劍橋 IGCSE 數學 (0580) 學習筆記

第一章：分數、小數與百分數（數字基礎）

各位數學愛好者，大家好！這一章是整個 IGCSE 數學課程的基石。分數、小數和百分數（FDP）其實只是用三種不同方式來表示同一個概念：整體的部份。掌握它們之間的轉換，會讓你處理複雜的問題時輕鬆得多。如果起初覺得有點混亂，別擔心——我們會一步步拆解所有的轉換技巧！

I. 定義三種形式 (C1.4/E1.4)

1. 分數 (整體的部份)

分數代表我們擁有的部份佔總數的比例。它有兩個主要組成部分：

  • 分子 (Numerator)：上方的數字（代表你擁有的數量）。
  • 分母 (Denominator)：下方的數字（代表整體的總數量）。

我們需要了解三種主要的分數類型：

  • 真分數 (Proper Fractions)：

    此類分數的分子小於分母，數值恆小於 1。
    例子： 如果一塊披薩切成 8 片，你吃了 3 片，那麼你吃了 \( \frac{3}{8} \) 塊。

  • 假分數 (Improper Fractions)：

    此類分數的分子大於或等於分母，數值為 1 或以上。
    例子： 如果你有一整個披薩（8 片）加上另一個披薩的 3 片，你總共就有 \( \frac{11}{8} \) 片。

  • 帶分數 (Mixed Numbers)：

    由一個整數和一個真分數組合而成。
    例子： \( 1 \frac{3}{8} \)（這與 \( \frac{11}{8} \) 是相等的）。

轉換小貼士：帶分數轉假分數 (及反之！)

要把 \( 2 \frac{1}{3} \) 轉換為假分數：
1. 用整數乘以分母： \( 2 \times 3 = 6 \)。
2. 加上分子： \( 6 + 1 = 7 \)。
3. 將結果放在原分母上： \( \frac{7}{3} \)。

2. 小數 (位值)

小數利用十的冪（十分位、百分位、千分位等）來表示整體的部份。

例子： \( 0.75 \) 代表 \( 7 \) 個十分之一加上 \( 5 \) 個百分之一，或者簡單地寫成 \( \frac{75}{100} \)。

3. 百分數 (以 100 為基準)

"Percent" 這個詞字面意思就是「每一百」（源自拉丁文 per centum）。百分數是一個分母固定為 100 的分數。

例子： \( 62\% \) 與 \( \frac{62}{100} \) 是相同的。

你知道嗎？ 百分數在日常生活中非常普遍——例如計算銷售稅、折扣或利潤率時都會用到！

第一節重點： FDP 是價值的等價表達形式。在嘗試轉換前，請確保你理解每種形式的含義。

II. 基本技能：形式間的轉換 (C1.4/E1.4)

IGCSE 課程要求你必須能熟練地在這三種形式之間進行轉換。

A. 分數轉換為小數和百分數

將分數轉換為小數最可靠的方法，是記住分數線代表除法。

1. 分數轉小數 (F \(\rightarrow\) D)

方法： 用分子除以分母。

例子 1： 轉換 \( \frac{3}{4} \)。
\( 3 \div 4 = 0.75 \)

例子 2： 轉換 \( \frac{5}{8} \)。
\( 5 \div 8 = 0.625 \)

2. 分數轉百分數 (F \(\rightarrow\) P)

方法： 先轉換為小數，再乘以 100。

例子： 轉換 \( \frac{3}{5} \)。
第一步：F \(\rightarrow\) D： \( 3 \div 5 = 0.6 \)
第二步：D \(\rightarrow\) P： \( 0.6 \times 100 = 60 \)
答案： \( 60\% \)

B. 小數轉換為分數和百分數
1. 小數轉分數 (D \(\rightarrow\) F)

方法： 利用位值。將小數部分的數字寫在對應的 10 的冪分母上，然後約簡分數。

記憶小撇步：

  • 0.X $\rightarrow$ 分母為 10
  • 0.XX $\rightarrow$ 分母為 100
  • 0.XXX $\rightarrow$ 分母為 1000

例子： 轉換 \( 0.45 \)。
第一步： \( 0.45 \) 即 45 個百分之一： \( \frac{45}{100} \)
第二步：約簡（分子分母同除以 5）： \( \frac{9}{20} \)

2. 小數轉百分數 (D \(\rightarrow\) P)

