附加數學三角學（0606）綜合指南

你好，未來的附加數學達人！歡迎來到三角學的世界。雖然你以前已經學過正弦（sine）、餘弦（cosine）和正切（tangent），但在附加數學中，這些概念會進一步深化——你將會探索它們的圖象、運用強大的恆等式，並解答複雜得多的方程。

為什麼這很重要？ 三角學是波動、諧波運動和高等微積分等課題的基石。掌握這一章將為你提供應對試卷一（Paper 1）和試卷二（Paper 2）中高階問題所需的工具。讓我們開始吧！

第一節：六個三角函數 (10.1)

1.1 重溫基礎：SOH CAH TOA

在你的 IGCSE 數學課程中，你主要利用直角三角形來定義基本比值（針對銳角）：

  • 正弦 (\(\sin \theta\))：對邊 / 斜邊
  • 餘弦 (\(\cos \theta\))：鄰邊 / 斜邊
  • 正切 (\(\tan \theta\))：對邊 / 鄰邊

1.2 引入倒數函數

在附加數學中，我們會使用另外三個函數，它們不過是基本函數的倒數而已。別擔心，只要掌握了規律，它們非常容易記憶！

  • 餘割 (\(\csc \theta\) 或 \(\cosec \theta\) )：正弦的倒數。
    \(\cosec \theta = \frac{1}{\sin \theta}\)
  • 正割 (\(\sec \theta\))：餘弦的倒數。
    \(\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}\)
  • 餘切 (\(\cot \theta\))：正切的倒數。
    \(\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}\)

記憶小技巧： 要記住哪個倒數函數對應哪個基本函數，請留意倒數函數的第三個字母，它會提示你與哪個基本函數配對：Cosecant（餘割）配對 Sine（正弦）；Secant（正割）配對 Cosine（餘弦）。

1.3 任意角的三角比（CAST 圖解）

附加數學中的三角學要求我們找出大於 \(90^\circ\) 的角的三角比。我們從 x 軸正方向開始，以逆時針方向測量角度。

CAST 圖解 可以幫助我們確定哪些函數在哪些象限內為正：

  • C (第四象限, \(270^\circ < \theta < 360^\circ\))：只有 Cosine（及其倒數，Secant）為正。
  • A (第一象限, \(0^\circ < \theta < 90^\circ\))：All（所有）函數皆為正。
  • S (第二象限, \(90^\circ < \theta < 180^\circ\))：只有 Sine（及其倒數，Cosecant）為正。
  • T (第三象限, \(180^\circ < \theta < 270^\circ\))：只有 Tangent（及其倒數，Cotangent）為正。

求解任意角三角比的步驟：

  1. 找出基本角 (\(\alpha\))： 使用比值的正值（例如：若 \(\sin \theta = -0.5\)，則使用 \(\sin \alpha = 0.5\)）。這個角 \(\alpha\) 永遠是銳角 (\(0^\circ < \alpha < 90^\circ\))。
  2. 識別象限： 根據原始比值是正還是負，使用 CAST 規則。
  3. 計算角度 (\(\theta\))：
    • 第一象限：\(\theta = \alpha\)
    • 第二象限：\(\theta = 180^\circ - \alpha\)
    • 第三象限：\(\theta = 180^\circ + \alpha\)
    • 第四象限：\(\theta = 360^\circ - \alpha\)

重點總結： 六個三角函數均由它們的倒數定義。CAST 圖解對於尋找第一象限以外的角度至關重要。

第二節：三角函數圖象 (10.2 & 10.3)

理解三角函數的圖象是掌握振幅（amplitude）、週期（period）以及透過圖形解不等式的關鍵。

2.1 振幅、週期與垂直平移

我們專注於以下標準形式的變換：
\(\mathbf{y = a \sin bx + c}\)
\(\mathbf{y = a \cos bx + c}\)
\(\mathbf{y = a \tan bx + c}\)

a) 振幅 (\(a\))

數值 \(a\)（課程綱要規定為正整數）決定了振幅（垂直拉伸）。

  • 對於正弦和餘弦圖象，振幅為 \(|a|\)。它是從中心線 (\(y=c\)) 到最高點或最低點的距離。
  • 函數的值域為 \([c - a, c + a]\)。
b) 週期 (\(b\))

數值 \(b\)（通常為簡單分數或整數）決定了週期（水平壓縮或拉伸）。這是完成一個完整循環所需的長度。

  • 對於正弦和餘弦： 週期 \(= \frac{360^\circ}{b}\)（以角度計）或 \(= \frac{2\pi}{b}\)（以弧度計）。
  • 對於正切： 週期 \(= \frac{180^\circ}{b}\)（以角度計）或 \(= \frac{\pi}{b}\)（以弧度計）。（正切的重複速度是正弦/餘弦的兩倍）。

