📚 附加數學 (Additional Mathematics - 0606) 學習筆記：函數 (Functions)
👋 你好，歡迎來到函數的世界！
函數是附加數學中最基礎且最重要的課題之一。如果一開始看到那些符號覺得很困惑，不用擔心；函數其實就是一種特殊的「機器」，輸入一個數值，遵循特定的規則，最後輸出一個唯一的結果。
掌握這一章非常重要，因為函數無處不在——從繪製複雜的圖形到理解微積分。讓我們一步步拆解這些核心概念吧！
1. 定義函數：機器類比 (課程綱要 1.1)
1.1 究竟什麼是函數？
函數 \(f\) 是一條規則，它將起始集合（輸入值）中的每一個元素對應到終點集合（輸出值）中的唯一一個元素。
標準的符號表示如下：
- 函數標記： \(f(x) = 3x + 2\)。這讀作「x 的函數為 3x 加 2」。
- 映射標記： \(f: x \to 3x + 2\)。這讀作「函數 f 將 x 映射到 3x 加 2」。
1.2 關鍵術語：定義域與值域 (課程綱要 1.1, 1.2)
在處理函數時，我們需要定義哪些數字可以「進入」機器，以及哪些數字會「出來」。
1. 定義域 (Domain，輸入集合)
- 定義域是指函數在運算上容許的所有可能輸入值（\(x\)）的集合。
- 類比： 這些是你可以放入機器的原料。
2. 值域 (Range，輸出集合或像集)
- 值域是指當輸入符合定義域時，函數所產出的所有可能輸出值（\(f(x)\) 或 \(y\)）的集合。
- 類比： 這些是從機器中製作出來的成品。
如何求定義域與值域（識別限制條件）
除非另有說明，大多數函數的定義域為所有實數，即 \(x \in \mathbb{R}\)。但你必須留意兩大限制：
限制 A：分母不能為零
如果函數是分數形式，分母絕對不能為零。
例子： 對於 \(f(x) = \frac{1}{x-4}\)，其定義域為 \(x \in \mathbb{R}, x \ne 4\)。
限制 B：負數不能開平方根
如果函數包含平方根，根號內的表達式必須大於或等於零。
例子： 對於 \(g(x) = \sqrt{x+5}\)，我們需要 \(x+5 \ge 0\)，因此定義域為 \(x \ge -5\)。
求值域的方法：
通常，確定值域最簡單的方法是畫出圖像，或考慮函數的最大值/最小值（特別是二次函數，見課題 2）。
例子： 對於 \(h(x) = x^2 + 1\)，由於對所有實數 \(x\) 而言，\(x^2 \ge 0\)，因此最小的輸出值為 \(0+1=1\)。所以值域為 \(h(x) \ge 1\)。
定義域（輸入，\(x\)）：檢查分母是否 \(\ne 0\)，以及根號內是否 \(\ge 0\)。
值域（輸出，\(f(x)\)）：尋找函數的最大值或最小值。
2. 模函數 (Modulus Function / 絕對值) (課程綱要 1.4)
模函數寫作 \(y = |f(x)|\)，代表輸出值的絕對值。這意味著結果永遠不會是負數。
2.1 繪製 \(y = |f(x)|\) 的圖像
繪製模函數圖像的步驟很簡單：
- 先畫出原函數 \(y = f(x)\) 的圖像。
- x 軸上方或軸上的所有圖形保持不變。
- x 軸下方的所有圖形（即 \(y\) 為負的部分）必須沿著 x 軸翻轉向上。
\(y = |f(x)|\) 的值域永遠為 \(y \ge 0\)，如果原圖形的最低點在 x 軸上方，則為大於或等於該最小值。
你知道嗎？ 當你將圖形翻轉向上時，產生的尖角稱為尖點 (cusps)。在繪圖時標註這些特徵非常重要！
3. 函數類型與反函數 (課程綱要 1.1, 1.5, 1.6, 1.8)
函數的種類各不相同！為了求得反函數，該函數必須是所謂的一一函數 (one-one function)。
3.1 一一函數 vs. 多一函數
我們使用水平線測試 (Horizontal Line Test, HLT) 來區分函數的類型：
1. 一一函數 (One-one Function)
- 每一個輸出值只對應一個輸入值。
- 測試： 一條水平線與圖形最多只有一個交點。
- 反函數： 存在反函數。
2. 多一函數 (Many-one Function) (課程綱要 1.5)
- 至少有一個輸出值對應到兩個或更多輸入值。
- 測試： 一條水平線與圖形可以有超過一個交點（例如標準拋物線 \(y=x^2\)）。
- 反函數： 不存在反函數，除非先限制其定義域，使其變成一一函數。
如果題目要求解釋為什麼 \(f(x) = x^2\) 沒有反函數，你必須用文字表達（課程綱要 1.5）：
「該函數是多一函數（未通過水平線測試），因為例如 \(f(2) = 4\) 且 \(f(-2) = 4\)。反函數將無法確定該將 4 對應回 2 還是 -2。」