方法： 乘以 100（將小數點向右移兩位）。

例子： 轉換 \( 0.082 \)。
\( 0.082 \times 100 = 8.2 \)
答案： \( 8.2\% \)

C. 百分數轉換為小數和分數
1. 百分數轉小數 (P \(\rightarrow\) D)

方法： 除以 100（將小數點向左移兩位）。

例子： 轉換 \( 135\% \)。
\( 135 \div 100 = 1.35 \)
（注意：超過 100% 的百分數意味著數值大於 1。）

2. 百分數轉分數 (P \(\rightarrow\) F)

方法： 將百分數寫在 100 的分母上，然後約簡。

例子： 轉換 \( 70\% \)。
第一步：寫成分數： \( \frac{70}{100} \)
第二步：約簡（分子分母同除以 10）： \( \frac{7}{10} \)

D. 約簡分數 (至關重要的要求)

當題目要求給出分數答案時，除非另有說明，否則必須給出最簡分數。這意味著要找出分子和分母的最大公因數 (HCF) 並進行約簡。

例子： 約簡 \( \frac{18}{24} \)。
18 和 24 的最大公因數是 6。
\( 18 \div 6 = 3 \)
\( 24 \div 6 = 4 \)
簡化後的答案： \( \frac{3}{4} \)

快速複習：轉換速查表

\(\mathbf{F \rightarrow D}\)：除法 (分子 \(\div\) 分母)
\(\mathbf{D \rightarrow P}\)：乘以 100
\(\mathbf{P \rightarrow D}\)：除以 100
\(\mathbf{P \rightarrow F}\)：寫成分母為 100 的分數，然後約簡

III. 數量的排列 (C1.5/E1.5)

有時題目會要求你將一系列混雜的分數、小數和百分數進行排列。要做到這一點，你必須將它們全部轉換為同一種格式，通常是小數。

例子： 將 \( \frac{2}{5} \)、 \( 0.45 \)、 \( 42\% \) 由小到大排列。

第一步：全部轉換為小數：
1. \( \frac{2}{5} \)： \( 2 \div 5 = 0.4 \)
2. \( 0.45 \)：（已是小數）
3. \( 42\% \)： \( 42 \div 100 = 0.42 \)

第二步：排列小數：
\( 0.4, \quad 0.42, \quad 0.45 \)

第三步：使用題目原始形式寫出最終答案：
由小到大： \( \frac{2}{5}, \quad 42\%, \quad 0.45 \)

請記住這些排列符號：

  • \( \mathbf{=} \)：等於
  • \( \mathbf{\ne} \)：不等於
  • \( \mathbf{>} \)：大於
  • \( \mathbf{<} \)：小於
  • \( \mathbf{\ge} \)：大於或等於
  • \( \mathbf{\le} \)：小於或等於

常見錯誤： 在比較分數和小數時，學生常被數字的位數搞混。請務必對齊小數點並比較位值。
例如： \( 0.40 \) 小於 \( 0.45 \)，但 \( 0.45 \) 小於 \( 0.5 \)（即 \( 0.50 \)）。

第二及第三節重點： 轉換是關鍵。要比較或排列不同類型的數字，先選定一種格式（通常是小數），然後將所有數值統一轉換。除非題目另有要求，否則請務必約簡分數。

IV. 分數與小數的運算 (C1.6/E1.6)

雖然本章重點在於轉換，但你必須準備好對所有類型的數字（包括負數和帶分數）進行四則運算（加、減、乘、除）。

小數與整數的運算

遵循標準的加減乘除規則。如果你在沒有計算機的情況下計算（試卷 1/2），請確保加減法時對齊小數點！

例子： \( 3.5 + 1.25 = 4.75 \)

分數的運算

處理分數（特別是帶分數）時，請在進行乘除法前將其轉換為假分數。

加法/減法： 在進行加減前，必須先找到公分母（最小公倍數 LCM）。
例子： \( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \)。3 和 4 的最小公倍數是 12。
\( \frac{1 \times 4}{3 \times 4} + \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12} \)

乘法： 將分子相乘，分母相乘。
\( \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \)

除法： 「保留、變號、翻轉」。保留第一個分數，將除法變為乘法，並將第二個分數翻轉（取倒數）。
\( \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \)

記得 BODMAS/BIDMAS 運算順序！
在處理混合運算（特別是涉及括號的算式）時，請務必遵循正確的運算次序。

第四節重點： 有條理地運算。乘除法時將帶分數轉為假分數，加減法時先通分找到公分母。