例子： 對於 \(y = 3 \cos 2x\)，振幅為 3，週期為 \(360^\circ / 2 = 180^\circ\)。該圖象在標準餘弦圖完成一個週期的空間內，完成了兩個週期。

c) 垂直平移 (\(c\))

數值 \(c\)（為整數）將整個圖象上下移動。這變成了正弦/餘弦波的中線或中心軸。

2.2 繪製圖象 (10.3)

繪圖時，務必清楚標示：

  1. y 軸截距（令 \(x=0\)）。
  2. 最大值和最小值。
  3. x 軸截距（如果在給定範圍內）。
  4. 如果繪製正切圖象，必須標示漸近線及其方程（例如 \(x = 90^\circ\)）。

正切圖象與漸近線：
由於 \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\)，因此當 \(\cos x = 0\) 時，函數無定義。這些垂直線稱為漸近線。

  • 標準 \(\tan x\) 的漸近線出現在 \(x = 90^\circ, 270^\circ, -90^\circ\) 等處。
  • 對於 \(y = a \tan bx + c\)，可透過求解 \(bx = 90^\circ + n(180^\circ)\) 來找出漸近線。

你知道嗎？ 週期的概念在物理學中至關重要！它描述了波（如聲波或光波）完成一個循環所需的時間。

重點總結： \(a\) 影響高度（振幅），\(b\) 影響寬度（週期），\(c\) 影響位置（垂直平移）。務必區分正弦/餘弦與正切週期的計算方法。

第三節：基本三角恆等式 (10.4)

恆等式是指對變數的所有取值均成立的方程。你需要學會使用這三個基礎的畢氏恆等式（試卷提供的公式表會列出這些，但請務必多加練習使用它們）：

3.1 主要恆等式

這直接來自單位圓上的畢氏定理：
\(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\)

你經常需要變換這個恆等式，所以請練習將 \(\sin^2 A\) 表達成 \(1 - \cos^2 A\)，反之亦然。

3.2 倒數恆等式

這兩個恆等式是透過將主要恆等式 (\(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\)) 分別除以 \(\cos^2 A\) 或 \(\sin^2 A\) 而得出的。


恆等式 2 (除以 \(\cos^2 A\))：
\(\frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} + \frac{\cos^2 A}{\cos^2 A} = \frac{1}{\cos^2 A}\)
\(\tan^2 A + 1 = \sec^2 A\)


恆等式 3 (除以 \(\sin^2 A\))：
\(\frac{\sin^2 A}{\sin^2 A} + \frac{\cos^2 A}{\sin^2 A} = \frac{1}{\sin^2 A}\)
\(1 + \cot^2 A = \cosec^2 A\)

快速複習：需熟記（或能迅速定位）的恆等式
  • \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\)
  • \(\sec^2 A = 1 + \tan^2 A\)
  • \(\cosec^2 A = 1 + \cot^2 A\)

重點總結： 這些恆等式讓你可以轉換不同的三角函數（例如：將餘弦方程改為正弦方程，或將正割方程改為正切方程）。

第四節：解三角方程 (10.5)

解三角方程是將你所有技能結合起來的時候：基本角、CAST 規則，以及運用恆等式的代數運算。

4.1 一般解題策略

大多數複雜的附加數學方程在使用恆等式後，看起來就像是一個二次方程。

逐步範例（三角二次方程）： 解 \(2 \sec^2 \theta + 3 \tan \theta - 5 = 0\)，其中 \(0^\circ \le \theta \le 360^\circ\)。

  1. 統一方程： 方程含有 \(\sec^2 \theta\) 和 \(\tan \theta\)。我們必須使用恆等式將它們變成同一個函數。使用 \(\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta\)。
    （我們選擇將正割轉換為正切，因為將正切轉換為正割涉及平方根，會較為麻煩。）
    \(2(1 + \tan^2 \theta) + 3 \tan \theta - 5 = 0\)
  2. 簡化為二次方程：
    \(2 + 2 \tan^2 \theta + 3 \tan \theta - 5 = 0\)
    \(2 \tan^2 \theta + 3 \tan \theta - 3 = 0\)
  3. 解二次方程： 令 \(x = \tan \theta\)。
    \(2x^2 + 3x - 3 = 0\)
    因為這不能輕易因式分解，請使用二次公式（試卷二）或因式分解（若試卷一允許）。
    \(x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4(2)(-3)}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{33}}{4}\)
    這得出 \(\tan \theta\) 的兩個值：
    \(\tan \theta \approx 0.686\) 或 \(\tan \theta \approx -2.186\)
  4. 尋找基本角 (\(\alpha\)) 並使用 CAST：
    • 情況 1：\(\tan \theta = 0.686\) （正值，第一及第三象限）
      \(\alpha = \tan^{-1}(0.686) \approx 34.4^\circ\)
      \(\theta_1 = 34.4^\circ\) (Q I)
      \(\theta_2 = 180^\circ + 34.4^\circ = 214.4^\circ\) (Q III)
    • 情況 2：\(\tan \theta = -2.186\) （負值，第二及第四象限）
      \(\alpha = \tan^{-1}(2.186) \approx 65.4^\circ\)
      \(\theta_3 = 180^\circ - 65.4^\circ = 114.6^\circ\) (Q II)
      \(\theta_4 = 360^\circ - 65.4^\circ = 294.6^\circ\) (Q IV)

