歡迎來到第四章：方程、不等式與圖像！
你好，未來的進階數學專家！這一章非常重要，因為它整合了你之前學過的許多技能——例如解二次方程——並將其應用於新的複雜領域，特別是處理模數函數 (Modulus Function) 以及使用代換法 (Substitution) 來解複雜的方程。
如果覺得絕對值看起來很棘手，請別擔心。我們將通過簡單的規則和視覺輔助來拆解它們。掌握這一主題將會大大提升你解決問題的自信心！
第一節：解涉及模數（絕對值）的方程
什麼是模數函數？
一個數的模數（或絕對值），記作 \(|x|\)，簡單來說就是它的非負數值。你可以把它想像成一個數在數線上距離零的距離。由於距離永遠是正數，模數的輸出永遠不會是負數。
- \(|5| = 5\)
- \(|-5| = 5\)
- 類比： 模數就像一個保安，負責把負號剔除。
1.1 基本模數方程： \(|ax + b| = c\)
如果 \(| \text{某項} | = c\)，這意味著模數內的值可能是 \(c\) 或 \(-c\)。
步驟方法：
- 去掉模數符號。
- 將表達式分別等於等號右邊的正值和負值。
- 解出兩個線性方程。
例題：解 \(|2x - 1| = 5\)。
- 情況 1： \(2x - 1 = 5 \implies 2x = 6 \implies x = 3\)
- 情況 2： \(2x - 1 = -5 \implies 2x = -4 \implies x = -2\)
解集為 \(x = 3\) 或 \(x = -2\)。
1.2 複雜模數方程：線性函數
當方程的兩邊都出現變數，或者兩邊都有模數符號時，你有兩種主要的代數方法：
方法 A：兩邊平方（適用於所有形式）
如果 \(|A| = |B|\)，那麼 \(A^2 = B^2\)。這種方法很有用，因為平方可以完全消除模數符號。
例題：解 \(|3x - 2| = |x + 4|\)。
- \((3x - 2)^2 = (x + 4)^2\)
- \(9x^2 - 12x + 4 = x^2 + 8x + 16\)
- \(8x^2 - 20x - 12 = 0\)
- 除以 4： \(2x^2 - 5x - 3 = 0\)
- \((2x + 1)(x - 3) = 0\)
- 解： \(x = 3\) 或 \(x = -0.5\)
重要提示： 如果只有一邊有模數（例如 \(|ax + b| = cx + d\)），平方可能會引入增根 (extraneous roots)（在原方程中不成立的解）。你必須將最終答案代回原方程中進行檢驗。
方法 B：定義法（分情況討論）
我們根據模數內部的表達式何時為正或負來劃分方程。
例題：解 \(|x| = x - 2\)。
- 情況 1： \(x \geq 0\) （模數無影響）
\(x = x - 2 \implies 0 = -2\)。 這是不可能的。在此情況下無解。 - 情況 2： \(x < 0\) （模數改變符號）
\(-x = x - 2 \implies 2 = 2x \implies x = 1\)。
但是我們假設了 \(x < 0\)。由於 \(x = 1\) 違反了此條件，故需捨去。
結論： \(|x| = x - 2\) 無解。
1.3 模數內的二次方程： \(|ax^2 + bx + c| = d\)
這遵循基本的拆分法（第 1.1 節）：
例題：解 \(|x^2 - 3x| = 2\)。
- 令 \(x^2 - 3x = 2\)
\(x^2 - 3x - 2 = 0\)。 使用二次公式求解。 - 令 \(x^2 - 3x = -2\)
\(x^2 - 3x + 2 = 0 \implies (x-1)(x-2) = 0\)。 解為： \(x=1\) 和 \(x=2\)。
快速回顧：模數方程
解涉及模數的方程時：永遠分兩種情況討論（或者兩邊平方，但記得如果方程不是 \(|A| = |B|\) 的形式，一定要檢驗有無增根）。
第二節：解模數不等式
解不等式涉及的核心概念相同（內部的值接近正邊界或負邊界），但不等號的方向非常重要。
2.1 線性模數不等式：規則
這裡我們使用兩個非常有用的記憶法。設 \(a\) 為正數。
規則 1：小於 (Less ThAND) （\(<\) 或 \(\leq\)）
如果 \(|x| < a\)，解位於負邊界和正邊界之間。
$$|x| < a \implies -a < x < a$$
例題：解 \(|2x + 3| \leq 7\)。
- \(-7 \leq 2x + 3 \leq 7\)
- 各部分同時減 3： \(-10 \leq 2x \leq 4\)
