簡介：什麼是平均值與分佈範圍，為什麼我們要學習它？

歡迎來到統計學章節！別擔心數字有時會讓你感到壓力——這一章的目標是透過幾個簡單的數字，將龐大且雜亂的數據清單進行總結。

這些用於總結的數字主要分為兩大類：

1. 平均值（集中趨勢的測量）： 它們告訴你一組數據的「典型值」是什麼（例如：「這次測驗的平均分是 75%」）。
2. 分佈範圍（離散趨勢的測量）： 它們告訴你數據的分散程度（例如：「分數範圍從 10% 到 100% 不等」）。

掌握這些概念能讓你分析並比較不同的數據集，這是現實生活中一項非常關鍵的技能！

第一部分：集中趨勢的測量（平均值）

當人們提到「平均值」時，通常指的就是「算術平均數（Mean）」。但在數學上，有三種主要的平均指標：算術平均數 (Mean)、中位數 (Median) 和 眾數 (Mode)。

1.1 眾數 (Mode) —— 最熱門的數字

眾數是最容易找到的平均指標，它簡單來說就是數據集中出現次數最多的數值。

關於眾數的重點：
  • 它可用於非數值數據（例如：最喜歡的顏色或汽車類型）。
  • 一個數據集可能 沒有眾數（如果所有數值都只出現一次），也可能有 兩個或多個眾數（雙峰分佈、多峰分佈）。

例子： 在鞋碼清單中：7, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 11。
數字 10 出現了三次，比其他任何尺碼都多。
眾數 = 10

1.2 中位數 (Median) —— 正中間的數值

中位數是將數據按大小順序排列後，處於最中間的數值。它的優點在於不會受到極端值（離群值）的影響。

步驟：尋找個別數據的中位數
  1. 排列數據： 將所有數值由小到大排列。（如果你忘了這一步，答案就會錯！）
  2. 找出位置： 使用中位數位置公式：
    \[\text{位置} = \frac{n+1}{2}\] 其中 \(n\) 是數據集中數值的總個數。
  3. 找出數值： 根據位置在已排序的清單中尋找實際的中位數。

情況 A：數據個數為奇數 (n 是奇數)
例子： 分數：5, 2, 8, 1, 4 (n=5)
1. 排序：1, 2, 4, 5, 8
2. 位置：\(\frac{5+1}{2} = 3\)。
3. 數值：第 3 個數值是 4。
中位數 = 4

情況 B：數據個數為偶數 (n 是偶數)
例子： 分數：10, 12, 16, 20 (n=4)
1. 排序：10, 12, 16, 20
2. 位置：\(\frac{4+1}{2} = 2.5\)。這代表中位數位於第 2 個與第 3 個數值的正中間。
3. 數值：中位數 = \(\frac{12+16}{2} = 14\)。
中位數 = 14

記憶小撇步： 中位數就像馬路上的「中央分隔帶（median strip）」一樣——它就是正中間的那條線！

1.3 算術平均數 (Mean) —— 標準平均值

算術平均數是最常用的平均值。計算方法是將所有數據值加總，然後除以數據的總個數。

算術平均數公式（個別數據）

\[\text{平均數} (\bar{x}) = \frac{\text{所有數值之和}}{\text{數值個數}}\]

使用數學符號（你應該要熟悉它）： \[\bar{x} = \frac{\sum x}{n}\]

其中：
\(\sum x\)（讀作「sigma x」）代表「所有數據值的總和」。
\(n\) 代表數值的總個數。

例子： 測得的氣溫（單位：°C）：20, 25, 22, 21
1. 數值總和 (\(\sum x\))：\(20 + 25 + 22 + 21 = 88\)
2. 數值個數 (\(n\))：4
3. 平均數：\(\frac{88}{4} = 22\)
平均數 = 22 °C

1.4 分辨平均指標的用途

為什麼我們需要三種平均指標？因為它們能告訴我們關於數據的不同訊息！

快速回顧：何時使用哪種平均指標

平均指標用途/最佳使用情況...對離群值的敏感度
眾數你需要最頻繁/最受歡迎的結果（例如：進貨尺碼）。最適合非數值數據。無
中位數數據包含 離群值（極端值）。它能給出一個不受極端值影響的可靠中心點（例如：房價）。低（穩健）
平均數數據呈現對稱分佈且為數值型，且你需要將 所有 數據點納入計算（例如：科學實驗數據）。高（敏感）

你知道嗎？ 如果你要計算一個小鎮的平均收入，而比爾·蓋茲突然搬進去，那裡的平均數收入會瞬間飆升，變得無法代表一般人的工資。這時，中位數收入反而更具代表性！

第一部分重點總結： 平均數、中位數和眾數都是描述數據中心位置的方法，但「平均數」是經計算得出，「中位數」看重位置，而「眾數」看重頻率。

第二部分：離散趨勢的測量（全距與四分位數）

平均值能告訴你中心在哪，但無法說明數字有多分散。為了有效地比較兩個數據集（課程大綱的要求），你需要使用「離散趨勢」的測量方式。

2.1 全距 (Range)

全距是最簡單的離散程度測量方式。它告訴你最大值與最小值之間的總距離。

全距公式

\[\text{全距} = \text{最大值} - \text{最小值}\]

例子： 分數：10, 45, 50, 52, 98
全距 = \(98 - 10 = 88\)

常見錯誤： 由於全距只使用兩個數值（最大值和最小值），它極易受到離群值的影響。如果那個 98 其實是 150，全距會急劇增加，儘管中間的分數根本沒變。

2.2 四分位數 (Quartiles) 與四分位距 (IQR)