解為 \(34.4^\circ, 114.6^\circ, 214.4^\circ, 294.6^\circ\)（準確至小數後一位）。

4.2 避免常見錯誤

  • 除以變數： 切勿將方程兩邊同除以 \(\sin \theta\) 或 \(\cos \theta\)。如果你這樣做，將會丟失 \(\sin \theta = 0\) 或 \(\cos \theta = 0\) 的解。應始終改用因式分解（例如：解 \(\sin \theta \cos \theta = \sin \theta\)，寫成 \(\sin \theta \cos \theta - \sin \theta = 0\)，然後因式分解為 \(\sin \theta (\cos \theta - 1) = 0\)）。
  • 變換的角度： 如果角度已被轉換（例如 \(2\theta\) 或 \(\theta/3\)），記得在列出解之前先調整取值範圍。
    例子：如果範圍是 \(0^\circ \le \theta \le 360^\circ\)，那麼 \(2\theta\) 的範圍就是 \(0^\circ \le 2\theta \le 720^\circ\)。你必須在除以 2 之前找出所有高達 \(720^\circ\) 的解。
  • 倒數計算： 如果你有 \(\sec \theta = 2\)，記得要解 \(\cos \theta = 1/2\)，而不是 \(\cos \theta = 2\)！

重點總結： 利用恆等式將方程轉化為單一三角函數，然後視為二次方程求解。務必仔細檢查取值範圍。

第五節：三角恆等式證明 (10.6)

證明恆等式意味著展示等號的一邊在代數上等同於另一邊。你不能將項移到等號的另一邊！

5.1 證明策略

  1. 從較複雜的一邊開始： 簡化複雜的算式通常比將簡單的算式變複雜要容易。
  2. 轉換為正弦和餘弦： 如果你看到 \(\sec, \csc, \cot\) 或 \(\tan\)，第一步通常應是用 \(\sin\) 和 \(\cos\) 的定義來改寫它們。
    例子：將 \(\cot x\) 替換為 \(\frac{\cos x}{\sin x}\)，將 \(\sec x\) 替換為 \(\frac{1}{\cos x}\)。
  3. 尋找畢氏恆等式的應用機會： 如果你看到平方項（\(\sin^2 x, \cos^2 x\) 等），檢查是否可立即運用基礎恆等式（\(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\) 等）。
  4. 合併分數： 如果有兩個分數，找出公分母來合併它們。
  5. 因式分解： 留意平方差（例如 \(1 - \cos^2 A\) 可寫成 \((1 - \cos A)(1 + \cos A)\)）或公因子。
證明策略範例

證明： \(\sin x \tan x + \cos x = \sec x\)

從左式（LHS）開始，因為它比較複雜：
左式：\(\sin x \tan x + \cos x\)
步驟 1：將 \(\tan x\) 轉換為 \(\frac{\sin x}{\cos x}\)。
左式：\(\sin x \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right) + \cos x\)
左式：\(\frac{\sin^2 x}{\cos x} + \cos x\)
步驟 2：合併分數（公分母為 \(\cos x\)）。
左式：\(\frac{\sin^2 x}{\cos x} + \frac{\cos^2 x}{\cos x}\)
左式：\(\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos x}\)
步驟 3：使用恆等式 \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)。
左式：\(\frac{1}{\cos x}\)
步驟 4：使用倒數定義。
左式：\(\sec x\)
因為左式 = 右式，恆等式得證。

如果起初覺得這些題目很棘手也別擔心——證明題需要創造力和大量的練習！你使用恆等式的頻率越高，就越快能看出當中的規律。

重點總結： 證明恆等式時，只處理其中一邊（通常是較複雜的一邊），如果卡住了，請嘗試將所有內容先轉換為正弦和餘弦。