歡迎來到二維向量世界！
你好！本章將帶領你進入引人入勝的向量（Vectors）世界。如果你有時覺得坐標幾何略顯枯燥，向量將為你提供一種強大、直觀且往往更簡便的方法來處理運動、方向和幾何問題。
如果起初覺得有些棘手也不用擔心。向量無處不在——從物理學（描述力和速度）到計算機圖形學，應用極其廣泛。學完這些筆記後，你將能夠運用簡單的代數來計算向量的大小、導航方向，並解決複雜的幾何問題！
1. 基礎概念：純量與向量
什麼是向量？
向量是一個同時具有大小（Magnitude）和方向（Direction）的量。
- 純量（Scalar）：只有大小，沒有方向（例如：時間、質量、溫度、速率）。
- 向量（Vector）：既有大小又有方向（例如：位移、力、速度）。
向量的記法（我們如何書寫向量）
在附加數學中，你需要熟悉幾種表示向量的方法，這些方法代表了在 x 和 y 方向上的位移。
(a) 粗體小寫字母（\(\mathbf{a}\) 或 \(\mathbf{p}\)）
當你看到粗體的變數時，例如 \(\mathbf{a}\) 或 \(\mathbf{p}\)，它就代表一個向量。如果你在手寫，由於無法寫出粗體，應該在字母下方加上橫線，例如 a。
(b) 箭頭記法（\(\vec{AB}\)）
這種記法描述了從點 A 開始到點 B 結束的向量。方向非常重要！
- \(\vec{AB}\) 代表從 A 到 B。
- \(\vec{BA}\) 代表從 B 到 A。請注意，\(\vec{BA} = - \vec{AB}\)。
(c) 列向量形式（\(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)）
這是二維計算中最常用的形式：
類比：把它想像成導航指令。上面的數字（\(x\)）是水平移動距離（東/西），下面的數字（\(y\)）是垂直移動距離（北/南）。
(d) 單位向量形式（\(\mathbf{i}, \mathbf{j}\)）
向量 \(\mathbf{i}\) 和 \(\mathbf{j}\) 是單位向量（Unit vectors，即長度為 1 的向量），用於描述基本方向：
- \(\mathbf{i}\) 是 x 軸正方向的單位向量（\(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)）。
- \(\mathbf{j}\) 是 y 軸正方向的單位向量（\(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)）。
因此，向量 \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) 也可以寫作：
快速回顧：正確的記法至關重要。記得永遠使用粗體或下橫線字母來表示向量，並記住 \(\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}\) 與 \(5\mathbf{i} - 2\mathbf{j}\) 是相同的。
2. 位置向量與位移向量
位置向量（Position Vectors）
位置向量描述了空間中某一點相對於原點 (O) 的位置。
- 點 A 的位置向量是 \(\vec{OA}\)，通常記為 \(\mathbf{a}\)。
- 如果點 A 的坐標是 (3, 5)，其位置向量就是 \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}\)。
兩點之間的位移向量（Displacement Vector）
要找出從點 A 到點 B 的位移向量，你需要用終點 B 的位置向量減去起點 A 的位置向量。
記憶小撇步：向量 \(\vec{AB}\) 永遠是「終點減起點」（B 減 A）。
例子：如果 \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}\) 且 \(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \end{pmatrix}\)，那麼：
\(\vec{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6-4 \\ 7-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix}\)
重點總結：位置向量由原點出發。位移向量（如 \(\vec{AB}\)）則描述兩點之間的旅程。
3. 向量運算
(a) 向量的大小（長度）
向量 \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) 的大小，記作 \(|\mathbf{a}|\)，即其長度。我們使用勾股定理（畢氏定理）（因為 x 和 y 分量構成了一個直角三角形）。
你知道嗎？計算 \(\vec{AB}\) 的大小與坐標幾何中計算兩點 A 和 B 之間的距離公式完全相同！
例子：求 \(\mathbf{v} = 3\mathbf{i} - 4\mathbf{j}\) 的大小。
\(|\mathbf{v}| = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\) 個單位。
(b) 單位向量（Unit Vectors）
單位向量是指大小（長度）剛好為 1 的向量。
要找出與 \(\mathbf{a}\) 方向相同且長度為 1 的向量（我們稱之為 \(\hat{\mathbf{a}}\)），你需要將原向量除以其大小。這實際上就是將向量「縮放」至長度為 1。
例子：求 \(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\) 的單位向量（已知 \(|\mathbf{v}| = 5\)）：
\(\hat{\mathbf{v}} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/5 \\ -4/5 \end{pmatrix}\)
(c) 加法與減法
向量的加減法很簡單：只需將對應的分量分別相加或相減即可。
- 加法： \(\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{pmatrix}\)
- 減法： \(\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 - x_2 \\ y_1 - y_2 \end{pmatrix}\)