- 除以 2： \(-5 \leq x \leq 2\)
規則 2：大於 (GreatOR Than) （\(>\) 或 \(\geq\)）
如果 \(|x| > a\)，解位於邊界之外，並以 "或 (OR)" 分隔。
$$|x| > a \implies x < -a \quad \text{或} \quad x > a$$
例題：解 \(|4x - 1| > 5\)。
- 情況 1（正）： \(4x - 1 > 5 \implies 4x > 6 \implies x > 1.5\)
- 情況 2（負）： \(4x - 1 < -5 \implies 4x < -4 \implies x < -1\)
解為： \(x < -1\) 或 \(x > 1.5\)。
2.2 兩邊都有變數的不等式
這裡最穩妥的代數方法是兩邊平方，前提是我們在解不等式之前，先確保將表達式化簡為一邊為零。
例題：解 \(|x - 5| < 2x\)。
- 兩邊平方： \((x - 5)^2 < (2x)^2\)
- \(x^2 - 10x + 25 < 4x^2\)
- \(0 < 3x^2 + 10x - 25\)
- 因式分解： \(3x^2 + 10x - 25 = (3x - 5)(x + 5)\)
當 \(x > 5/3\) 或 \(x < -5\) 時，二次不等式 \((3x - 5)(x + 5) > 0\) 成立。
等等！別忘了限制條件！ 由於左邊 \(|x-5|\) 必須 \(\geq 0\)，因此右邊 \(2x\) 也必須為正。
- 限制條件： \(2x > 0 \implies x > 0\)。
將二次方程的解與限制條件 \(x > 0\) 結合：
- \(x < -5\) （捨去，因為它違反了 \(x > 0\) 的限制）。
- \(x > 5/3\) （接受）。
最終解： \(x > 5/3\)。
2.3 以圖解法解模數不等式
你可以透過繪製兩邊函數的圖像，並找出一個圖像在另一個圖像之上或之下的位置來解任何模數不等式。
例題：解 \(|x| < x - 2\)（回到之前的例子）。
- 繪製 \(y = |x|\)（原點處的 V 形圖）。
- 繪製 \(y = x - 2\)（y 軸截距為 -2 的直線）。
你會發現圖像 \(y = |x|\) 從未低於直線 \(y = x - 2\)。因此，此題無解。（這證實了我們在第 1.2 節中的代數結果！）
重點總結：模數不等式
使用 "小於 (Less ThAND)" (\( -a < x < a \)) 和 "大於 (GreatOR Than)" (\( x < -a \)) 或 \( x > a \)) 規則。如果變數在兩邊，平方通常最快，但務必記得考慮模數帶來的非負限制條件。
第三節：使用代換法解相關方程 (4.3)
有時候，方程看起來很複雜，但如果你仔細觀察，可以發現一個類似標準二次方程 \(ay^2 + by + c = 0\) 的模式。這就是代換法大顯身手的時候！
代換策略
目標是通過讓一個複雜項等於一個新變數 \(y\)，從而簡化一個非標準方程。
- 找出核心項： 尋找出現兩次的表達式，其中一個是另一個的平方（例如 \(y\) 和 \(y^2\)）。
- 代換： 令 \(y\) 等於核心項。
- 解新二次方程： 解出 \(y\)。
- 反代換： 用原表達式替換 \(y\)，並解出 \(x\)。
3.1 指數例子
涉及指數的方程是代換法的常見候選。
例題：解 \(3e^{2x} = 12 - 5e^{x}\)
- 整理成二次方程形式：
\(3e^{2x} + 5e^x - 12 = 0\) - 令 \(y = e^x\)。由於 \(e^{2x} = (e^x)^2\)，這變成了：
\(3y^2 + 5y - 12 = 0\) - 解 \(y\)： \((3y - 4)(y + 3) = 0\)。
\(y = 4/3\) 或 \(y = -3\)。 - 反代換：
- 情況 1： \(e^x = 4/3 \implies x = \ln(4/3)\)
- 情況 2： \(e^x = -3\)。 由於 \(e^x\) 必須為正，此情況無解。
3.2 對數和分數冪例子
例 1（對數）：解 \(2(\ln 5x)^2 + \ln 5x - 6 = 0\)。
- 令 \(y = \ln 5x\)。
- 方程變為 \(2y^2 + y - 6 = 0\)。
- \((2y - 3)(y + 2) = 0\)。 所以 \(y = 3/2\) 或 \(y = -2\)。
- 反代換：
\(\ln 5x = 3/2 \implies 5x = e^{3/2} \implies x = \frac{1}{5}e^{3/2}\)
