你好，附加數學的同學們！一起來探索圓的坐標幾何吧
歡迎來到附加數學（Additional Mathematics）中最實用且引人入勝的課題之一：圓的坐標幾何（Coordinate Geometry of the Circle）（課程單元 8）。這一章節將你對直線、斜率（gradient）和距離的所有認知融會貫通，並將它們應用到一個完美的形狀——圓形上。
如果坐標幾何有時讓你覺得抽象，別擔心！圓只不過是一組距離固定中心點相同距離的點集。只要我們用代數來表達這個概念，所有複雜的問題都將迎刃而解！
這裡成功的關鍵在於熟練掌握圓的兩種主要方程式形式，並理解半徑與切線之間強大的幾何關係。
1. 圓的方程式：兩種基本形式
1.1 標準式（圓心-半徑式）
這是定義圓最直觀的方法。如果一個圓的圓心在點 \((a, b)\)，半徑為 \(r\)，其方程式為：
公式（載於公式表）：
$$ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 $$
比喻：將圓心 \((a, b)\) 想像成電子遊戲中的起源點，將 \(r\) 想像成「爆炸區域」的半徑。任何被爆炸波及的點 \((x, y)\) 都滿足這個方程式。
如何使用標準式：
- 若圓心為 \((3, -1)\)，半徑為 \(5\)。
方程式為：\((x - 3)^2 + (y - (-1))^2 = 5^2\)
$$ (x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 25 $$
記憶小撇步：注意正負號！如果方程式中是 \((x - 3)\)，則圓心的 x 坐標為正 3；如果是 \((y + 1)\)，則圓心的 y 坐標為 \(-1\)。
1.2 一般式
有時，圓的方程式會以展開且雜亂的形式給出。這就是所謂的一般式：
$$ x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 $$注意：在此形式中，\(x^2\) 和 \(y^2\) 的係數必須均為 1。如果它們不是 1（例如 \(2x^2 + 2y^2 + ...\)），你必須先將整個方程式除以該係數！
將一般式轉換以找出圓心和半徑
要從一般式中找出圓心和半徑，你必須使用配方法（Completing the Square）。
不過，你也可以直接使用以下從配方法推導出的快速關係式：
- 圓心：\((-g, -f)\)
- 半徑： $$ r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} $$
步驟示例（轉換）：
找出 \(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0\) 的圓心和半徑。
- 識別 \(2g = -6\)，\(2f = 4\)，以及 \(c = -12\)。
- 找出 \(g\) 和 \(f\)：\(g = -3\)，\(f = 2\)。
- 圓心 \((-g, -f)\) 為 \((3, -2)\)。
- 計算半徑 \(r\)：
$$ r = \sqrt{(-3)^2 + (2)^2 - (-12)} $$ $$ r = \sqrt{9 + 4 + 12} = \sqrt{25} = 5 $$
第 1 節要點：掌握圓的兩種方程式形式，並能迅速找出圓心和半徑（特別是從一般式），因為這些資訊對於解決交點和切線問題至關重要。
2. 直線與圓的交點（課程單元 8.2）
直線與圓的互動可能有三種情況：它是弦（相交於兩點）、是切線（相交於一點），或者根本不與圓相交（無交點）。
2.1 找出交點
要找出直線（例如 \(y = mx + k\)）與圓的交點，你需要聯立求解這些方程式，通常使用代入法。
處理流程：
- 將線性方程式（例如已分離出的 \(y\)）代入圓的方程式中。
- 展開並簡化所得的方程式。這通常會得到一個關於單一變數（通常是 \(x\)）的二次方程式，形式為 \(Ax^2 + Bx + C = 0\)。
- 解該二次方程式以求出 \(x\)。
- 將 \(x\) 的值代回線性方程式，求出對應的 \(y\) 值。
2.2 使用判別式（\(b^2 - 4ac\)）
如果題目只詢問直線與圓相交的次數，你不需要完全解出二次方程式，只需使用所得二次方程式 \(Ax^2 + Bx + C = 0\) 的判別式（Discriminant, \(\Delta\)）即可。
- 情況 1：弦
若 \(\Delta > 0\) (\(b^2 - 4ac > 0\))，則有兩個不同的實根。該直線為弦，與圓相交於兩點。 - 情況 2：切線
若 \(\Delta = 0\) (\(b^2 - 4ac = 0\))，則有一個重實根。該直線為切線，僅與圓相交於一點。 - 情況 3：不相交
若 \(\Delta < 0\) (\(b^2 - 4ac < 0\))，則無實根。該直線不與圓相交。
你知道嗎？這種判別式方法在數學上等同於計算圓心到直線的垂直距離並將其與半徑 \(r\) 進行比較。然而，在考試中，代入後直接使用判別式通常更快！
第 2 節要點：交點問題依賴於標準的聯立方程式技巧，最終得出一個二次方程式。利用判別式來快速判斷交點的性質。
3. 解決涉及切線的問題（課程單元 8.3）
在附加數學中，當尋找圓的切線方程式時，你絕不能使用微積分（求導）。我們完全依賴圓的基本幾何性質。