幾何意義：向量加法遵循「首尾相接」規則。如果你沿著 \(\mathbf{a}\) 移動，然後再沿著 \(\mathbf{b}\) 移動，結果向量即為 \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\)。
(d) 純量乘法
將向量乘以純量（一個普通的數 \(k\)）會改變其大小（長度），但方向保持不變（除非 \(k\) 是負數）。
核心概念：平行向量
如果兩個向量 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 是平行的，那麼其中一個向量一定是另一個向量的純量倍數：
(e) 相等向量
如果兩個向量相等，它們對應的分量必須相等。這通常用於求解未知變數。
若 \(\begin{pmatrix} 2p \\ 3+q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 7 \end{pmatrix}\)：
- x 分量：\(2p = 10 \implies p = 5\)
- y 分量：\(3+q = 7 \implies q = 4\)
避免常見錯誤：計算大小時，不要忘記最後要開平方根！\(|\mathbf{a}|\) 是一個純量（數值），而不是向量。
4. 用向量解決幾何問題
向量為證明共線（Collinearity）或平行線等幾何性質提供了一種強大的方法。
(a) 共線（點在同一條直線上）
如果三點 A、B 和 C 位於同一條直線上，則稱它們為共線。
要證明 A、B 和 C 共線，你必須證明兩件事：
- \(\vec{AB}\) 與 \(\vec{BC}\) 平行。（即 \(\vec{AB} = k\vec{BC}\) 或 \(\vec{AB} = k\vec{AC}\)）
- 兩個向量之間存在一個共同點（例如 B 或 A）。
如果它們平行且共享一個點，那麼它們一定位於同一條直線上！
(b) 在向量幾何中使用比例
如果點 P 將線段 AB 分成 1:2 的比例，這意味著 P 離 A 更近，且 \(\vec{AP}\) 是總距離 \(\vec{AB}\) 的三分之一。
要找到 P 的位置向量 \(\mathbf{p}\)：
\(\mathbf{p} = \vec{OA} + \vec{AP} = \mathbf{a} + \frac{1}{3} (\mathbf{b} - \mathbf{a})\)
複雜問題的策略：如果題目提供了圖表（或你可以自己畫一個），嘗試通過已知向量的路徑來表達未知向量。例如，要找出 \(\vec{XY}\)，可以嘗試走 \(\vec{XO} + \vec{OY}\) 的路徑。
重點總結：向量幾何依賴於：若 \(\mathbf{p} = k\mathbf{q}\)，則向量平行。若它們共享一個共同點，則這些點共線。
5. 運動中的向量：速度與運動學
在物理學和附加數學中，運動可以用向量完美描述，特別是在同時考慮速率和方向時。這通常稱為運動學（Kinematics）。
(a) 速度、位移與速率
- 位移（\(\mathbf{s}\)）：物體在時間 \(t\) 的位置向量。
- 速度（\(\mathbf{v}\)）：位移隨時間的變化率。這是一個向量，因為它包含了運動方向。
-
速率（Speed）：這是一個純量，即速度的大小：
速率 = \(|\mathbf{v}|\)
(b) 合成向量與結果向量
當物體受到多重運動影響時（例如河流中的船或風中的飛機），我們使用向量加法來找出整體運動，稱為結果向量（Resultant vector）。
例子：一艘船試圖橫渡河流（速度為 \(\mathbf{v}_B\)），但河流有水流（速度為 \(\mathbf{v}_C\)）。
結果速度 \(\mathbf{v}_R\) 即為向量之和：
如果 \(\mathbf{v}_B = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix}\) 且 \(\mathbf{v}_C = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}\)，則結果速度 \(\mathbf{v}_R = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}\)。船的實際速率即為 \(|\mathbf{v}_R| = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{29}\)。
(c) 碰撞問題
一個常見的應用涉及兩個粒子 P 和 Q，它們按各自的速度向量運動。
如果粒子從位置 \(\mathbf{s}_0\) 開始並以恆定速度 \(\mathbf{v}\) 運動，它在時間 \(t\) 的位移 \(\mathbf{s}_t\) 由下式給出：
碰撞條件：如果兩個粒子 P 和 Q 發生碰撞，它們必須在同一時間 \(t\) 處於同一個物理位置。
解題步驟：
- 寫出粒子 P 的位置向量方程（關於 \(t\)）。
- 寫出粒子 Q 的位置向量方程（關於 \(t\)）。
- 令兩個方程相等。
- 令對應的 \(\mathbf{i}\) (x) 分量相等以求出 \(t\)。
- 令對應的 \(\mathbf{j}\) (y) 分量相等以驗證時間 \(t\)。
給同學的快速提示：處理文字題時，請立即將所有資訊翻譯成列向量。例如「向東 3 m/s 的速度」就是 \(\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}\)。起始位置在 (1, 4) 意味著 \(\mathbf{s}_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}\)。
重點總結：速度問題就是在特定情境下的向量加法問題。使用公式 \(\mathbf{s}_t = \mathbf{s}_0 + t\mathbf{v}\)，並記住速率是速度向量的大小。
章節總結：必須背誦的核心公式
- 位移 \(\vec{AB}\)： \(\mathbf{b} - \mathbf{a}\)
- 大小 \(|\mathbf{a}|\)： \(\sqrt{x^2 + y^2}\)
- 單位向量 \(\hat{\mathbf{a}}\)： \(\frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}\)
- 時間 \(t\) 時的位置： \(\mathbf{s}_t = \mathbf{s}_0 + t\mathbf{v}\)
- 平行條件： \(\mathbf{a} = k\mathbf{b}\)