歡迎來到條件機率（Conditional Probability）章節！
哈囉！這個章節會讓你發現機率變得非常有趣，我們將處理那些會互相影響的事件。別擔心名稱聽起來很複雜，它的核心概念其實非常直觀。
條件機率詢問的是：「在已知某件事已經發生的情況下，另一件事發生的可能性是多少？」
當你處理不放回抽樣（without replacement）的情況時，這個課題尤其重要，例如抽牌或是從袋子中拿出彈珠。
1. 先備知識複習：獨立事件 vs. 相依事件
1.1 獨立事件 (Independent Events)
獨立事件是指兩個或多個事件中，其中一個事件的結果不會影響另一個事件的發生機率。
例子：擲硬幣兩次。第一次擲出公面（Head）並不會改變第二次擲出公面的機率（依然是 0.5 或 \(\frac{1}{2}\)）。
若要計算兩個獨立事件 A 和 B 同時發生的機率，你只需將它們各自的機率相乘：
公式（獨立事件）：
$$P(A \text{ and } B) = P(A) \times P(B)$$
1.2 相依事件 (Dependent Events)（為何需要條件機率）
相依事件（或是不放回的組合事件）是指兩個或多個事件中，第一個事件的結果會改變後續事件的發生機率。
這種機率的變動正是條件機率所要探討的對象！
類比：想像有一盒 10 顆巧克力。如果你先拿走了你最喜歡的那顆（黑巧克力），那麼你朋友拿到黑巧克力的機會就會降低，因為總數變少了，黑巧克力的數量也變少了。 第二次抽取的結果取決於第一次的結果。
重點總結
如果是不放回抽樣，這些事件就是相依的，你必須使用條件機率。如果是有放回抽樣，事件則是獨立的。
2. 理解條件機率
2.1 定義條件
當我們談論條件機率時，我們是在計算一個基於縮小或修改後樣本空間（sample space）的機率。
我們想要找出在已知事件 B 已經發生的前提下，事件 A 發生的機率。
符號：
我們將其寫作：\(P(A | B)\)。
讀作：「在給定 B 的情況下，A 的機率。」
2.2 「宇宙縮小」的類比
將所有可能的結果視為你的「宇宙」。當你有一個限制條件（事件 B）時，你新的「宇宙」就縮小到只剩下事件 B 裡面的結果。
- 忽略原始的樣本空間 (U)。
- 新的樣本空間僅包含事件 B。
- 我們只關心事件 A 中與事件 B 重疊的部分。
不用擔心要死背複雜的公式；在 IGCSE 中，你通常可以透過調整分子和分母的數字自然地計算條件機率，特別是在使用樹狀圖或表格時。
3. 使用樹狀圖計算條件機率
樹狀圖是用來解決相依事件（不放回）問題最常用的工具。條件機率會直接寫在第二層的分支上。
步驟範例：彈珠（不放回）
一個袋子裡有 5 顆紅彈珠 (R) 和 3 顆藍彈珠 (B)。我們不放回地連續抽出兩顆彈珠。
步驟 1：第一次抽取的機率
彈珠總數 = 8。
- \(P(\text{1st is R}) = \frac{5}{8}\)
- \(P(\text{1st is B}) = \frac{3}{8}\)
步驟 2：第二次抽取的機率（條件步驟）
現在總數已經變成了 7。第二次抽取的確切機率完全取決於第一次發生了什麼。
情境 1：已知第一次是紅彈珠 (R)
袋子裡剩下 4 顆紅彈珠和 3 顆藍彈珠（總數 7）。
- \(P(\text{2nd is R } | \text{ 1st is R}) = \frac{4}{7}\) （紅彈珠少了一顆）
- \(P(\text{2nd is B } | \text{ 1st is R}) = \frac{3}{7}\) （藍彈珠數量不變）
情境 2：已知第一次是藍彈珠 (B)
袋子裡剩下 5 顆紅彈珠和 2 顆藍彈珠（總數 7）。
- \(P(\text{2nd is R } | \text{ 1st is B}) = \frac{5}{7}\) （紅彈珠數量不變）
- \(P(\text{2nd is B } | \text{ 1st is B}) = \frac{2}{7}\) （藍彈珠少了一顆）
寫在第二層分支上的機率就是條件機率。
2.3 計算組合機率（路徑）
要找到整條路徑的機率（例如：先紅後藍），你將路徑上的機率相乘：
$$P(R \text{ then } B) = P(1\text{st R}) \times P(2\text{nd B} | 1\text{st R})$$
$$P(R \text{ then } B) = \frac{5}{8} \times \frac{3}{7} = \frac{15}{56}$$
⚠ 常見錯誤提醒！
務必檢查分母！如果是「不放回」，第二次抽取時可用的物品總數一定會減少 1。如果你忘記減少分母（以及被抽出的物品對應的分子），你的機率就會算錯！
你知道嗎？
如果你將從同一個點輻射出的所有分支上的機率加起來，它們的和必須等於 1！這是檢查你答案是否正確的好方法。
4. 使用表格和文氏圖處理條件機率
條件機率不只適用於「不放回」情境；在分析表格或文氏圖中的調查數據時也經常使用。原則是一樣的：條件限制了總結果。
4.1 使用雙向表（頻率表）
假設調查了 50 名學生是否養狗 (D) 或養貓 (C)。
| 養狗 (D) | 不養狗 (D') | 總計 | |
| 養貓 (C) | 15 | 10 | 25 |
| 不養貓 (C') | 5 | 20 | 25 |
| 總計 | 20 | 30 | 50 |
問題：找出學生養貓的機率，已知他們養狗。
我們要求的是 \(P(C | D)\)。
方法：
-
識別條件（新分母）：學生養狗 (D)。
查看「養狗 (D)」欄的總計：20 名學生。這就是你新的總樣本空間。 -
識別有利結果（分子）：在那些養狗的 20 人中，有多少人養貓？
查看儲存格（C 和 D 的交集）：15 名學生。 -
計算：
$$P(C | D) = \frac{\text{養 C 且養 D 的學生數}}{\text{養 D 的學生總數}}$$ $$P(C | D) = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$$
4.2 使用文氏圖
如果上述相同的數據顯示在文氏圖中，關鍵仍然是認清條件事件會限制你的分母。
如果你被要求計算 \(P(A|B)\)，你只需要查看圈圈 B 內部的數字。
計算方式為：
$$P(A | B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)}$$
其中：
- \(n(A \cap B)\) 是交集（A 且 B）中的元素個數。
- \(n(B)\) 是限制條件事件（B）中的元素個數。
如果剛開始覺得棘手別擔心。練習將注意力集中在孤立出由「已知……」這個短語所定義的群體——該群體就會成為你的新總數！
快速複習：條件機率重點總結
- 條件機率處理的是「知道一個事件發生後會影響另一個事件機率」的情況。
- 關鍵字是「已知」(given that) 或「不放回」(without replacement)。
- 主要的計算技巧是限制樣本空間（分母會改變）。
- 在解決「不放回」問題的樹狀圖中，第二層分支上的機率就是條件機率（總數和被抽出的物品數量都要減 1）。
- 在表格/文氏圖中，分母會變成已知發生事件的總人數。