\(\ln 5x = -2 \implies 5x = e^{-2} \implies x = \frac{1}{5}e^{-2}\)
例 2（分數冪）：解 \(x^{2/3} + x^{1/3} - 12 = 0\)。
- 注意 \(x^{2/3} = (x^{1/3})^2\)。
- 令 \(y = x^{1/3}\)。
- 方程變為 \(y^2 + y - 12 = 0\)。
- \((y + 4)(y - 3) = 0\)。 所以 \(y = -4\) 或 \(y = 3\)。
- 反代換：
\(x^{1/3} = -4 \implies x = (-4)^3 = -64\)
\(x^{1/3} = 3 \implies x = (3)^3 = 27\)
你知道嗎？
代換法非常強大，因為它將對數或指數等領域中看似複雜的方程，轉化為我們熟悉的二次方程範疇。
重點總結：代換法
總是尋找其中一項是另一項平方的結構。記得在最後一步檢查限制條件（例如，不能取負數的對數，且 \(e^x\) 不能為負）。
第四節：三次多項式與不等式的圖像 (4.4 & 4.5)
在進階數學中，你需要能夠繪製三次函數圖象，並了解模數對其影響，特別是當三次方程以因式形式給出時。
4.1 繪製因式形式的三次多項式
由三個線性因式定義的三次多項式 \(f(x)\) 如下：
$$f(x) = k(x-a)(x-b)(x-c)$$
- 根 (x-截距) 為 \(x = a\)、\(x = b\) 和 \(x = c\)。這些是 \(f(x)=0\) 的點。
- y-截距 通過計算 \(f(0)\) 得到。
- 整體形狀取決於領先係數（所有係數的乘積，包括 \(k\)）的正負號。
- 如果領先係數是正數，圖象從下方（象限 3）開始，在上方（象限 1）結束。（看起來像拉伸的 'N'）。
- 如果領先係數是負數，圖象從上方（象限 2）開始，在下方（象限 4）結束。（看起來像拉伸的 'S'）。
例題圖示： \(f(x) = (x+1)(x-2)(x-4)\)
- 根： -1, 2, 4。
- y-截距： \(f(0) = (1)(-2)(-4) = 8\)。
- 形狀： 領先係數為正，從下方開始，經過 -1，達到波峰，經過 2，達到波谷，經過 4，然後無限向上延伸。
4.2 繪製三次函數的模數： \(y = |f(x)|\)
\(y = |f(x)|\) 的圖象是通過對 \(y = f(x)\) 的圖象進行變換而得到的：
反射規則： 任何在 x 軸下方的 \(y = f(x)\) 圖象部分必須翻轉（鏡像）到 x 軸上方。已經在 x 軸上方的部分保持不變。
截距（根）保持不變，但所得圖象會在 x-截距處出現尖銳的點，稱為尖點 (cusps)。
4.3 圖解三次不等式 (4.5)
課程要求你利用草圖解 \(f(x) \geq d\) 或 \(|f(x)| < d\) 形式的三次不等式，其中 \(f(x)\) 是三個線性因式的乘積。
解 \(f(x) > d\) 的步驟：
- 繪製 \(y = f(x)\) 的圖象。
- 畫出水平線 \(y = d\)。
- 找出所有交點的 x-座標（通過解 \(f(x) = d\)）。
- 確定 \(f(x)\) 的圖象在直線 \(y = d\) 之上的區間。
例題：使用 \(f(x) = (x+1)(x-2)(x-4)\) 的草圖來解 \(f(x) \leq 8\)。
- 我們發現 \(f(0) = 8\)，所以圖象在 \(x=0\) 處觸碰 \(y=8\)。
- 求解 \((x+1)(x-2)(x-4) = 8\)。（小心展開並令其等於 0）。
\(x^3 - 5x^2 + 2x + 8 = 8\)
\(x^3 - 5x^2 + 2x = 0\)
\(x(x^2 - 5x + 2) = 0\) - 交點為 \(x=0\) 以及 \(x^2 - 5x + 2 = 0\) 的根。（設這些根為 \(x_1\) 和 \(x_2\)）。
- 觀察草圖，我們需要曲線低於或等於直線 \(y=8\) 的部分。曲線在 \(x \leq x_1\) 以及 \(x_2\) 到 0 之間低於 \(y=8\)。
- 最終解將表示為 \(x\) 的範圍。
不等式的重要提示： 使用圖解法時，如果題目要求精確解，你必須確保代數計算出交點的確切位置。草圖只是幫助你理解應該選擇哪些區間。
重點總結：圖象
對於三次函數草圖，找出根和端點行為（正係數從下方開始，負係數從上方開始）。模數變換 \(y = |f(x)|\) 簡單來說就是將 x 軸下方的部分 "鏡像" 到上方。使用水平線 (\(y=d\)) 來解不等式。