歡迎來到函數圖象（Graphs of Functions）的世界！
圖象是數學中最強大的工具之一。它們能讓我們將抽象的方程式（例如 \(y = 2x + 3\)）轉化為直觀的形狀與線條，幫助我們瞬間理解各變量之間的關係！
在本章中，我們將學習如何辨識不同類型的函數圖象、精準地繪製草圖，並像專家一樣使用圖形計算機（GDC）來找出圖象的關鍵特徵。如果你覺得繪製曲線很困難，請不用擔心；我們會將每個形狀拆解成簡單的步驟。
第一節：函數與圖象的基礎
1.1 理解函數符號與坐標
在 IGCSE 中，我們提到的繪製圖象通常指繪製函數圖象。
- 函數（Function）是一項規則，它為每個輸入值（x）指定且僅指定一個輸出值（y）。
-
我們通常將函數寫作 \(f(x)\)（讀作 "f of x"）。記住，\(f(x)\) 其實就是寫法不同的 \(y\)。
例子：如果 \(f(x) = 3x - 1\)，那麼 \(y = 3x - 1\)。
繪點（Plotting Points）：
圖象上的每一個點都由笛卡兒坐標（Cartesian coordinates） \((x, y)\) 描述。
如果已知一個函數，你總是可以製作一個數值表（table of values）來手動繪製圖象。
分步例子：繪製 \(f(x) = x^2\)，\(x\) 的值從 \(-2\) 到 \(2\)。
- 選擇你的 x 值：\(-2, -1, 0, 1, 2\)。
-
計算相應的 \(y\) 或 \(f(x)\) 值：
- \(f(-2) = (-2)^2 = 4 \rightarrow (-2, 4)\)
- \(f(0) = (0)^2 = 0 \rightarrow (0, 0)\)
- \(f(2) = (2)^2 = 4 \rightarrow (2, 4)\)
- 將這些 \((x, y)\) 點標記在坐標網格上。
- 用平滑曲線（非線性函數）或直線（線性函數）將這些點連接起來。
快速回顧：核心課程（Core）與附加課程（Extended）內容
函數這個課題分為兩個層次。所有學生都必須能辨認線性函數與二次函數圖象。附加課程學生還需要額外辨認三次函數、倒數函數、指數函數及三角函數圖象。
第二節：辨識圖象的形狀（C3.1, E3.1）
繪圖的第一步是從方程式中辨識函數類型，並了解它所產生的基本形狀。
2.1 線性函數（Linear Functions）
形式： \(f(x) = ax + b\)（或 \(y = mx + c\)）
形狀： 一條直線。
- \(a\)（或 \(m\)）的值是斜率（gradient），代表傾斜程度。
- \(b\)（或 \(c\)）的值是y截距（y-intercept），即線條與 y 軸的交點。
- 如果 \(a\) 是正數，直線向上傾斜（正斜率）。
- 如果 \(a\) 是負數，直線向下傾斜（負斜率）。
比喻：想像自己在爬山。如果斜率很陡（\(a\) 很大），爬起來就非常吃力！
重點： 如果 \(x\) 的最高次方是 \(x^1\)，它就是一條直線。
2.2 二次函數（Quadratic Functions / 拋物線）
形式： \(f(x) = ax^2 + bx + c\)
形狀： 拋物線（parabola）（U 形或倒 U 形）。
- 如果 \(a > 0\)（正數），拋物線呈 U 形（笑臉，有最小值）。
- 如果 \(a < 0\)（負數），拋物線呈倒 U 形（哭臉，有最大值）。
- 最高或最低點稱為頂點（vertex）或轉折點（turning point）。
附加課程重點：找出二次方程（E3.4）
如果你拿到的是圖象，可能需要求出其方程式。最實用的形式是頂點式（vertex form）：
$$y = a(x - h)^2 + k$$
在此，頂點坐標為 \((h, k)\)。
例子：一條拋物線的頂點在 \((3, -1)\)，並經過點 \((4, 1)\)。
-
代入頂點 \((h, k) = (3, -1)\)：
\(y = a(x - 3)^2 - 1\) -
代入已知點 \((4, 1)\) 來求 \(a\)：
\(1 = a(4 - 3)^2 - 1\)
\(1 = a(1)^2 - 1\)
\(2 = a\) - 方程式為：\(y = 2(x - 3)^2 - 1\)
重點： 頂點式可以直接告訴你轉折點，這對於畫草圖至關重要。
2.3 附加課程圖象類型（E3.1）
三次函數（Cubic Functions）
形式： \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\)
形狀： 通常呈 S 形或拉長的 Z 形。它最多可以有兩個轉折點（一個局部最大值和一個局部最小值）。
