第 6 章：對數與指數函數
你好！歡迎來到附加數學（Additional Mathematics）中最具威力且最令人興奮的課題之一：對數與指數函數。
別擔心這些術語聽起來很複雜。它們其實只是我們用來處理那些增長或縮減速度極快的事物的數學工具，例如人口增長、放射性衰變或複利計算。它們互為反函數——你可以把它們看作同一枚硬幣的兩面！
在本章中，我們將學習它們的基本性質、如何繪製函數圖像，以及最重要的——如何利用它們來解棘手的方程式。讓我們開始吧！
6.1 自然指數函數：\(y = e^x\)
指數函數是指變數位於指數（冪）位置的函數。雖然你對底數如 2 或 10 很熟悉，但附加數學經常聚焦於一個非常特殊的底數：常數 \(e\)。
什麼是 \(e\)？
\(e\) 是自然底數。它是一個無理數，就像 \(\pi\) 一樣，其數值約為 2.71828。它自然地出現在涉及持續增長的過程中。
自然指數函數寫作 \(f(x) = e^x\)。
圖像 \(y = e^x\) 的性質
- y 軸截距：當 \(x=0\) 時，\(y = e^0 = 1\)。圖像總是經過點 \((0, 1)\)。
- 定義域與值域：定義域（x 的取值）為所有實數。值域（y 的取值）為 \(y > 0\)。
- 漸近線：圖像趨近於 x 軸（即 \(y=0\)），但永遠不會接觸它。這條線稱為水平漸近線。
- 增長：由於 \(e > 1\)，函數隨 \(x\) 的增加而增加（這是一個遞增函數）。
你知道嗎？常數 \(e\) 有時被稱為歐拉數（紀念數學家萊昂哈德·歐拉），它在金融和微積分中至關重要，因為它的導數就是它本身！
圖像變換（課程範圍）
你必須能夠繪製及理解以下形式的圖像：
$$y = k e^{nx} + a$$
-
\(a\)：垂直平移（決定漸近線）
這會將整個圖像向上或向下平移。水平漸近線永遠是 \(y = a\)。 -
\(k\)：垂直拉伸/壓縮
這會對圖像進行垂直方向的拉伸或壓縮。 -
\(n\)：水平縮放
如果 \(n\) 很大，增長速度會更快。
例子：對於 \(y = 3e^{2x} + 5\)，其水平漸近線為 \(y = 5\)。該圖像將始終位於直線 \(y=5\) 的上方。
指數函數的關鍵要點
函數 \(y = ke^{nx} + a\) 的圖像在 \(y = a\) 處有一條水平漸近線。圖像永遠不會到達這條線！
6.2 自然對數函數：\(y = \ln x\)
對數函數是指數函數的反函數。它回答的問題是：「我要將底數提高到什麼指數，才能得到這個數字？」
對數的定義
一般來說，若 \(b^y = x\)，則 \(\log_b x = y\)。
當底數 \(b\) 為自然數 \(e\) 時，我們使用一種特殊的記號：\(\ln x\)（讀作 "lon x" 或 "natural log of x"）。
因此，\(\ln x\) 即代表 \(\log_e x\)。
反函數關係（「撤銷」按鈕）
由於 \(e^x\) 和 \(\ln x\) 是互為反函數，它們會互相抵消：
- \(\ln(e^x) = x\)
- \(e^{(\ln x)} = x\)
類比：如果你穿上襪子（\(e^x\)）然後再脫掉（\(\ln x\)），你最終回到了原點（x）。
圖像 \(y = \ln x\) 的性質
函數 \(y = \ln x\) 的圖像與 \(y = e^x\) 的圖像關於直線 \(y = x\) 對稱。
- x 軸截距：當 \(y=0\) 時，\(\ln x = 0\)，因此 \(x = e^0 = 1\)。圖像總是經過點 \((1, 0)\)。
- 定義域：對數只對正數定義。你不能對零或負數取對數。因此，定義域為 \(x > 0\)。
- 漸近線：圖像趨近於 y 軸（即 \(x=0\)），但永遠不會接觸它。這條線是垂直漸近線。
- 值域：值域（y 的取值）為所有實數。
圖像變換（課程範圍）
你必須能夠繪製及理解以下形式的圖像：
$$y = k \ln(ax + b)$$
這裡最重要的部分是確定垂直漸近線。
對數的真數（\(ax + b\)）必須大於零。漸近線發生在真數等於零時：
$$ax + b = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{b}{a}$$
例子：對於 \(y = 2 \ln(x - 3)\)，定義域要求 \(x - 3 > 0\)，即 \(x > 3\)。垂直漸近線為 \(x = 3\)。
常見錯誤警告！
請記住，\(\ln x\) 的定義域必須為正。如果你需要求 \(f(x) = \ln(g(x))\) 的定義域，你必須解不等式 \(g(x) > 0\)。
