Factors of polynomials

歡迎來到多項式因式！

數學高手們，你們好！這一章可能會因為「多項式」和「定理」這些術語聽起來有點嚇人，但別擔心。這其實是附加數學（Additional Mathematics 0606）中最強大且最有系統的章節之一。

我們基本上是在學習如何為比簡單二次方程複雜得多的表達式進行「乘法的逆運算」。掌握這些技巧——餘式定理（Remainder Theorem）和因式定理（Factor Theorem）——你就能輕鬆處理三次方程並高效地分解複雜的表達式。讓我們開始吧！

（附註：由於 Paper 1 有時不允許使用計算機，多加練習這些代數技巧非常重要！）

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1. 快速重溫：什麼是多項式？

多項式（Polynomial）就是由包含變數（通常是 \(x\)）的正整數次方項組成的數學表達式，例如 \(x^3 + 4x^2 - 7\)。我們通常使用符號 \(P(x)\) 或 \(f(x)\) 來表示一個多項式。

• 一次多項式（Linear polynomial）的次數為 1（例如 \(x+5\)）。
• 二次多項式（Quadratic polynomial）的次數為 2（例如 \(2x^2 - 3x + 1\)）。
• 三次多項式（Cubic polynomial）的次數為 3（例如 \(x^3 + 2x - 10\)）。本章主要集中在三次多項式。

當我們談論因式時，是指那些能將多項式整除、且餘數為零的表達式。例如，\((x-1)\) 是 \(x^2 - 1\) 的一個因式。

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2. 餘式定理

3.1 認識並運用餘式定理

餘式定理是一個超級方便的捷徑！我們不需要進行複雜的代數長除法來求餘數，只需要簡單代入數值即可。

類比：簡單除法

想像你用 17 除以 5，商是 3，餘數是 2。在多項式中，我們關注的正是那個餘數。

規則：

若多項式 \(P(x)\) 除以線性表達式 \((x - a)\)，則餘數（Remainder）簡單來說就是 \(P(a)\)。

這是因為當你把 \(x=a\) 代入除式 \((x-a)\) 時，除式會變成零，剩下的就只有餘數。

重要提示：注意正負號！
如果你除以：

• \((x - 3)\)，你代入 \(x = +3\)。
• \((x + 2)\)，你代入 \(x = -2\)。（因為 \(x + 2\) 等同於 \(x - (-2)\)）。

步驟範例

求 \(P(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + 1\) 除以 \((x - 2)\) 時的餘數。

1. 確定 \(a\)：由於除式是 \((x - 2)\)，我們使用 \(a = 2\)。
2. 將 \(a\) 代入 \(P(x)\)：餘數 \(R\) 即為 \(P(2)\)。
\[R = P(2) = (2)^3 - 3(2)^2 + 5(2) + 1\] 3. 計算：
\[R = 8 - 3(4) + 10 + 1\] \[R = 8 - 12 + 11\] \[R = 7\]

餘數是 7。你甚至不需要做長除法就能算出來！

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3. 因式定理

3.1 認識並運用因式定理

因式定理（Factor Theorem）其實就是餘數為 零 時的餘式定理。

規則：

線性表達式 \((x - a)\) 是多項式 \(P(x)\) 的一個因式（Factor），若且唯若（if and only if） \(P(a) = 0\)。

類比： 如果你用 10 除以 5，餘數是 0，這就告訴你 5 是 10 的因數。邏輯是一樣的！

記憶小撇步： F-A-C-T-O-R 意味著 F(a)=0。

步驟範例

證明 \((x + 1)\) 是 \(P(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2\) 的一個因式。

1. 確定 \(a\)：由於因式是 \((x + 1)\)，我們代入 \(x = -1\)。
2. 代入 \(P(x)\)：
\[P(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 - (-1) - 2\] 3. 計算：
\[P(-1) = -1 + 2(1) + 1 - 2\] \[P(-1) = -1 + 2 + 1 - 2\] \[P(-1) = 0\]

既然 \(P(-1) = 0\)，我們已成功證明 \((x + 1)\) 是 \(P(x)\) 的一個因式。

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4. 求多項式因式與解三次方程

3.2 求多項式因式 & 3.3 解三次方程

本章的主要目標通常是將三次多項式完全因式分解，也就是將 \(P(x)\) 轉化為 \((x-a)(x-b)(x-c)\) 的形式。

要解三次方程 \(P(x) = 0\)，你必須先用因式定理找到一個線性因式，然後再找出剩下的二次因式。

步驟 1：尋找第一個線性因式（試誤法）

我們需要猜出一個 \(a\) 的值，使得 \(P(a) = 0\)。我們從哪裡得到這些猜測值呢？

測試值的技巧： 觀察多項式的常數項（Constant term）。該多項式的整數因式必然對應到常數項的整數因數（正或負）。

例如：對於 \(P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6\)，常數項是 6。
\(a\) 的可能整數值是 6 的因數：\(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\)。

從最簡單的數值開始測試：\(+1, -1, +2, -2\)。

• 測試 \(x=1\)：\(P(1) = (1)^3 - 4(1)^2 + 1 + 6 = 1 - 4 + 1 + 6 = 4\)。（失敗）。
• 測試 \(x=-1\)：\(P(-1) = (-1)^3 - 4(-1)^2 + (-1) + 6 = -1 - 4 - 1 + 6 = 0\)。（成功！）