倒數函數（Reciprocal Functions）
形式： \(f(x) = \frac{k}{x}\)
形狀： 一條雙曲線（hyperbola），由兩個獨立的分支組成（位於對角的象限中）。這些圖象永遠不會觸碰到坐標軸。
指數函數（Exponential Functions）
形式： \(f(x) = a^x\)（其中 \(a > 0\)）
形狀： 一條以極快速度上升或下降的曲線。
- 如果 \(a > 1\)：指數增長（Exponential Growth）（例如：人口增加）。隨著 \(x\) 增大，曲線迅速上升。
- 如果 \(0 < a < 1\)：指數衰減（Exponential Decay）（例如：放射性衰變）。隨著 \(x\) 增大，曲線迅速下降。
你知道嗎？指數函數被用於模擬複利計算——資金的增長不僅基於原始金額，還基於已經賺取的利息！
三角函數（Trigonometric Functions）
形式： \(f(x) = a \sin(bx)\), \(f(x) = a \cos(bx)\), 以及 \(\tan x\)。
形狀： 週期性（重複的圖案）。
- 正弦（\(\sin x\)）與餘弦（\(\cos x\)）的圖象看起來像平滑的波浪。
- 振幅（amplitude）（從中間線到最高點的高度）由 \(a\) 決定。
- 週期（period）（波浪重複一次所需的時間）受 \(b\) 的影響。
- 正切（\(\tan x\)）看起來非常不同，由許多獨立部分組成，並在 \(90^\circ, 270^\circ\) 等位置有永不觸碰的線（稱為漸近線 / asymptotes）。
第三節：圖象的關鍵特徵
3.1 截距與零點（C3.2, E3.2）
了解圖象與軸的交點對繪製草圖非常重要。
- y截距： 圖象與 y 軸的交點。這發生在 \(x = 0\) 時。
- x截距（或稱零點/根）： 圖象與 x 軸的交點。這發生在 \(y = 0\) 時（即 \(f(x) = 0\)）。
小貼士：找出零點通常意味著要解方程。對於二次函數，你可以進行因式分解或使用二次公式。對於複雜函數，必須使用你的 GDC。
3.2 轉折點：最大值與最小值（C3.2, E3.2）
轉折點是圖象改變方向的地方（例如：從向下轉為向上）。
- 局部最大值（local maximum）是一個峰值（局部範圍內的最高點）。
- 局部最小值（local minimum）是一個谷值（局部範圍內的最低點）。
對於 IGCSE，特別是面對不熟悉的函數時，你需要使用圖形計算機（GDC）來找出這些點的精確坐標（C3.2/E3.2）。
3.3 漸近線（僅限附加課程：E3.5）
漸近線（Asymptote）是一條直線，圖象會不斷趨近它，但無論你把曲線畫得多遠，永遠不會真正觸碰到它。
比喻：想像一張貼在桌子上的膠帶。線條就是膠帶，圖象就像一張不斷靠近膠帶卻永遠無法完全與其平貼的紙。
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垂直漸近線： 當函數無定義（undefined）時出現，通常是因為除以零。
例子：對於 \(f(x) = \frac{1}{x}\)，其垂直漸近線為 \(x=0\)。 -
水平漸近線： 描述圖象隨著 \(x\) 變得極大（正或負）時的長期行為。
例子：對於 \(f(x) = \frac{1}{x}\)，其水平漸近線為 \(y=0\)。 - 三角函數例子： \(y = \tan x\) 的圖象在 \(x = 90^\circ, x = 270^\circ\) 等位置有垂直漸近線。
重點： 繪製帶有漸近線的圖象（如倒數或 tan 函數）時，確保你的草圖趨向於那條線，但絕不要穿過它。
第四節：使用圖形計算機（GDC）（C3.2, E3.2）
GDC 是快速繪圖及解複雜函數問題的必備工具。
4.1 GDC 的核心功能
你必須熟練運用 GDC 完成以下任務（適用於任何函數，甚至是你不熟悉的函數）：
- 繪製圖象： 在 Y= 編輯器中輸入函數並檢視圖象。確保你的檢視視窗（Zoom 設定）涵蓋了所有重要特徵。
- 製作數值表： 產生特定的坐標對，幫助你在紙上精準描點。
- 繪點： 使用表格數據在坐標紙上標記點（通常用小叉 \(\times\) 表示）。
- 尋找零點（x截距）： 使用「計算（Calculate）」選單找出 \(y=0\) 的位置。
- 尋找局部最大值或最小值： 使用「計算（Calculate）」選單找出轉折點的坐標。
- 尋找兩條圖象的交點： 輸入兩個函數（Y1 和 Y2），並使用「計算交點（Calculate Intersection）」工具。
- 尋找二次函數的頂點： 這只是尋找最大值或最小值的特殊情況（步驟 5）。