6.3 對數定律（所有底數適用）
這三條定律是你簡化對數表達式或解方程式時最好的夥伴。它們適用於任何底數 ($b$)，包括 $e$ (\(\ln\)) 和 10 (\(\lg\))。
定律 1：乘法法則（乘法變加法）
例子：\(\ln(4x) = \ln 4 + \ln x\)
定律 2：除法法則（除法變減法）
例子：\(\lg \left(\frac{100}{y}\right) = \lg 100 - \lg y = 2 - \lg y\)
定律 3：冪法則（指數變倍數）
這是解方程式時最關鍵的定律，因為它允許我們將變數從指數位置「拉」下來！
例子：\(\ln(x^3) = 3 \ln x\)
特殊性質
- \(\log_b 1 = 0\) （因為對於任何底數 $b$，\(b^0 = 1\)）
- \(\log_b b = 1\) （因為 \(b^1 = b\)）
- \(\log_{10} x\) 通常寫作 \(\lg x\)。
換底公式（計算必備）
有時你會遇到底數奇怪的對數（例如以 5 為底），但你的計算機只支援以 10 為底 (\(\lg\)) 或以 $e$ 為底 (\(\ln\))。換底公式讓你能夠進行轉換：
我們通常換成以 $e$ 為底（自然對數）或以 10 為底：
例子：要計算 \(\log_2 15\)，我們寫成 \(\frac{\ln 15}{\ln 2}\) 或 \(\frac{\lg 15}{\lg 2}\)。
快速複習：對數定律記憶法
Product（乘積）代表 Plus（加法，定律 1）
Quotient（商）代表 sUbtraction（減法，定律 2）
Power（冪）代表 Pull（將數拉下來，定律 3）
6.4 解包含對數與指數的方程式
解這類方程式的關鍵在於知道何時使用對數，何時使用指數，並在兩者之間靈活轉換。
情況 1：解指數方程式 (\(a^x = b\))
如果變數位於指數位置，你必須使用對數將其拉下來。
步驟示範：解 \(5^x = 30\)
-
兩邊取對數。 使用自然對數 (\(\ln\)) 因為它最有效率：
\(\ln(5^x) = \ln(30)\) -
應用冪法則（定律 3）： 將 \(x\) 拉下來作為倍數：
\(x \ln 5 = \ln 30\) -
分離 \(x\)：
\(x = \frac{\ln 30}{\ln 5}\) - 計算（如需要）： 使用計算機找出數值答案（確保給出足夠的有效數字）。
記住：你可以取任何底數的對數，但使用 \(\ln\) 或 \(\lg\) 可以簡化試卷二（Paper 2）的計算。
情況 2：解對數方程式
如果變數被鎖在對數內部，你必須使用指數運算（反函數）來將其釋放。
步驟示範：解 \(\ln(2x - 1) = 4\)
- 分離對數項。（這裡已經分離好了。）
-
轉換為指數形式： 由於 \(\ln\) 的底數是 \(e\)，將兩邊作為 \(e\) 的指數：
\(e^{\ln(2x - 1)} = e^4\) -
簡化： \(e\) 和 \(\ln\) 互相抵消：
\(2x - 1 = e^4\) -
解 \(x\)：
\(2x = e^4 + 1\)
\(x = \frac{e^4 + 1}{2}\)
情況 3：利用代換法解對數/指數方程式
有時，方程式看起來很複雜，但實際上是隱藏的二次方程式。
例子：解 \(2(e^x)^2 + 3e^x - 2 = 0\)。
- 設 \(y\) 為重複出現的項。 設 \(y = e^x\)。
-
代入並解二次方程式：
\(2y^2 + 3y - 2 = 0\)
\((2y - 1)(y + 2) = 0\)
因此，\(y = \frac{1}{2}\) 或 \(y = -2\)。 -
代回原式並解 \(x\)：
情況 1： \(e^x = \frac{1}{2}\)。兩邊取 \(\ln\)：\(x = \ln(0.5)\)。
情況 2： \(e^x = -2\)。停止！ 因為 \(e^x\) 必須永遠為正數 (\(e^x > 0\))，這個解是不可能的或無效的。
最終解為 \(x = \ln(0.5)\)。
方程式的關鍵要點
使用對數（通常是 \(\ln\)）來解指數位置上的變數。使用指數（\(e^...\)）來解對數內部的變數。始終檢查是否有無效解（例如 \(\ln(\text{負數})\) 或 \(e^x = \text{負數}\)）。
你現在已經掌握了對數和指數函數的基本工具！多練習這些性質和定律，你會發現這些題目其實很輕鬆。繼續加油，你一定可以的！