (6x) = 30x(3x^2 + 4)^4\)

連鎖律對於涉及 \((ax+b)\) 的標準函數至關重要：

• 若 \(y = \sin(2x+1)\)，則 \(\frac{dy}{dx} = \cos(2x+1) \times 2 = 2\cos(2x+1)\)。
• 若 \(y = e^{4x}\)，則 \(\frac{dy}{dx} = e^{4x} \times 4 = 4e^{4x}\)。

2.2 乘積律 (Product Rule)（相乘函數）（課程綱要 14.4）

如果 \(y\) 是兩個函數 \(u\) 和 \(v\) 的乘積，即 \(y = uv\)，那麼：
\[ \frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx} \]

例子： 對 \(y = x^2 e^x\) 進行微分。設 \(u = x^2\)，\(v = e^x\)。

• \(\frac{du}{dx} = 2x\)
• \(\frac{dv}{dx} = e^x\)
• \(\frac{dy}{dx} = (x^2)(e^x) + (e^x)(2x) = x e^x (x + 2)\)

2.3 商律 (Quotient Rule)（相除函數）（課程綱要 14.4）

如果 \(y\) 是兩個函數 \(u\) 和 \(v\) 的商，即 \(y = \frac{u}{v}\)，那麼：
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2} \]

記憶小撇步（商律）： 「下乘上導減上乘下導，再除以下平方。」（「下」即 \(v\)，「上」即 \(u\)）。

重要提示： 雖然你可以使用商律處理除法，但通常將表達式重寫後使用乘積律或連鎖律會更簡單。例如，將 \(\frac{x}{e^x}\) 重寫為 \(x e^{-x}\)，就可以直接用乘積律求解。

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第三部分：微分的應用

3.1 切線與法線 (Tangents and Normals)（課程綱要 14.5）

切線 (Tangent)

在特定點 \(x_1\) 處的導數 \(\frac{dy}{dx}\)，給出了該點切線的斜率。

要尋找切線方程式，請使用點斜式：\(y - y_1 = m_{tan} (x - x_1)\)。

法線 (Normal)

法線是與切線在接觸點垂直的直線。

如果切線斜率為 \(m_{tan}\)，則法線斜率 \(m_{norm}\) 為：
\[ m_{norm} = -\frac{1}{m_{tan}} \]

3.2 駐點 (Stationary Points)（極大值與極小值）（課程綱要 14.6, 14.8, 14.9）

駐點（或轉向點）是曲線上斜率為零的點。在這些點，曲線呈現水平狀態。

尋找駐點的方法：
第一步： 找出導數 \(\frac{dy}{dx}\)。
第二步： 令 \(\frac{dy}{dx} = 0\) 並解出 \(x\)。
第三步： 將 \(x\) 值帶回原函數 \(y=f(x)\)，求出相應的 \(y\) 座標。

注意：本課程只需處理極大值和極小值，不包括反曲點 (Points of inflexion)。

區分極大值與極小值（課程綱要 14.9）

我們需要確定駐點是波峰（極大值）還是波谷（極小值）。有兩種常用測試方法：

A) 二階導數測試（首選方法）

利用二階導數 \(\frac{d^2y}{dx^2}\)：

• 若 \(\frac{d^2y}{dx^2} > 0\)（正值），則是極小值點（笑臉，向上彎曲）。
• 若 \(\frac{d^2y}{dx^2} < 0\)（負值），則是極大值點（哭臉，向下彎曲）。

B) 一階導數測試（檢查兩側的斜率）

如果二階導數測試結果為零（或過於複雜），可檢查駐點 \(x=a\) 兩側的 \(\frac{dy}{dx}\) 符號：

• 極大值： 斜率從 \((+)\) 變為 \((0)\) 再變為 \((-)\)。
• 極小值： 斜率從 \((-)\) 變為 \((0)\) 再變為 \((+)\)。

論證是關鍵： 在考試中，你必須列出 \(\frac{d^2y}{dx^2}\) 的數值或 \(\frac{dy}{dx}\) 的變化過程，以完整證明你的結論。

3.3 相關變化率與小增量（課程綱要 14.7）

相關變化率

當變量與時間 \(t\) 相關時。例如，若已知氣球體積的變化速率 (\(\frac{dV}{dt}\)) 以及體積與半徑的關係，我們就可以求出半徑的變化速率 (\(\frac{dr}{dt}\))。

我們使用連鎖律，通常以時間 \(t\) 為變量：
\[ \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \times \frac{dx}{dt} \]

小增量與近似值

當 \(x\) 有一個微小變量 \(\delta x\) 時，\(y\) 的微小變化 \(\delta y\) 可利用導數近似：
\[ \delta y \approx \frac{dy}{dx} \times \delta x \]

這個公式基本上是說：\(y\) 的微小變化約等於斜率乘以 \(x\) 的微小變化。

要尋找 \(y\) 的新值：\(y_{new} \approx y_{original} + \delta y\)。

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第四部分：積分（微分的逆運算）

4.1 不定積分（反導數）（課程綱要 14.10）

積分是微分的逆運算。如果微分給出變化率，積分則用來找回原函數。

當你對表達式進行積分時，這稱為不定積分。

積分規則（反冪規則）

對 \(x^n\) 進行積分：
\[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad \text{其中 } n \neq -1 \]