3.2 求反函數 \(f^{-1}(x)\) (課程綱要 1.6)
反函數 \(f^{-1}(x)\) 的作用是顛倒映射。\(f\) 的定義域會變成 \(f^{-1}\) 的值域，反之亦然。
求 \(f^{-1}(x)\) 的步驟：
-
步驟 1：寫出 \(y = f(x)\)。
例子： 若 \(f(x) = 2x - 3\)，寫成 \(y = 2x - 3\)。 -
步驟 2：交換 \(x\) 和 \(y\)。（這是反轉的關鍵步驟！）
例子： \(x = 2y - 3\)。 -
步驟 3：重新排列，使 \(y\) 成為主項。
例子： \(x + 3 = 2y \implies y = \frac{x+3}{2}\)。 -
步驟 4：使用反函數符號書寫。
例子： \(f^{-1}(x) = \frac{x+3}{2}\)。
3.3 圖形關係 (課程綱要 1.8)
函數 \(y = f(x)\) 及其反函數 \(y = f^{-1}(x)\) 的圖像之間有一種簡單而優美的關係：
它們是關於直線 \(y = x\) 對稱（反射）的。
如果點 \((a, b)\) 在 \(f(x)\) 上，那麼點 \((b, a)\) 就會在 \(f^{-1}(x)\) 上。這就是為什麼我們在代數上要交換 \(x\) 和 \(y\) 的原因！
反函數僅在函數為一一函數時存在。求反函數是一個包含交換 \(x\) 和 \(y\) 的四步代數過程。在圖形上，反函數是關於 \(y=x\) 的鏡像。
4. 複合函數 (Composite Functions) (課程綱要 1.1, 1.7)
複合函數是指將一個函數的運算結果作為另一個函數的輸入。你可以把它想像成將兩台函數機器串聯在一起。
4.1 符號與順序
假設有兩個函數 \(f(x)\) 和 \(g(x)\)：
-
複合函數 \(fg(x)\) 代表先執行 \(g\)，再將結果代入 \(f\)。
我們寫作 \(f(g(x))\)。 -
複合函數 \(gf(x)\) 代表先執行 \(f\)，再將結果代入 \(g\)。
我們寫作 \(g(f(x))\)。
重要： 順序很重要！一般來說，\(fg(x)\) 不等於 \(gf(x)\) (課程綱要 1.7)。
「由內而外」法則： 永遠將「內層」函數代入「外層」函數。
例子： 設 \(f(x) = x + 1\) 且 \(g(x) = x^2\)。
求 \(fg(x)\)：將 \(g(x)\) 代入 \(f(x)\)。
\(fg(x) = f(x^2) = (x^2) + 1\)。
求 \(gf(x)\)：將 \(f(x)\) 代入 \(g(x)\)。
\(gf(x) = g(x + 1) = (x + 1)^2\)。
4.2 函數的自我複合：\(f^2(x)\) (課程綱要 1.3)
符號 \(f^2(x)\) 代表函數 \(f\) 與自身的複合：\(f(f(x))\)。
例子： 設 \(f(x) = 2x + 5\)。
\(f^2(x) = f(f(x)) = f(2x + 5) = 2(2x + 5) + 5\)
\(f^2(x) = 4x + 10 + 5 = 4x + 15\)。
4.3 複合函數的定義域與值域 (課程綱要 1.2)
求複合函數的定義域和值域可能比較棘手，特別是當原函數有受限的定義域時。
對於 \(fg(x)\)：
1. \(fg\) 的定義域是受內層函數 (\(g\)) 所允許的輸入值 (\(x\)) 集合。(\(fg\) 的定義域 \(\subseteq g\) 的定義域)。
2. \(fg\) 的值域是當 \(g\) 的輸出值被作為輸入放入外層函數 (\(f\)) 後所產生的輸出值 (\(y\)) 集合。(\(fg\) 的值域 \(\subseteq f\) 的值域)。
加油： 關鍵在於檢查第一個函數的輸出值是否為第二個函數的有效輸入值。如果 \(g\) 的值域不符合 \(f\) 的定義域，則 \(g\) 的定義域必須被限制，這樣 \(fg\) 才能存在。
學習清單：必備技能
如果你能自信地完成以下事項，就代表你已經準備好迎接這部分的考試了：
- 定義函數、定義域、值域、一一函數和反函數。
- 識別定義域的限制條件（除以零、開平方根）。
- 使用函數標記：\(f(x)\), \(f: x \to \dots\), \(f^{-1}(x)\), \(fg(x)\), \(f^2(x)\)。
- 構成複合函數 \(fg\) 和 \(gf\)，並牢記順序至關重要。
- 解釋為什麼多一函數（如拋物線）沒有反函數。
- 使用交換並重新排列法求反函數 \(f^{-1}(x)\)。
- 透過將負的部分向上翻轉，繪製 \(y = |f(x)|\) 的圖像。
- 透過圖形證明 \(f\) 與 \(f^{-1}\) 是關於直線 \(y = x\) 對稱。