📊 第 10 章：統計學（延伸內容）
累積頻數圖 (Cumulative Frequency Diagrams)

各位數學愛好者，大家好！這一章將帶領大家把數據視覺化的理解提升到另一個層次。我們之前已經學過頻數表和條形圖，但有時我們需要了解數據是如何隨時間或數值不斷累積的。這就是累積頻數圖 (Cumulative Frequency Diagrams) 大派用場的時候了！

別擔心，聽起來雖然複雜，但它其實只是將「累計總數」畫在圖表上一種特殊方式。掌握這個課題對於處理大型分組數據時，快速且精確地計算離差和平均值（例如中位數）是非常必要的。


1. 理解累積頻數 (Cumulative Frequency, CF)

1.1 什麼是累積頻數？

頻數 (Frequency) 代表某個數值或數值組出現的次數。
累積頻數 (Cumulative Frequency, CF) 是這些頻數的累計總數。它告訴你截至某個數值為止，數據點的總數是多少。

類比：想像你在記錄每天騎腳踏車的公里數。頻數是每天的距離；而累積頻數則是從開始那天起累計騎行的總距離。

1.2 建立累積頻數表

累積頻數幾乎總是與分組連續數據 (Grouped Continuous Data) 一起使用。

要建立這張表，你需要兩欄：組別 (class intervals) 和頻數 (frequencies)。然後，你就可以計算 CF 了。

步驟指南：計算 CF
  1. 從第一組的頻數開始，這就是你的第一個累積頻數。
  2. 對於第二組，將其頻數加上前一個累積頻數。
  3. 重複這個過程，直到最後一組為止。

快速檢查： 累積頻數欄位中的最後一個數值必須等於整個數據集的總頻數 (\(N\))。


🔑 核心概念：繪製點

在繪製累積頻數圖時，你需要將 CF 數值對應到該組的組上界 (Upper Class Boundary)。

為什麼？因為累積頻數值告訴你的是「小於或等於」該組上限的數據點有多少個。

例子：如果組別是 \(10 < t \leq 20\)，而 CF 為 15，這意味著有 15 個數據點小於 20。因此，我們繪製 \((20, 15)\)。


2. 繪製累積頻數圖 (Ogive)

這種圖表通常被稱為 Ogive（累積頻數曲線）。正確繪製它是一項重要的考試技能。

2.1 設置與坐標軸

  • X 軸（橫軸）： 代表數據本身（例如身高、時間、分數）。請務必清晰標註此軸。
  • Y 軸（縱軸）： 代表累積頻數 (CF)。其範圍必須從 0 到總頻數 (\(N\))。

2.2 繪圖過程

  1. 起點： 曲線必須從最低可能值開始，此時 CF 為 0。如果你的第一個組別是 \(10 < x \leq 20\)，你必須繪製 \((10, 0)\)。這樣可以確保圖表從一開始就涵蓋所有數據。
  2. 繪製點： 將計算出的累積頻數值對應到組上界，用整潔的小十字 \((x)\) 標記。
  3. 曲線： 用平滑曲線將點連接起來（是一條流暢的線，而不是直線段）。這一點至關重要，因為我們處理的是連續數據，意味著數值是平滑變化的。
⚠️ 常見錯誤警示！

切勿用尺將點連接起來（即不要畫成折線）。累積頻數代表的是一個平滑增加的分佈。使用尺會導致你失去繪製平滑曲線的分數！

此外，記得一定要對應組上界繪圖，而不是組中點或組下界（除了起點 \((0, 0)\) 或第一個組下界之外）。


3. 解讀圖表：尋找平均值與離差

當平滑的累積頻數曲線畫好後，我們就可以用它來估計關鍵的位置指標和離差指標。這些估計值通常都是直接從圖中讀取的。

3.1 中位數 (Median, \(Q_2\))

中位數是將所有數據按順序排列後的中間值。

尋找中位數的方法：

  1. 計算位置：中位數位置 = \(\frac{N}{2}\)，其中 \(N\) 是總頻數。
  2. 在 CF (縱軸) 上找到這個位置。
  3. 畫一條水平線到曲線處。
  4. 從曲線處畫一條垂直線到數據 (橫軸)。
  5. 讀取數據軸上的數值，這就是估計出的中位數。

3.2 四分位數 (Quartiles, \(Q_1\) 和 \(Q_3\))

四分位數將數據分為四個相等的部分。

  • 下四分位數 (\(Q_1\))： 位於 25% 位置的數值。
    位置：\(\frac{1}{4} \times N\) 或 \(0.25 \times N\)。
  • 上四分位數 (\(Q_3\))： 位於 75% 位置的數值。
    位置：\(\frac{3}{4} \times N\) 或 \(0.75 \times N\)。

記憶口訣：\(Q_1, Q_2\)（中位數）, \(Q_3\) 對應四分之一：分別是數據的 25%, 50%, 75%。

3.3 四分位距 (Interquartile Range, IQR)

IQR 是一種衡量離差 (spread) 的指標，它衡量了中間 50% 數據的分佈範圍。

公式：
$$IQR = Q_3 - Q_1$$

IQR 較小意味著中間 50% 的數據分佈非常集中；IQR 較大則意味著中間 50% 的數據分佈非常分散。

3.4 百分位數 (Percentiles)

百分位數將數據分為 100 個相等的部分。如果你想找出特定的基準（例如前 10% 的分數），這非常有用。

尋找 \(P^{\text{th}}\) 百分位數 的方法：

  1. 計算位置：\(\frac{P}{100} \times N\)。
  2. 從數據軸讀取對應的數值。

例子：要找到第 80 百分位數，請在 CF 軸上找到 \(0.80 \times N\) 的位置。


✅ 快速複習：解讀圖表

  • CF 圖有什麼用途？ 用於估計分組連續數據的中位數、四分位數和百分位數。
  • 如何找出數據值？ 從 CF 軸出發，向右找到曲線，再向下讀取數據軸。
  • 如果題目問：「有多少學生的分數低於 70 分？」 在數據軸 (x) 上找到 70，向上找到曲線，再向左讀取 CF 軸 (y) 的數值。
  • 精確度： 務必根據 x 軸提供的刻度讀取最終答案，通常取適當的精確度（除非另有說明，一般為 3 位有效數字）。

你知道嗎？

雖然 CF 圖非常適合用來尋找中位數和四分位數，但它不能用來尋找眾數 (mode)。若要尋找眾數，通常需要頻數多邊形或直方圖。

繼續練習你的繪圖和讀圖技巧吧——你一定做得到的！