切線的黃金法則：
連結切點的半徑與該點的切線互相垂直。
這意味著，如果半徑的斜率為 \(m_{radius}\)，則切線的斜率 \(m_{tangent}\) 必須滿足：
$$ m_{tangent} = -\frac{1}{m_{radius}} $$步驟：找出切線方程式
假設已知一個圓以及圓周上切線經過的一點 \(P(x_1, y_1)\)。
- 找出圓心 (C)：根據圓的方程式確定圓心的坐標 \((a, b)\)。
- 計算半徑的斜率 (CP)：使用公式： $$ m_{radius} = \frac{y_1 - b}{x_1 - a} $$
- 計算切線的斜率：使用垂直線斜率乘積為 -1 的規則： $$ m_{tangent} = -\frac{1}{m_{radius}} $$
- 找出切線方程式：使用點斜式：
$$ y - y_1 = m_{tangent} (x - x_1) $$
（請記住，\((x_1, y_1)\) 是給定的切點。）
要避免的常見錯誤：
如果題目給出了一條直線並詢問它是否為切線，切勿直接假設它與半徑垂直，除非你先驗證該接觸點確實位於圓上。請務必先使用判別式法（第 2.2 節）來確認是否為切線！
快速複習：切線
要求：找出圓心 \((a, b)\) 和切點 \((x_1, y_1)\)。
1. 計算 \(m_{radius}\)。
2. 計算 \(m_{tangent} = -1/m_{radius}\)。
3. 使用 \(y - y_1 = m_{tangent}(x - x_1)\)。
第 3 節要點：尋找切線的整個過程都基於幾何性質：半徑與切線互相垂直。如果你卡住了，畫個圖吧！
4. 兩圓的交點（課程單元 8.4）
正如直線與圓的關係，兩個圓之間可以相交（兩點）、相切（一點）或不相交。
4.1 找出公共弦的方程式
當兩個圓相交時，連接兩個交點的直線稱為公共弦（common chord）。
考慮兩個方程式為：
圓 1：$$ x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0 $$ 圓 2：$$ x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0 $$
任何滿足這兩個方程式的點 \((x, y)\) 都必須位於公共弦上。
處理流程：要找出公共弦的方程式，只需將這兩個圓的方程式相減即可。
$$ (x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1) - (x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2) = 0 $$
由於 \(x^2\) 和 \(y^2\) 項抵消了，結果總是一個線性方程式（直線），這就是公共弦的方程式。
示例：如果圓 1 是 \(x^2 + y^2 - 4x = 0\)，圓 2 是 \(x^2 + y^2 - 6y - 7 = 0\)。
相減 (C1 - C2) 得：\((-4x) - (-6y - 7) = 0\)。
公共弦方程式：\(-4x + 6y + 7 = 0\)。
4.2 確定兩圓的交點關係
要確定兩個圓是相交、相切還是不相交，我們需觀察圓心之間的距離 (\(d\))** 與 **兩半徑之和 (\(r_1 + r_2\))** 的比較。
步驟分析：
- 找出圓 1 的圓心 \((a_1, b_1)\) 和半徑 \(r_1\)。
- 找出圓 2 的圓心 \((a_2, b_2)\) 和半徑 \(r_2\)。
- 使用距離公式計算圓心之間的距離 \(d\)： $$ d = \sqrt{(a_2 - a_1)^2 + (b_2 - b_1)^2} $$
- 比較 \(d\) 與 \(r_1 + r_2\)：
- 相交（兩點）：若 \(d < r_1 + r_2\)。(圓心距離夠近，圓形重疊。)
- 相切（一點，外切）：若 \(d = r_1 + r_2\)。(圓形在外部相接觸。)
- 不相交：若 \(d > r_1 + r_2\)。(圓形距離太遠。)
注意：還有一種內切的情況，即 \(d = |r_1 - r_2|\)，此時一個圓完全位於另一個圓內部，並在某一點相切。這也屬於「相切」或「相交於一點」的範疇。
第 4 節要點：找出公共弦是一個簡單的減法技巧。確定兩圓關係則依賴於比較圓心距與半徑和。
章節總結：必背公式
圓的方程式（標準式）
$$ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 $$圓心 \((a, b)\)，半徑 \(r\)。
圓的方程式（一般式）
$$ x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 $$圓心 \((-g, -f)\)，半徑 \(r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}\)。
直線交點（判別式）
- 兩點：\(b^2 - 4ac > 0\)
- 切線：\(b^2 - 4ac = 0\)
- 不相交：\(b^2 - 4ac < 0\)
切線
使用垂直斜率規則：\(m_{tangent} = -1/m_{radius}\)。
你一定沒問題的！圓的坐標幾何是非常結構化的。只要掌握這些核心公式和幾何規則，你很快就能精通這一章！