Geometrical constructions

📐 幾何作圖：建立數學精確度

歡迎來到「幾何作圖」章節！本單元的核心在於僅使用兩種簡單工具——直尺（Straight edge）和圓規（Compasses）——精確地繪製幾何圖形與線條。

試著把自己想像成一位數學建築師！你正在學習歷史上建築師、設計師和工程師所使用的基礎規則。這些技巧需要細心與準確，同時也能讓你深入理解不同幾何元素之間的關係。

現在，請收起量角器（大部分情況下！），讓我們專注於圓規與直尺的力量吧！

第一部分：必備工具箱

要掌握作圖，必須了解這兩種規定工具的作用：

1. 直尺（Straight Edge/Ruler）

• 僅用於連接兩點，繪製直線。
• 關鍵提示： 除了一開始繪製特定長度（例如 7 cm 的線段）或測量最終結果外，作圖過程中通常不應使用直尺上的刻度進行測量。

2. 圓規（Compasses）

• 用於繪製圓形或弧線（圓的一部分）。
• 圓規的張開寬度決定了弧線的半徑。
• 重要叮嚀： 在進行單一作圖步驟時（例如繪製垂直平分線），請保持圓規的半徑固定不變。千萬不要不小心改變了半徑！

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快速複習：預備概念

• 垂直（Perpendicular）： 兩條線相交成直角（\(90^{\circ}\)）。
• 平分（Bisect）： 將某個物件精確地分成兩等份。

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第二部分：基礎作圖技巧

以下是你必須按步驟熟練掌握的最重要技巧。

1. 繪製線段的垂直平分線（線段 A 至 B）

垂直平分線是一條將線段（如 AB）平分為二，且與該線段呈 \(90^{\circ}\) 相交的直線。

類比： 想像兩位朋友 A 和 B 想在他們之間的正中間見面。垂直平分線上的所有點，到 A 和 B 的距離都相等。

步驟指南：

1. 將圓規針尖放在 A 點，調整圓規半徑至大於 AB 長度的一半。
2. 在線段 AB 的上方和下方分別畫一個大弧。
3. 保持圓規半徑不變，將針尖移至 B 點。
4. 在線段 AB 的上方和下方分別再畫一個弧，確保這些弧線會與從 A 點畫出的弧線相交。
5. 使用直尺連接這兩個弧線的交點（分別標記為 P 和 Q）。

這條新的直線 PQ 即為線段 AB 的垂直平分線。

重點： 透過此作圖，你可以找到所有到兩端點（A 和 B）距離相等的點。

2. 繪製角平分線

角平分線是一條將已知角平分為兩個較小且相等角度的直線。

類比： 如果這個角是一塊蛋糕，角平分線能確保你將它完美地切成兩半，公平分享！

步驟指南：

1. 將圓規針尖放在該角的頂點（Vertex，我們稱之為 O）。
2. 畫一個弧，使其穿過構成該角的兩條射線。將交點標記為 C 和 D。
3. 將圓規針尖放在 C 點，在角內畫一個弧。（此時可以調整半徑，但接下來的步驟必須保持固定。）
4. 保持圓規半徑不變，將針尖放在 D 點，畫一個弧，使其與步驟 3 的弧相交。將交點標記為 E。
5. 使用直尺連接頂點 O 與交點 E。

直線 OE 即為該角的角平分線。

重點： 此作圖產生的直線上的所有點，到該角的兩條邊（邊線）的距離皆相等。

第三部分：繪製特定角度

僅使用直尺和圓規，我們可以精確地作圖出某些關鍵角度。

1. 繪製 \(60^{\circ}\) 角

這是基於等邊三角形（Equilateral triangle）的所有內角均為 \(60^{\circ}\) 的特性。

1. 先畫一條直線，並標記一個點 P 作為頂點。
2. 將圓規針尖放在 P，畫一個弧與直線相交（設交點為 A）。
3. 保持圓規半徑不變，將針尖放在 A，畫出第二個弧，與第一個大弧相交（設交點為 Q）。
4. 連接 P 與 Q 並延長。

