Exact trigonometric values

掌握三角函數的準確值 (0580 Extended)

歡迎來到你在「非計算機」三角學考題中最關鍵的課題之一！當我們談論三角函數的準確值（Exact Values）時，我們學習的是如何在「不使用計算機」的情況下，精確地找出特定角度（如 30°、45° 和 60°）的正弦（Sine）、餘弦（Cosine）和正切（Tangent）值，並給出完美的答案，而不是捨入後的十進位數字。

為什麼這很重要？
在考試中，特別是不可使用計算機的考卷（Paper 2），你必須以準確形式（通常包含分數或根式，例如 \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)）給出答案。如果你寫出捨入後的十進位數值（例如 0.866），你將會被扣分！掌握這些數值就像擁有一套解決複雜幾何問題的「秘密工具箱」。

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1. 什麼是準確值（Exact Values）？

當你在計算機輸入 \(\sin(60^\circ)\)，它可能會顯示 0.8660254... 這是一個十進位的近似值。而真正的準確值則是 \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)。

準確值是指使用整數、分數和/或根式（不能簡化為整數的根號，例如 \(\sqrt{2}\) 或 \(\sqrt{3}\)）表達的數值。

重要規則：請務必使用根式與分數

如果題目要求 \(\sin(45^\circ)\) 的準確值，你必須寫 \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) 或有理化後的 \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)。你絕對不能寫成 0.707。

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2. 來源：構建特殊直角三角形

所有三角函數的準確值都源自兩個簡單的直角三角形。如果你能畫出並標註這兩個三角形，你就能推導出所有需要的準確值。

2.1. 45° 三角形（等腰直角三角形）

這個三角形源於將一個正方形沿對角線切成兩半。

步驟 1：從正方形開始

• 想像一個邊長為 1 的正方形。
• 沿對角線切開，形成兩個直角三角形。
• 由於原來的角是 90°，沿角平分線切開會得到兩個 45° 的角。

步驟 2：求斜邊（Hypotenuse）

運用畢氏定理（Pythagoras' Theorem，\(a^2 + b^2 = c^2\)）：

\(1^2 + 1^2 = c^2\)
\(1 + 1 = c^2\)
\(c^2 = 2\)
\(c = \sqrt{2}\)

這個三角形的三邊分別為 1, 1 和 \(\sqrt{2}\)。

步驟 3：計算 45° 的數值 (SOH CAH TOA)

• \(\sin(45^\circ)\) (對邊/斜邊): \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) (通常有理化為 \(\frac{\sqrt{2}}{2}\))
• \(\cos(45^\circ)\) (鄰邊/斜邊): \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) (通常有理化為 \(\frac{\sqrt{2}}{2}\))
• \(\tan(45^\circ)\) (對邊/鄰邊): \(\frac{1}{1} = 1\)

2.2. 30° 和 60° 三角形（半個等邊三角形）

這個三角形源於將一個等邊三角形切成兩半。

步驟 1：從等邊三角形開始

• 想像一個邊長為 2 的等邊三角形（使用 2 可以簡化後續的分數計算）。
• 所有角均為 60°。
• 從頂點向下畫一條垂線（即高）。這條線將底邊（2）平分為兩段（1 和 1），並將頂部的角（60°）平分為兩個 30° 的角。

步驟 2：求高（60° 的對邊）

我們現在得到了一個直角三角形，斜邊為 2，底邊為 1。設 \(h\) 為高。

運用畢氏定理：

\(1^2 + h^2 = 2^2\)
\(1 + h^2 = 4\)
\(h^2 = 3\)
\(h = \sqrt{3}\)

這個三角形的三邊為 1, \(\sqrt{3}\) 和 2（斜邊）。角度分別為 30°、60° 和 90°。

步驟 3：計算 30° 和 60° 的數值

對於 30°：

（相對於 30° 角，對邊 = 1，鄰邊 = \(\sqrt{3}\)，斜邊 = 2）

• \(\sin(30^\circ)\): \(\frac{\text{對邊}}{\text{斜邊}} = \frac{1}{2}\)
• \(\cos(30^\circ)\): \(\frac{\text{鄰邊}}{\text{斜邊}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
• \(\tan(30^\circ)\): \(\frac{\text{對邊}}{\text{鄰邊}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\) (通常有理化為 \(\frac{\sqrt{3}}{3}\))