為了獲得一個不受極端離群值影響的離散程度測量，我們使用 四分位數。四分位數將有序數據分為四個相等的等份。

理解四分位數
  • \(Q_1\) (下四分位數)： 數據下半部的中位數。25% 的數據小於此數值。
  • \(Q_2\) (中位數)： 即整體數據的中位數（50%）。
  • \(Q_3\) (上四分位數)： 數據上半部的中位數。75% 的數據小於此數值。
四分位距 (Interquartile Range, IQR)

四分位距 (IQR) 是中間 50% 數據的散佈範圍，它測量了上四分位數與下四分位數之間的距離。

四分位距公式

\[\text{IQR} = Q_3 - Q_1\]

尋找四分位數的位置：
雖然方法略有差異，但對於 IGCSE，如果你有 \(n\) 個個別數據，最簡單的方法是：

  • \(Q_1\) 位置： \(\frac{1}{4} (n+1)\)
  • \(Q_3\) 位置： \(\frac{3}{4} (n+1)\)

例子（尋找 IQR）： 數據：10, 12, 15, 16, 18, 20, 25, 30, 35 (n=9)
（數據已排序）

1. 找出中位數 (\(Q_2\))：位置 \(\frac{9+1}{2} = 5\)。中位數 = 18。

2. 找出 \(Q_1\)：位置 \(\frac{1}{4} (9+1) = 2.5\)。這位於第 2 個 (12) 與第 3 個 (15) 數值的正中間。
\[Q_1 = \frac{12+15}{2} = 13.5\]

3. 找出 \(Q_3\)：位置 \(\frac{3}{4} (9+1) = 7.5\)。這位於第 7 個 (25) 與第 8 個 (30) 數值的正中間。
\[Q_3 = \frac{25+30}{2} = 27.5\]

4. 計算 IQR：
\[\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 27.5 - 13.5 = 14\]

類比： 將 IQR 想像成射箭的靶心。它測量最典型的半數數據集中程度，同時忽略了外圍的環數（離群值）。

第二部分重點總結： 全距測量總體跨度但易受離群值影響；四分位距 (IQR) 測量中間 50% 數據的離散程度，在比較數據集時更為可靠。

第三部分：頻率分佈表 (Frequency Tables) 的平均值

通常數據會以 頻率分佈表 呈現，顯示每個數值出現的頻率。在處理頻率時，計算平均值的方法會有些許不同。

3.1 從頻率表找出眾數與中位數

找出眾數

對於頻率表（其中 \(x\) 是數值，\(f\) 是頻率），眾數就是頻率 \(f\) 最高的那個數值 \(x\)。

找出中位數

處理頻率表時，數據總個數 \(n\) 為頻率總和：\(n = \sum f\)。

1. 計算總頻率，\(n = \sum f\)。
2. 找出位置：\(\frac{n+1}{2}\)。
3. 利用累積頻率（頻率的遞加總和）定位該位置落在何處，對應的數值 \(x\) 即為中位數。

3.2 從頻率表計算平均數

如果得分 10 分出現了 5 次，我們不用做 \(10 + 10 + 10 + 10 + 10\)，而是改計算 \(10 \times 5 = 50\)。公式會透過乘法來進行調整。

平均數公式（頻率表）

\[\bar{x} = \frac{\sum fx}{\sum f}\]

步驟：
1. 在表格中增加一欄叫 \(fx\)（數值 \(\times\) 頻率）。
2. 計算 \(fx\) 欄中的每一項。
3. 將 \(fx\) 欄加總（這就是 \(\sum fx\)）。
4. 將頻率欄加總（這就是 \(\sum f\)）。
5. 相除：\(\frac{\sum fx}{\sum f}\)。

例子： 分數 (x) 與頻率 (f)

x (分數)f (頻率)fx
133
2510
326
總計\(\sum f = 10\)\(\sum fx = 19\)

平均數 = \(\frac{19}{10} = 1.9\)

3.3 分組數據的估算平均值 (進階概念)

如果你的數據是以區間或分組呈現（例如：年齡 10-20, 20-30），你並不知道每一項的確切數值。因此，你只能計算平均值的 估算值。

如果這看起來有點棘手，別擔心；底層概念與頻率表的平均數計算相同，只是多了一個關鍵步驟！

額外步驟：使用組中點

因為我們不知道精確數值，我們必須假設每一組的數值都集中在該組的正中間。我們使用該區間的 組中點 (midpoint, m) 作為代表數值 (\(x\))。

\[\text{組中點} (m) = \frac{\text{下邊界} + \text{上邊界}}{2}\]

分組數據的平均值估算公式

\[\text{估算平均值} = \frac{\sum fm}{\sum f}\]

步驟：
1. 計算每一組區間的 組中點 (m)。
2. 增加一欄 \(fm\)（頻率 \(\times\) 組中點）。
3. 計算 \(fm\) 欄中的每一項。
4. 將 \(fm\) 欄加總 (\(\sum fm\))。
5. 將頻率欄加總 (\(\sum f\))。
6. 相除：\(\frac{\sum fm}{\sum f}\)。

例子： 身高 (cm) 與頻率 (f)

身高區間fm (組中點)fm
150 < h \(\leq\) 1605155775
160 < h \(\leq\) 170101651650
170 < h \(\leq\) 1805175875
總計\(\sum f = 20\)\(\sum fm = 3300\)

估算平均值 = \(\frac{3300}{20} = 165\) cm。

要避免的常見錯誤： 處理分組數據時，你只能找出 眾數組 (modal class)，即頻率最高的那一組，而不是精確的眾數。你也不能找出精確的全距，只能找出最大可能的全距（最大組別上邊界 - 最小組別下邊界）。

第三部分重點總結： 使用頻率表時，務必將數值（或組中點）乘以頻率後再進行加總。最後一定要除以總頻率 (\(\sum f\))。