Equations

歡迎來到方程式章節！

方程式是數學的核心。它們讓我們能夠處理現實生活中的問題——例如計算預算、計算物體移動的速度，甚至設計橋樑——並精確地將其解決。
在本章中，我們將學習如何掌握各類方程式的解法，從簡單的線性方程式到更複雜的一元二次方程式及分式方程式。如果剛開始覺得有些棘手，別擔心；我們會將每一個方法拆解成簡單且易於理解的步驟！

你知道嗎？

等號（\(=\)）是由羅伯特·雷科德（Robert Recorde）於 1557 年發明的，他認為：「沒有什麼比兩條平行線更相等的了。」

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第一部分：一元一次方程式 (C2.5.2)

一元一次方程式包含一個變數（例如 \(x\)），且其次方僅為一。我們的目標永遠是將未知數獨立出來（isolate the unknown）。

方程式的黃金法則

為了保持方程式的平衡，你對等號的一邊做了什麼，就必須對另一邊做同樣的事情。把它想像成一個蹺蹺板！

解題步驟

我們使用反運算（inverse operations）來撤銷對變數所做的操作，運算順序通常是四則運算的逆序。

1. 展開任何括號。
2. 將所有含有變數（\(x\)）的項移到一邊。
3. 將所有常數項（數字）移到另一邊。
4. 透過除法或乘法求出未知數的值。

例子 1：簡單線性方程式
解 \(3x + 4 = 10\)。

• 兩邊同時減去 4：\(3x = 10 - 4\)
• \(3x = 6\)
• 兩邊同時除以 3：\(x = \frac{6}{3}\)
• \(x = 2\)

例子 2：帶括號的方程式 (C2.5.2)
解 \(5 - 2x = 3(x + 7)\)。

• 步驟 1：展開括號：\(5 - 2x = 3x + 21\)
• 步驟 2：收集 \(x\) 項（兩邊同時加 \(2x\)）：\(5 = 3x + 2x + 21\)
  \(5 = 5x + 21\)
• 步驟 3：收集常數項（兩邊同時減 21）：\(5 - 21 = 5x\)
  \(-16 = 5x\)
• 步驟 4：兩邊除以 5：\(x = -\frac{16}{5}\) 或 \(x = -3.2\)

第二部分：聯立線性方程式 (C2.5.3, E2.5.4)

當你有兩個未知變數（例如 \(x\) 和 \(y\)）時，你需要至少兩個方程式才能解出兩個值。這被稱為解聯立方程式。

我們將重點放在兩種主要方法：消去法（Elimination）和代入法（Substitution）。

方法 1：消去法

目標是透過將兩個方程式相加或相減來消去一個變數。當方程式整齊排列時，此方法效果最好。

例子：
(1) \(2x + y = 7\)
(2) \(3x - y = 8\)

1. 注意 \(y\) 項的係數互為相反數（\(+y\) 和 \(-y\)）。
2. 將方程式 (1) 和方程式 (2) 相加：
   \((2x + 3x) + (y - y) = 7 + 8\)
   \(5x + 0 = 15\)
3. 解 \(x\)：\(x = 3\)
4. 將 \(x = 3\) 代入任一原方程式（使用較簡單的方程式 1）：
   \(2(3) + y = 7\)
   \(6 + y = 7\)
5. 解 \(y\)：\(y = 7 - 6\)，即 \(y = 1\)。
6. 解：\(x=3, y=1\)

小撇步：如果係數不相同（例如 \(2x\) 和 \(3x\)），請將其中一個或兩個方程式乘上一個常數，直到其中一個變數的係數匹配為止。

方法 2：代入法

目標是重組其中一個方程式，使其中一個變數成為主項，然後將該表達式代入另一個方程式中。如果其中一個變數的係數已經是 1，這通常是更好的選擇。

例子：
(1) \(y = x + 3\)
(2) \(4x + 2y = 12\)

1. 方程式 (1) 已經以 \(y\) 為主項。
2. 將 (1) 中的 \(y\) 表達式代入 (2)：
   \(4x + 2(x + 3) = 12\)
3. 解出的線性方程式：
   \(4x + 2x + 6 = 12\)
   \(6x + 6 = 12\)
   \(6x = 6\)
   \(x = 1\)
4. 將 \(x = 1\) 代回方程式 (1)：
   \(y = (1) + 3\)
   \(y = 4\)
5. 解：\(x=1, y=4\)

第三部分：改變公式的主項 (C2.5.5, E2.5.6)

公式是連接兩個或多個變數的方程式，定義了一種規則（例如 \(A = \pi r^2\)）。改變主項意味著重組公式，使另一個變數獨立出現在等號的一邊。

情況 1：簡單公式 (核心課程 - C2.5.5)

主項只出現一次，且不涉及次方或根號。

例子：使 \(u\) 成為 \(v = u + at\) 的主項。

• 目標：使 \(u\) 獨立。
• 項 \(at\) 加在 \(u\) 上。在兩邊同時減去 \(at\)。
• \(v - at = u\)
• 新公式：\(u = v - at\)

例子：使 \(R\) 成為 \(V = \frac{1}{3} \pi R^2 h\) 的主項。

• 乘以 3：\(3V = \pi R^2 h\)
• 除以 \(\pi h\)：\(\frac{3V}{\pi h} = R^2\)
• 取平方根（由於在幾何中 \(R\) 通常為正數，我們通常不需要 \(\pm\)）：\(R = \sqrt{\frac{3V}{\pi h}}\)