在 P 點處形成的角即為精確的 \(60^{\circ}\)。

2. 繪製 \(90^{\circ}\) 角（在直線上某一點作垂線）

這本質上與繪製垂直平分線相同，但不是在兩個點之間，而是針對線上的特定點。

1. 先畫一條線段，標記出你想要作 \(90^{\circ}\) 角的點 P。
2. 將圓規針尖放在 P，在 P 的兩側畫出半徑相等的弧，使其與直線相交（標記為 A 和 B）。
3. 現在，將 A 和 B 視為線段的兩端。將圓規針尖放在 A，調整半徑至大於 AP 的長度，在 P 的上方畫弧。
4. 保持圓規半徑不變，將針尖放在 B，畫弧與步驟 3 的弧相交（設交點為 Q）。
5. 連接 P 與 Q。

所成的角度即為 \(90^{\circ}\)。

3. 繪製 \(45^{\circ}\) 與 \(30^{\circ}\) 角

我們只需將已知能作出的角度進行角平分即可得到：

• 欲繪製 \(45^{\circ}\) 角：先作出 \(90^{\circ}\) 角，再對其使用角平分線技巧。
• 欲繪製 \(30^{\circ}\) 角：先作出 \(60^{\circ}\) 角，再對其使用角平分線技巧。

你知道嗎？ 只使用圓規和直尺，是無法將任意角完美地三等分（Trisect）的！這個著名的數學問題困擾了數學家好幾個世紀。

第四部分：軌跡（Loci，單數：Locus）

作圖技巧在處理軌跡（Locus）問題時非常重要。軌跡是指滿足特定條件的點所形成的移動路徑或點集。

當題目要求你找出軌跡時，通常隨後會要求你塗色標示出一個區域（這稱為「區域限制」）。

軌跡類型 1：到兩點（A 和 B）距離相等

到兩定點 A 和 B 距離相等的點的軌跡，就是線段 AB 的垂直平分線。

如果題目要求你標示出「比 B 更靠近 A」的區域，你必須先作出垂直平分線，然後塗色標示包含點 A 的那一側。

軌跡類型 2：到兩條相交直線距離相等

到兩條相交直線距離相等的點的軌跡，是這兩條直線夾角的角平分線。

如果題目要求你標示出「比直線 Y 更靠近直線 X」的區域，你需要作出角平分線，並塗色標示包含直線 X 的那一側。

軌跡類型 3：到定點（P）固定距離

到定點 P 距離為固定值 \(d\) 的點的軌跡，是一個以 P 為圓心、半徑為 \(d\) 的圓形。

如果題目要求你標示「距離 P 小於 5 cm」的區域，請將圓規張開 5 cm，以 P 為圓心畫圓，並塗色標示圓形內部的區域。

軌跡類型 4：到直線（L）固定距離

到直線 L 距離為固定值 \(d\) 的點，其軌跡是由兩條平行於 L 的直線組成（距離為 \(d\)），並在兩端以半徑為 \(d\) 的半圓連接而成。

例子： 一隻狗被繩子繫在圍欄（直線 L）上，繩長為 \(d\)。牠能活動的範圍由兩條平行線及圍欄兩端的兩個半圓所包圍。

綜合應用：塗色標示區域

考試題目通常會結合多個軌跡條件（例如：比 A 更靠近 B，且距離 C 不超過 3 cm）。

當需要塗色標示區域時，請精確執行以下步驟：

1. 確定邊界： 判斷哪種作圖方式定義了所需區域的邊緣（垂直平分線、角平分線或圓）。
2. 作出邊界： 使用直尺和圓規精確地畫出這些邊界線或曲線。
3. 判斷目標側： 決定邊界的哪一側滿足條件（例如：靠近 A 的一側，或在圓的外部）。
4. 塗色標示不要的區域： 通常塗色標示不符合條件的區域會更安全、更不容易出錯。最後未塗色的清晰區域就是你的答案。

總結

IGCSE 數學中的幾何作圖要求極高的精確度。你必須能完美地進行垂直平分線和角平分線的作圖，因為這些是繪製特定角度和解決複雜軌跡問題的基礎。熟能生巧——請確保你的圓規螺絲鎖緊，鉛筆削尖！