排列與組合 (教學大綱主題 11)

歡迎來到附加數學中最實用且引人入勝的課題之一！排列與組合的核心在於「計算可能性」。無論是設定安全密碼、計算六合彩中獎機率，還是將書籍排列在書架上，這些原理都能精確告訴你某件事有多少種發生方式。

如果起初覺得這些概念有些複雜，請別擔心！我們將這些計算方法簡化為兩大類：順序重要的情況（排列）以及順序不重要的情況（組合）。讓我們開始計算吧！

1. 計算基礎：階乘與基本原理

1.1 基本計數原理 (Fundamental Counting Principle)

這是最基礎的法則。如果你有多個獨立的選擇，只需將每個選擇的選項數相乘，即可得出總可能性。

  • 法則： 如果事件 A 有 \(m\) 種發生方式，而事件 B 有 \(n\) 種發生方式，那麼事件 A 和事件 B 同時發生共有 \(m \times n\) 種方式。

例子： 想像一下搭配衣服。如果你有 3 件不同的襯衫和 4 條不同的褲子，你可以搭配出的總造型數為 \(3 \times 4 = 12\) 種。

1.2 階乘符號 (\(n!\))

正整數 \(n\) 的階乘 (Factorial)，記作 \(n!\)，是指所有小於或等於 \(n\) 的正整數之積。當我們需要對「所有」可用項目進行排列時，就會用到階乘。

  • 定義： \(n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1\)

例子： 將 4 本不同的書排列在書架上，共有多少種方式？

\(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\) 種

特殊情況（必須記住）：
零的階乘定義為 1：\(0! = 1\)。這看起來或許很奇怪，但它能確保排列與組合的公式運作正確。

重點總結： 計算可能性始於乘法（基本計數原理），而階乘則是排列所有項目時的捷徑。

2. 排列：排列次序（順序重要）

2.1 什麼是排列 (Permutation)？

排列是指對項目進行安排，其中順序或位置至關重要。

  • 關鍵字： 排列 (Arrangement)。
  • 類比： 想像一場賽跑（冠軍、亞軍、季軍是同一群人的不同排列方式）或者電子密碼（123 與 321 是不同的）。

當我們從總數 \(n\) 個項目中選取 \(r\) 個，且這 \(r\) 個項目的排列順序會影響結果時，我們使用排列。

2.2 排列公式 (\(^nP_r\))

從 \(n\) 個不同項目中選取 \(r\) 個進行排列的數量公式為：

\(^{n}P_{r} = P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}\)

其中：
\(n\) 是可供選擇的項目總數。
\(r\) 是被選取或排列的項目數量。

2.3 逐步示範：排列

問題： 一個學會共有 8 名成員。他們要選出主席、副主席和財務，共有多少種方式？

步驟 1：判斷順序是否重要。 是的，擔任主席與擔任副主席是不同的職位。這是一個排列問題。
步驟 2：確定 \(n\) 和 \(r\)。 總成員 \(n=8\)。需填補的職位 \(r=3\)。
步驟 3：應用公式。

\(^{8}P_{3} = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!}\)
\(^{8}P_{3} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5!} = 8 \times 7 \times 6 = 336\)

填補這三個職位共有 336 種方式。

快速回顧：排列

  • 何時使用： 順序重要時（職稱、名次、特定序列）。
  • 公式： \(\frac{n!}{(n-r)!}\)

3. 組合：選擇（順序不重要）

3.1 什麼是組合 (Combination)？

組合是指對項目進行選擇，其中順序並不重要。

  • 關鍵字： 選擇 (Selection)、小組 (Group)、團隊 (Team)。
  • 類比： 想像挑選 3 種口味的雪糕（朱古力、草莓、雲尼拿的組合，與雲尼拿、草莓、朱古力的組合是一樣的）。

當我們從 \(n\) 個項目中選取 \(r\) 個，且只關注選出的群體，而不關心選取順序時，我們使用組合。

3.2 組合公式 (\(^nC_r\))

從 \(n\) 個不同項目中選取 \(r\) 個的組合數量公式為：

\(^{n}C_{r} = C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)