情況 2：複雜公式 (延伸課程 - E2.5.6)

主項出現超過一次，或涉及次方/根號。

1. 主項出現兩次：因式分解是關鍵！

例子：使 \(x\) 成為 \(y = \frac{x+a}{x}\) 的主項。

1. 乘以 \(x\) 以消除分母：\(yx = x + a\)
2. 將所有包含目標主項（\(x\)）的項收集到一邊：\(yx - x = a\)
3. 提取公因式（即提取 \(x\)）：\(x(y - 1) = a\)
4. 除以括號 \((y-1)\)：\(x = \frac{a}{y - 1}\)

2. 主項涉及次方或根號：使用反次方！

例子：使 \(r\) 成為 \(t = 5 \sqrt{r^3 - k}\) 的主項。

1. 除以 5：\(\frac{t}{5} = \sqrt{r^3 - k}\)
2. 兩邊平方以消除根號：\((\frac{t}{5})^2 = r^3 - k\)
3. 兩邊同時加 \(k\)：\((\frac{t}{5})^2 + k = r^3\)
4. 取立方根：\(r = \sqrt[3]{(\frac{t}{5})^2 + k}\)

第四部分：一元二次方程式 (延伸課程 - E2.5.5)

一元二次方程式是指未知變數（\(x\)）的最高次方為 2 的方程式。其一般形式為：\(ax^2 + bx + c = 0\)，其中 \(a \neq 0\)。

一元二次方程式最多可以有兩個解（或根）。

方法 1：因式分解法

如果你能將二次表達式因式分解成兩個括號，使用零乘積性質（Zero Product Property）可以很快得出答案：如果 \(A \times B = 0\)，則 \(A=0\) 或 \(B=0\)。

例子：解 \(x^2 + 5x + 6 = 0\)。

1. 分解表達式：\((x + 2)(x + 3) = 0\)
2. 令每個括號等於零：
   \(x + 2 = 0\) 或 \(x + 3 = 0\)
3. 解：\(x = -2\) 或 \(x = -3\)

避免常見錯誤：未完全分解！務必先檢查是否有公因式。

方法 2：二次方程式公式法

如果二次方程式無法輕易分解（或完全無法分解），你必須使用公式。對於延伸課程考生，考試手冊中會提供此公式：

對於 \(ax^2 + bx + c = 0\)，解為：
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

根號下的項 \(b^2 - 4ac\) 被稱為判別式（discriminant）。

例子：解 \(2x^2 - 5x - 3 = 0\)。

1. 找出 \(a\)、\(b\) 和 \(c\)：\(a=2\)、\(b=-5\)、\(c=-3\)。
2. 代入公式：
   \[x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)}\]
3. 簡化：
   \[x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4}\]
   \[x = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{4}\]
4. 計算兩個解：
   \[x = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3\]
   \[x = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5\]

記住無理數形式（Surd Form）：如果題目要求精確值，或者根號下的數字不是完全平方數（且無法簡化為簡單的小數），你必須保留無理數形式的答案（例如 \(\sqrt{7}\) 或 \(3 + 2\sqrt{5}\)）。

第五部分：分式方程式與圖解法 (延伸課程)

1. 解分式方程式 (E2.5.3)

這些方程式包含代數分式。主要策略是用所有分母的最小公倍數（LCM）乘以方程式中的每一項，以消除分式。

例子：解 \(\frac{x}{x+2} = \frac{3}{x-6}\)。

1. LCM 是 \((x+2)(x-6)\)。用 LCM 乘以等號兩邊（這裡本質上是交叉相乘）：
   \(x(x-6) = 3(x+2)\)
2. 展開兩邊：
   \(x^2 - 6x = 3x + 6\)
3. 重組為一元二次方程式的標準形式（\(ax^2 + bx + c = 0\)）：
   \(x^2 - 9x - 6 = 0\)
4. 使用二次方程式公式解出結果（因為這無法輕易因式分解）。

2. 使用圖形計算機 (GCD) (C2.5.4, E2.5.7)

你的圖形計算機（GCD）是解方程式的強大工具，特別是那些非線性或不熟悉的方程式（例如涉及你尚未學過的函數的方程式）。

透過找零點/根（Zeros/Roots）解題

要解像 \(2x = x^2\) 或 \(x^3 - 4x + 1 = 0\) 這樣的方程式：

1. 重組方程式使其中一邊為零。對於 \(2x = x^2\)，寫成 \(x^2 - 2x = 0\)。
2. 將左邊定義為一個函數：令 \(Y_1 = x^2 - 2x\)。
3. 繪製圖形。
4. 使用計算機的「找零點（Find Zero）」或「根（Root）」功能，找出 \(x\)-截距（即圖形穿過 \(x\)-軸的位置，這意味著 \(Y_1 = 0\)）。

透過找交點（Intersection）解題

要解像 \(2x - 1 = \frac{1}{x}\) 這樣的方程式（代數運算很困難）：

1. 將左邊定義為 \(Y_1\)，右邊定義為 \(Y_2\)。
   \(Y_1 = 2x - 1\)
   \(Y_2 = \frac{1}{x}\)
2. 繪製兩條圖形。
3. 使用計算機的「找交點（Find Intersection）」功能。交點的 \(x\)-坐標就是該方程式的解。