第 2 章：二次函數 —— 探索曲線的奧秘

大家好！歡迎來到奇妙的二次函數 (Quadratic Functions) 世界。你在日常的 IGCSE 數學中一定見過它們，但在附加數學 (Additional Mathematics) 中，我們將更深入地剖析這些曲線背後的邏輯。

這一章非常重要，因為二次函數（通常呈現為優美的 U 型曲線，稱為拋物線 (parabola)）無處不在——從模擬拋體運動的軌跡，到決定產品的最佳定價。掌握這些技巧——特別是配方法 (completing the square) 和判別式 (discriminant)——是你在 0606 考試中取得成功的關鍵。

1. 二次函數的結構

二次函數通常以以下兩種形式之一書寫。

標準式 (Standard Form)

最常見的形式為：
$$f(x) = ax^2 + bx + c$$

  • \(x\) 是變數。
  • \(a\)、\(b\) 和 \(c\) 是常數，且最重要的一點是：\(a\) 不能為零（否則，它就不是二次函數了！）。
圖像：拋物線形狀

二次函數的圖像永遠是拋物線。\(a\) 的正負決定了它的形狀：

  • 若 \(a > 0\)（正數）：拋物線開口向上，像一個笑臉。它有一個極小值點 (minimum point)（最低點）。
  • 若 \(a < 0\)（負數）：拋物線開口向下，像一個愁眉苦臉。它有一個極大值點 (maximum point)（最高點）。

2. 求極大值或極小值（頂點）

拋物線的極大值或極小值點稱為頂點 (vertex)。求出頂點對於繪製圖像和確定函數的定義域及值域至關重要。

方法 1：配方法 (Completing the Square, CTS)

配方法可以將標準式轉化為頂點式 (Vertex Form)：
$$f(x) = a(x + p)^2 + q$$

你知道嗎？配方法可以直接讓你得到頂點的精確坐標，即 \((-p, q)\)。

配方法逐步過程

讓我們求 \(f(x) = 2x^2 - 12x + 5\) 的頂點：

  1. 將 \(x^2\) 和 \(x\) 項中的 \(a\) 提出來：
    $$f(x) = 2(x^2 - 6x) + 5$$
  2. 在括號內使用 \((\frac{b}{2})^2\) 進行配方。（這裡，-6 的一半是 -3，而 $(-3)^2 = 9$）：
    $$f(x) = 2(x^2 - 6x + 9 - 9) + 5$$
  3. 改寫成完全平方，並將額外的常數移出括號（記得要乘以係數 \(a\)）：
    $$f(x) = 2((x - 3)^2 - 9) + 5$$ $$f(x) = 2(x - 3)^2 - 18 + 5$$
  4. 簡化得到頂點式 \(a(x+p)^2 + q\)：
    $$f(x) = 2(x - 3)^2 - 13$$

頂點位於 \((3, -13)\)。由於 \(a=2\) 為正，這是一個極小值，為 \(-13\)。

方法 2：利用微分法（進階技巧 - 2.1）

如果你對微積分（第 14 章）很有信心，可以通過將導數設為零來求頂點的 x 坐標：

  1. 求出導數，\(\frac{dy}{dx}\)（或 \(f'(x)\)）。
  2. 令 \(\frac{dy}{dx} = 0\) 並求解 \(x\)。
  3. 將此 \(x\) 值代回原函數，求出極大值或極小值 \(y\)。

小貼士：配方法是求頂點最穩妥的方法，對於處理複雜應用題和精確繪圖非常重要。

3. 繪圖與確定值域 (2.2)

一旦知道了極大值/極小值點，你就可以精確地繪製函數圖像並確定它的值域 (Range)。

值域的確定

值域是函數可以取到的所有輸出值（y 值）的集合。

  • 對於 \(f(x) = 2(x - 3)^2 - 13\)，由於它有一個極小值 -13，函數的值永遠大於或等於 -13。
    值域： \(f(x) \ge -13\)
  • 如果函數有一個極大值 5（例如 \(f(x) = - (x+1)^2 + 5\)），函數的值永遠小於或等於 5。
    值域： \(f(x) \le 5\)
繪圖時須標明的特徵

繪製 \(y = f(x)\) 時，你必須清楚標出以下關鍵特徵：

  • 頂點（極大值或極小值點）。
  • y 軸截距（令 \(x=0\) 求出）。
  • x 軸截距（如果存在，令 \(y=0\) 並解二次方程求出）。

4. 解二次方程 (2.4)

解二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0\)，意味著尋找根 (roots)（即圖像與 x 軸相交的 \(x\) 值，也就是 x 軸截距）。