留意這個公式與排列公式的關聯：
\(\text{組合} = \frac{\text{排列}}{r!}\)
我們除以 \(r!\) 是因為在每一組選出的 \(r\) 個項目中，其內部排列有 \(r!\) 種方式，而我們只計算該組合一次。

3.3 逐步示範：組合

問題： 一個學會共有 8 名成員。他們要選出一個 3 人的委員會，共有多少種方式？

步驟 1：判斷順序是否重要。 否，選出 Alice、Bob 和 Carol 組成委員會，與選出 Bob、Carol 和 Alice 是一樣的。這是一個組合問題。
步驟 2：確定 \(n\) 和 \(r\)。 總成員 \(n=8\)。需選出的人數 \(r=3\)。
步驟 3：應用公式。

\(^{8}C_{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!}\)
\(^{8}C_{3} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{3 \times 2 \times 1 \times 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{6} = 56\)

選出委員會共有 56 種方式。

快速回顧：組合

  • 何時使用： 順序不重要時（團隊、小組、選擇、配料）。
  • 公式： \(\frac{n!}{r!(n-r)!}\)

4. 解決問題：區分差異

本章 (11.1) 最大的挑戰在於辨別題目要求的是排列還是組合。

4.1 順序檢測法

使用這個簡單的測試：

想像你已經選好了這 \(r\) 個項目。如果交換這些項目的順序，結果會改變嗎？

  • 如果會（結果不同）： 使用排列（順序重要）。
    例子：頒發金、銀、銅獎。改變順序會改變誰獲得哪個獎項。
  • 如果不會（結果相同）： 使用組合（選擇重要）。
    例子：選出 3 個六合彩號碼。選 1, 5, 10 和選 10, 5, 1 是一樣的。
4.2 涉及多個步驟的複雜問題

有時問題同時需要乘法（基本計數原理）以及選擇（排列或組合）。

多步選擇範例（兩次使用組合）：

班上有 10 名男生和 8 名女生。選出一組 3 男 2 女的團隊，共有多少種方式？

步驟 1：選男生。 順序不重要（因為是團隊）。
\(n_B = 10\), \(r_B = 3\)。
選擇男生方式：

\(^{10}C_{3} = \frac{10!}{3!7!} = 120\)

步驟 2：選女生。 順序不重要。
\(n_G = 8\), \(r_G = 2\)。
選擇女生方式：

\(^{8}C_{2} = \frac{8!}{2!6!} = 28\)

步驟 3：結合選擇結果。 使用基本計數原理（將獨立事件的結果相乘）。
總方式數 = 男生選擇方式 \(\times\) 女生選擇方式
總方式數 = \(120 \times 28 = 3360\)

4.3 常見錯誤
  • 混淆公式： 務必檢查是否應該除以 \(r!\)（組合），還是不除（排列）。
  • 弄錯 \(n\) 與 \(r\)： \(n\) 永遠是較大的數字（總數），\(r\) 是較小的數字（選出的數量）。
  • 沒看清楚「且 (AND)」或「或 (OR)」的關係： 如果選擇同時發生（且），你需要相乘（這是基本計數原理）。
4.4 大綱安全檢查（無需擔心事項）

0606 大綱 (11.3) 明確排除了一些複雜類型的問題。你不需要擔心以下內容：

  • 重複物件： 例如排列 MISSISSIPPI 單字中的字母（其中有些字母是相同的）。你的題目均涉及互異 (distinct) 的項目。
  • 圓形排列： 不需要使用圓形排列的公式。
  • 需要在單一步驟中同時結合 P 與 C 的問題： 如果你使用 P，通常在該步驟中不需要 C，反之亦然。（然而，如 3 男 2 女的例子，通過相乘不同的 C 結果來解決多步問題是要求的）。

你知道嗎？ 階乘增長得非常快！\(69!\) 是普通計算機在結果過大而無法顯示前能處理的最大階乘。這就是為什麼這些方法對於計算現實世界中大型系統的機率至關重要。

重點總結： 永遠從提問開始：「順序會產生差異嗎？」如果是，選排列；如果不是，選組合。

排列與組合筆記完