記憶小撇步： 指數加一，然後除以新的指數。

任意常數 \(+C\)： 由於任何常數的導數皆為零，我們在進行逆運算時會丟失原始常數的資訊。因此，你務必在不定積分中加上任意常數 \(+C\)。

4.2 標準積分（課程綱要 14.11, 14.12）

這些是微分規則的逆運算，通常通用於 \((ax+b)\) 的形式。請記住，如果對 \((ax+b)\) 的函數進行積分，必須除以內層的導數 \(a\)。

I. 冪規則（一般形式）

\[ \int (ax+b)^n dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C, \quad \text{對於有理數 } n \neq -1 \]

II. 特殊情況 \(n = -1\)

若 \(n=-1\)，我們不能除以零。由於 \(\frac{d}{dx} (\ln x) = \frac{1}{x}\)，其積分為：
\[ \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C \]
\[ \int \frac{1}{ax+b} dx = \frac{1}{a} \ln|ax+b| + C \]

III. 指數與三角函數（角度必須為弧度！）

• \(\int e^{ax+b} dx = \frac{1}{a} e^{ax+b} + C\)
• \(\int \sin(ax+b) dx = -\frac{1}{a} \cos(ax+b) + C\)
• \(\int \cos(ax+b) dx = \frac{1}{a} \sin(ax+b) + C\)
• \(\int \sec^2(ax+b) dx = \frac{1}{a} \tan(ax+b) + C\)

4.3 定積分與面積（課程綱要 14.13）

定積分具有上限和下限（\(a\) 和 \(b\)），它代表曲線 \(y=f(x)\) 在該區間下的淨面積 (net area)。

\[ \int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) \]

（其中 \(F(x)\) 為 \(f(x)\) 的積分形式）。

計算平面面積

定積分用來計算面積。若曲線位於 x 軸下方，積分結果會是負數，這點務必小心。面積必須永遠為正值！

曲線與 x 軸之間的面積：

• 若曲線完全在 x 軸上方，面積 = \(\int_{a}^{b} y dx\)。
• 若曲線完全在 x 軸下方，面積 = \(|\int_{a}^{b} y dx|\)（取正值）。
• 若曲線穿過 x 軸，你必須找出 x 截距，將積分分成多個區域，並將負面積取正後再相加。

兩條曲線之間的面積：
面積 = \(\int_{a}^{b} (y_{upper} - y_{lower}) dx\)
必須先令兩個方程式相等，找出交點（\(a\) 和 \(b\)）。

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第五部分：運動學中的微積分（Motion）

運動學將微積分應用於直線運動的物體。位移 (displacement) (\(s\))、速度 (velocity) (\(v\)) 和加速度 (acceleration) (\(a\)) 之間的關係是基礎中的基礎。

5.1 運動學中的微分（課程綱要 14.14）

速度是位移的變化率，加速度是速度的變化率。

1. 位移 (\(s\)) \(\to\) 速度 (\(v\))
   \[ v = \frac{ds}{dt} \]
2. 速度 (\(v\)) \(\to\) 加速度 (\(a\))
   \[ a = \frac{dv}{dt} \]
3. 因此：\(a = \frac{d^2s}{dt^2}\)

例子：若位移 \(s = 3t^3 - 10t^2 + 4t + 8\)：
速度 \(v = 9t^2 - 20t + 4\)
加速度 \(a = 18t - 20\)

重要區分：

• 位移 (\(s\))： 相對於固定原點的位置（可正可負）。
• 距離： 移動的總長度（永遠為正）。若要尋找距離，必須確定速度為零的地點（即物體改變方向的地方），並將每一段位移的大小相加。
• 速率： 速度的大小（永遠為正）。

5.2 運動學中的積分（課程綱要 14.14）

積分用於逆向過程，找出速率或位移的原函數。

1. 加速度 (\(a\)) \(\to\) 速度 (\(v\))
   \[ v = \int a dt \]
2. 速度 (\(v\)) \(\to\) 位移 (\(s\))
   \[ s = \int v dt \]

進行積分時，你需要使用任意常數 \(+C\)。為了求出 \(C\)，必須給定初始條件（例如，當 \(t=0\) 時 \(v=5\)，或當 \(t=1\) 時 \(s=2\)）。

5.3 運動學圖表（課程綱要 14.15）

由微積分得出的關鍵關係同樣適用於圖表：

1. 速度-時間圖 (Velocity-Time Graph)：

• 斜率給出加速度 (\(\frac{dv}{dt}\))。
• 曲線下的面積給出位移 (\(\int v dt\))。

2. 位移-時間圖 (Displacement-Time Graph)：

• 斜率給出速度 (\(\frac{ds}{dt}\))。

3. 加速度-時間圖 (Acceleration-Time Graph)：

• 曲線下的面積給出速度的變化量 (\(\int a dt\))。