4.2 以圖形法解方程（E2.5, E3.2）
GDC 對於解那些難以用代數法求解的方程至關重要，例如 \(2x = x^2\) 或 \(2x - 1 = \frac{1}{x}\)。
使用交點法解方程的步驟：
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將方程改寫為兩個獨立的函數 \(Y_1\) 和 \(Y_2\)。
例子：要解 \(2x - 1 = \frac{1}{x}\)，設 \(Y_1 = 2x - 1\) 以及 \(Y_2 = \frac{1}{x}\)。 - 在 GDC 中輸入 \(Y_1\) 和 \(Y_2\) 並繪出圖象。
- 使用計算機的「計算交點」功能。
- 交點的 \(x\) 坐標就是原始方程的解。
重點： 反覆練習這些 GDC 操作技巧。在考試中，利用計算機節省的時間非常關鍵！
第五節：圖象變換（僅限附加課程：E3.6）
圖象變換涉及將基本函數 \(y = f(x)\) 在坐標軸上進行移動。課程內容特別專注於平移（translations）。
5.1 垂直平移：向上與向下
變換形式為：
$$y = f(x) + k$$
- 如果 \(k\) 是正數，圖象向上平移 \(k\) 個單位。
- 如果 \(k\) 是負數，圖象向下平移 \(k\) 個單位。
這種平移會影響每個點的 \(y\) 坐標，包括 y 截距和轉折點。
例子：如果 \(f(x) = x^2\)，那麼 \(y = f(x) + 3 = x^2 + 3\) 表示圖象向上平移了 3 個單位。
5.2 水平平移：向左與向右
變換形式為：
$$y = f(x + k)$$
這通常違反直覺，因為移動方向與 \(k\) 的正負符號相反。
- 如果 \(k\) 是正數（例如 \(f(x+3)\)），圖象向左平移 \(k\) 個單位（x 的負方向）。
- 如果 \(k\) 是負數（例如 \(f(x-3)\)），圖象向右平移 \(k\) 個單位（x 的正方向）。
記憶口訣： "LION" (Left Is ON the Opposite side)。如果數字在括號內與 \(x\) 在一起，平移就是水平方向，且方向與符號相反。
例子：\(y = (x-2)^2\) 的圖象即為 \(y = x^2\) 的圖象向右平移了 2 個單位。
重點： 括號外的變換 \((+k)\) 會使圖象垂直移動（如預期）；括號內的變換 \((x+k)\) 會使圖象水平移動（方向相反）。
第六節：指數與對數函數（僅限附加課程：E3.7）
本節連結了兩個重要函數：指數函數及其反函數——對數函數。
6.1 對數函數（The Logarithmic Function）
對數函數本質上是指數函數的逆過程。
指數形式與對數形式的關係為：
$$y = a^x \quad \text{等同於} \quad x = \log_a y$$
我們將 \(x = \log_a y\) 讀作「x 是以 a 為底，y 的對數」。
對於 IGCSE，除非另有說明，否則所有對數均以 10 為底。這意味著 \(\log y\) 通常指 \(\log_{10} y\)。
使用對數解方程
對數的一個關鍵用途是解未知次冪（指數）。
如果你有類似 \(a^x = b\) 的方程，\(x\) 的解為：
$$x = \frac{\log b}{\log a}$$
例子：解 \(5^x = 100\)。
$$x = \frac{\log 100}{\log 5}$$ $$x = \frac{2}{\log 5}$$ （使用計算機求出數值。）
6.2 反函數（Inverse Functions）（E3.3）
對數是指數函數的反函數，這與反函數的一般概念相關。
如果 \(y = f(x)\)，那麼其反函數寫作 \(f^{-1}(x)\)，它會逆轉函數的過程。
分步操作：求反函數
- 將函數寫作 \(y = f(x)\)。
- 交換 \(x\) 和 \(y\)。
- 重新整理方程，使 \(y\) 成為主項。
- 將 \(y\) 替換為 \(f^{-1}(x)\)。
例子：求 \(f(x) = 2x + 5\) 的反函數。
1. \(y = 2x + 5\)
2. \(x = 2y + 5\)（交換位置）
3. \(x - 5 = 2y \rightarrow y = \frac{x - 5}{2}\)（重新整理）
4. \(f^{-1}(x) = \frac{x - 5}{2}\)
圖象關係： \(y = f^{-1}(x)\) 的圖象是 \(y = f(x)\) 對於直線 \(y = x\) 的鏡像反射。
重點：對數與圖象
對數函數與指數函數互為反函數。在考試中，你可能會被要求透過讀取圖象上的數值來直接解指數或對數方程（E3.7）。