對於 60°：

（相對於 60° 角，對邊 = \(\sqrt{3}\)，鄰邊 = 1，斜邊 = 2）

• \(\sin(60^\circ)\): \(\frac{\text{對邊}}{\text{斜邊}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
• \(\cos(60^\circ)\): \(\frac{\text{鄰邊}}{\text{斜邊}} = \frac{1}{2}\)
• \(\tan(60^\circ)\): \(\frac{\text{對邊}}{\text{鄰邊}} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}\)

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3. 象限角（0° 和 90°）

這些角度很特別，因為它們不屬於一般的三角形，但我們可以想像一個三角形「收縮」或「伸展」到極致的情況來找出數值。

3.1. 0° 的數值

想像一個角趨近於 0° 的直角三角形。

• 對邊長度變為 0。
• 鄰邊長度變為與斜邊相等（設為 1）。

比值如下：

• \(\sin(0^\circ)\) = 對/斜 = \(\frac{0}{1} = 0\)
• \(\cos(0^\circ)\) = 鄰/斜 = \(\frac{1}{1} = 1\)
• \(\tan(0^\circ)\) = 對/鄰 = \(\frac{0}{1} = 0\)

3.2. 90° 的數值

想像一個角趨近於 90° 的直角三角形。

• 對邊長度變為與斜邊相等（1）。
• 鄰邊長度變為 0。

比值如下：

• \(\sin(90^\circ)\) = 對/斜 = \(\frac{1}{1} = 1\)
• \(\cos(90^\circ)\) = 鄰/斜 = \(\frac{0}{1} = 0\)
• \(\tan(90^\circ)\) = 對/鄰 = \(\frac{1}{0}\)。這稱為未定義（Undefined），因為除以 0 是沒有意義的。

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4. 綜合總結表與記憶技巧

雖然畫三角形是最可靠的方法，但學生通常需要快速回憶這些數值。以下是完整表格與一個超好用的記憶秘訣。

4.1. 準確值總表

找出規律的關鍵在於將所有數值寫成分母為 2 的形式。

\(\theta\)	0°	30°	45°	60°	90°
\(\sin(\theta)\)	0	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	1
\(\cos(\theta)\)	1	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	0
\(\tan(\theta)\)	0	\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)	1	\(\sqrt{3}\)	未定義

4.2. 記憶技巧：手掌記憶法

這是一個快速記憶 Sin 和 Cos 數值的絕佳技巧。

1. 攤開左手，手心向自己。從大拇指到小指分別代表 0°、30°、45°、60° 和 90°。

2. 計算公式為：\(\frac{\sqrt{N}}{2}\)，其中 N 是手指的數量。

3. 計算 Sine 時：數一下該角度手指下方剩下的手指數量。

• 例子：30° (食指)。 下方有 1 根手指（大拇指）。所以 \(N=1\)。
  \(\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{1}}{2} = \frac{1}{2}\)
• 例子：90° (小指)。 下方有 4 根手指。所以 \(N=4\)。
  \(\sin(90^\circ) = \frac{\sqrt{4}}{2} = \frac{2}{2} = 1\)

4. 計算 Cosine 時：數一下該角度手指上方剩下的手指數量。

• 例子：60° (無名指)。 上方有 1 根手指（小指）。所以 \(N=1\)。
  \(\cos(60^\circ) = \frac{\sqrt{1}}{2} = \frac{1}{2}\)
• 例子：0° (大拇指)。 上方有 4 根手指。所以 \(N=4\)。
  \(\cos(0^\circ) = \frac{\sqrt{4}}{2} = \frac{2}{2} = 1\)

一旦你知道 Sin 和 Cos 的值，就可以運用恆等式計算 Tan： \(\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\)

重點總結

0°、30°、45°、60° 和 90° 的三角函數準確值是 Extended 課程必須牢記的知識點。練習畫出 45° 三角形（1, 1, \(\sqrt{2}\)）和 30°/60° 三角形（1, \(\sqrt{3}\), 2），直到你能輕鬆畫出為止——如果你忘記表格或手掌記憶法，這些畫出來的三角形就是你的救命稻草！