求根的方法
  1. 因式分解：最快，但只適用於根為有理數的情況。
  2. 配方法：適用於所有實數根的情況。常用於證明或推導公式。
  3. 二次公式 (Quadratic Formula)：適用於求所有實數根。
    $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

    （記住考試時會提供這個公式！）

常見錯誤：使用公式時，務必正確使用括號，特別是當 \(b\) 或 \(c\) 為負數時。分子中負的 \(b\) 變號後會變成正數！

5. 判別式：根的性質 (2.3)

在附加數學中，二次函數分析最強大的工具就是判別式 (Discriminant)。它讓我們無須完整解方程就能判斷根的性質。

判別式是二次公式中根號下的那個表達式：
$$\Delta = b^2 - 4ac$$

根的性質判定條件

\(\Delta\) 的值告訴我們圖像 \(y = ax^2 + bx + c\) 與 x 軸相交的情況：

條件 根的性質 與圖形之關係
\(\Delta > 0\) 兩個不同的實數根 曲線在兩個不同的點與 x 軸相交。
\(\Delta = 0\) 兩個相等的實數根（或稱重根） 曲線剛好接觸 x 軸（切線關係）。
\(\Delta < 0\) 沒有實數根 曲線完全在 x 軸上方或下方（沒有交點）。

記憶小撇步：把判別式想像成拋物線與 x 軸之間的「關係狀態」！

6. 直線與曲線的交點 (2.3 相關)

判別式不只可以用在 x 軸上，當你需要分析直線 (\(y = mx + c\)) 與曲線 (\(y = ax^2 + bx + c\)) 的交點時，它同樣適用。

處理步驟
  1. 聯立方程：將直線方程與二次方程相等（使用代入法或消元法）。
    $$ax^2 + bx + c = mx + d$$
  2. 整理成一個二次方程：將所有項移至一邊，整理成以下形式：
    $$Ax^2 + Bx + C = 0$$ （注意：A、B、C 是整理後新的係數。）
  3. 計算判別式 \(\Delta = B^2 - 4AC\)。
關係條件

判別式的值決定了直線與曲線的關係：

  • \(\Delta > 0\)（相交）：直線與曲線在兩個不同的點相交。
  • \(\Delta = 0\)（相切）：直線與曲線恰好在一個點相切。（這是相切的條件）。
  • \(\Delta < 0\)（不相交）：直線與曲線沒有交點。

7. 解二次不等式 (2.5)

二次不等式是在問：「對於哪些 \(x\) 值，拋物線位於某條直線（通常是 \(y=0\)）的上方或下方？」

關鍵的三步策略
第 1 步：求臨界值（根）

暫時將不等號 (\(<\)、\(>\)、\(\le\)、\(\ge\)) 替換為等號 (\(=\))，並解出對應的二次方程以找到根（即臨界值）。

例子：解 \(x^2 - 4x - 5 > 0\)
令 \(x^2 - 4x - 5 = 0\)。因式分解：\((x-5)(x+1) = 0\)。
臨界值為 \(x = 5\) 和 \(x = -1\)。

第 2 步：繪製草圖

畫出拋物線的簡單草圖，並在 x 軸上標出臨界值。這是判斷正確區域最快的方法。

  • 由於 \(x^2\) 的係數為正 (\(a=1\))，拋物線開口向上（笑臉）。
第 3 步：確定解集

觀察你的草圖，找出哪些 \(x\) 值滿足原始不等式。

我們想要 \(x^2 - 4x - 5 > 0\)（即曲線位於 x 軸上方的部分）。

從草圖中可以看出，當 \(x < -1\) 或 \(x > 5\) 時，曲線位於 x 軸上方。
解： \(x < -1\) 或 \(x > 5\)

重要符號說明：務必清楚且正確地寫出你的解集。

  • 如果符合要求的區域位於根之間（例如 \(x^2 < 0\)），使用複合不等式：\(-1 < x < 5\)。
  • 如果符合要求的區域位於根之外（例如 \(x^2 > 0\)），使用由「或」連接的兩個不等式：\(x < -1\) 或 \(x > 5\)。
  • 注意符號！如果不等式包含「等於」（\(\le\) 或 \(\ge\)），則解也必須包含「等於」（\(\le\) 或 \(\ge\)）。

快速回顧：二次函數檢查清單

  • 我會用配方法求頂點嗎？
  • 我能利用頂點來確定值域並繪製函數圖嗎？
  • 我知道判別式 \(\Delta = b^2 - 4ac\) 如何決定根的數量嗎？
  • 我能運用判別式處理聯立方程，以判斷直線是否為切線嗎？
  • 解二次不等式時，我會畫圖來精確找出解集嗎？

持續練習這些技巧，你會發現二次函數其實非常容易掌握且饒富趣味！