因為 \(P(-1) = 0\)，所以 \((x - (-1))\)，即 \((x + 1)\)，就是我們的第一個因式。

步驟 2：尋找二次因式（除法）

現在我們知道 \(x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x + 1) \times Q(x)\)，其中 \(Q(x)\) 是一個二次表達式 \((Ax^2 + Bx + C)\)。

你必須使用代數長除法（Algebraic Long Division）或比較係數法（Comparing Coefficients）來找出 \(Q(x)\)。

方法 A：代數長除法（核心技巧）

如果一開始覺得棘手別擔心——這就像小學除法，只是多了 \(x\) 而已！

我們將 \(x^3 - 4x^2 + x + 6\) 除以 \((x + 1)\)。

1. 除最高次項： \(x^3 / x = x^2\)。在商寫上 \(x^2\)。
2. 相乘： \(x^2(x + 1) = x^3 + x^2\)。
3. 相減： \((x^3 - 4x^2) - (x^3 + x^2) = -5x^2\)。將下一項 \((+x)\) 拿下來。
4. 重複： 除新的最高次項：\(-5x^2 / x = -5x\)。在商寫上 \(-5x\)。
5. 相乘： \(-5x(x + 1) = -5x^2 - 5x\)。
6. 相減： \((-5x^2 + x) - (-5x^2 - 5x) = 6x\)。將最後一項 \((+6)\) 拿下來。
7. 重複： 除：\(6x / x = +6\)。在商寫上 \(+6\)。
8. 相乘： \(6(x + 1) = 6x + 6\)。
9. 相減： \((6x + 6) - (6x + 6) = 0\)。（餘數為零，確認這是因式！）

因此，二次因式是 \(Q(x) = x^2 - 5x + 6\)。

方法 B：比較係數法（觀察法）

我們知道：\(x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x + 1)(Ax^2 + Bx + C)\)

• 觀察 \(x^3\) 項： \(x \times Ax^2 = x^3\)。由於 A 必須為 1，所以 \(A=1\)。
• 觀察常數項： \(1 \times C = 6\)。因此，\(C=6\)。

  現在我們有：\((x + 1)(x^2 + Bx + 6)\)

• 觀察 \(x^2\) 項： \(x^2\) 的係數是 \(-4\)。\(x^2\) 項來自：\((x)(Bx)\) + \((1)(x^2)\)。
  所以：\(B + 1 = -4\)。因此，\(B = -5\)。

二次因式是 \(x^2 - 5x + 6\)。(檢查一下 \(x\) 項：\(6x + Bx = 6x - 5x = x\)。吻合！)

步驟 3：解三次方程（最終分解）

要解 \(x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0\)，我們使用分解後的格式：
\[(x + 1)(x^2 - 5x + 6) = 0\]

1. 解線性因式： \(x + 1 = 0 \implies x = -1\)。

2. 解二次因式： \(x^2 - 5x + 6 = 0\)。(輕鬆對該二次式進行分解。)
\[(x - 2)(x - 3) = 0\]
這給出了 \(x = 2\) 和 \(x = 3\)。

該三次方程的解為 \(x = -1, x = 2, x = 3\)。

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5. 避免常見錯誤

無論是在練習還是考試壓力下，請務必留意這些常見陷阱：

1. 代入時的符號錯誤：

• 如果 \((x - 5)\) 是因式，你要代入 \(x = +5\)。
• 如果 \((2x - 1)\) 是因式，你要代入 \(x = 1/2\)。(記住，將因式設為零來求 \(x\) 的值)。

2. 長除法中遺漏項：

如果多項式缺少某項次方，例如 \(x^3 + 5x - 8\)（沒有 \(x^2\) 項），在除法之前，強烈建議填入零佔位符。
寫成：\(x^3 + 0x^2 + 5x - 8\)。這能防止相減時發生對齊錯誤。

3. 忽略 \(x\) 的根：

如果三次方程是 \(x^3 - 2x^2 = 0\)，不要只抽出 \(x^2\) 然後解出來就算了。記得 \(x^2 = 0\) 代表 \(x=0\) 是兩次重根。請始終確保你找齊了要求的根的數量（三次方程應有三個根）。

你知道嗎？

你用於多項式的代數長除法，與電腦用來分割大型二進位數值的邏輯過程是一模一樣的！這是一個非常基礎且重要的數學程序。

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快速重溫欄

餘式定理：

以 \((x - a)\) 除 \(P(x)\)，餘數 \(R = P(a)\)。

因式定理：

若 \(P(a) = 0\)，則 \((x - a)\) 為因式。

解 \(P(x)=0\) (三次方程)：

1. 猜根 \(a\)（常數項的因數）。

2. 驗證 \(P(a)=0\)。

3. 將 \(P(x)\) 除以 \((x-a)\) 得到二次式 \(Q(x)\)。

4. 解 \(Q(x)=0\) (透過分解或二次公式)。

你能做到的！勤加練習是精通代數運算的唯一途徑。