數學 (0580) 學習筆記：不等式章節
歡迎來到奇妙的不等式 (Inequalities) 世界！你以前花了很多時間解方程式（答案通常剛好等於某個數字），但在現實生活中，情況往往不會這麼精準。例如，你可能需要「至少」5 公升汽油，或者某個負載限制必須是「小於」50 公斤。
不等式正是用來處理這些限制的。它們描述了一個變數可以取的數值範圍 (range of values)。這一章與代數 (Algebra) 和圖形 (Graphs) 緊密相關，能幫助你將這些範圍視覺化。如果一開始覺得有點棘手，別擔心，我們會一步一步拆解規則！
1. 理解不等式符號
不等式的核心在於理解四個主要符號：
- \(<\) ：小於 (Less than)（嚴格不等式）
- \(>\) ：大於 (Greater than)（嚴格不等式）
- \(\le\) ：小於或等於 (Less than or equal to)（包含不等式）
- \(\ge\) ：大於或等於 (Greater than or equal to)（包含不等式）
小撇步：符號複習
- 把它想像成一隻飢餓的鱷魚：符號的開口處總是朝向較大的數字或運算式。
- 如果符號下方有一條線（\(\le\) 或 \(\ge\)），代表邊界值也包含 (included) 在解的範圍內。
類比：速限
如果路標顯示速限為 40 mph，那麼代表你車速 (\(s\)) 的數學不等式就是 \(s \le 40\)。你可以開 40 mph 或更慢。但如果路標規定使用快速車道必須「快於 5 mph」，那就是嚴格不等式：\(s > 5\)。
2. 在數線上表示不等式 (C2.6 / E2.6.1)
數線是將所有滿足不等式的數字視覺化的最佳工具。我們在邊界點使用兩種不同的圓圈：
2.1 空心圓圈（嚴格不等式）
如果不等式是嚴格的（\(<\) 或 \(>\)），我們使用空心圓圈 (\(\circ\)) 來表示該數字本身不包含在解中。
- 範例 1： \(x > -2\)
這表示 \(x\) 可以是 -1.9、-1.999，但「不可以」剛好是 -2。
視覺化：在 -2 的位置畫一個空心圓，並向右畫箭頭（指向更大的數字）。
2.2 實心圓圈（包含不等式）
如果不等式是包含的（\(\le\) 或 \(\ge\)），我們使用實心圓圈 (\(\bullet\)) 來表示該數字包含在解中。
- 範例 2： \(x \le 5\)
這表示 \(x\) 可以剛好是 5，或者是任何小於 5 的數字。
視覺化：在 5 的位置畫一個實心圓，並向左畫箭頭（指向更小的數字）。
數線重點總結：符號下有線 (\(\le, \ge\)) 代表點是實心的 (\(\bullet\))；符號下沒線 (\(<, >\)) 代表點是空心的 (\(\circ\))。
3. 解一元一次不等式 (C2.6 / E2.6.2)
解線性不等式幾乎與解線性方程式相同。你可以對兩邊進行加、減、乘、除，將變數 (\(x\)) 單獨隔離。
3.1 黃金法則：變換方向
這是方程式與不等式之間最重要的差異，也是學生最常犯錯的地方！
當你將不等式兩邊同時乘或除以一個「負數」時，必須翻轉不等式的方向。
黃金法則範例：
從 \(10 > 5\) 開始。這是正確的。
現在，將兩邊除以 \(-5\)：
左邊：\(10 \div (-5) = -2\)
右邊：\(5 \div (-5) = -1\)
由於 \(-2\) 小於 \(-1\)，我們必須翻轉符號：
新不等式：\(-2 < -1\)。 (正確)
3.2 步驟教學
範例 3：解 \(3x + 4 \le 16\)
- 兩邊同時減 4：
\(3x \le 16 - 4\)
\(3x \le 12\) - 兩邊除以 3（因為 3 是正數，符號不變）：
\(x \le 4\)
解讀：此解包含 4 以及所有小於 4 的數字。
範例 4：解 \(5 - 2x > 1\)
- 兩邊同時減 5：
\(-2x > 1 - 5\)
\(-2x > -4\) - 兩邊除以 -2（因為是負數，必須翻轉符號）：
\(x < (-4) \div (-2)\)
\(x < 2\)
常見錯誤提醒：不要因為題目中有負數（例如步驟 1 中的 -4）就翻轉符號。只有當你「乘或除」的那個數是負數時，才需要翻轉。
重點總結：像解方程式一樣計算，但要時刻警惕黃金法則！如果你乘或除以負數，務必翻轉不等號。
4. 聯立不等式 (C2.6 / E2.6.2)
有時候變數兩邊都有限制，這會形成聯立不等式。它們看起來像是由兩個不等式合併而成的，通常包含「和」的概念。課程重點在於這種形式。
範例 5：解 \(-3 < 3x - 2 < 7\)
要解這個題型，目標是將 \(x\) 留在中間。無論進行什麼運算，都必須對不等式的所有三部分同時進行。
- 三部分同時加 2：（這會消除中間的 -2）
\(-3 + 2 < 3x - 2 + 2 < 7 + 2\)
\(-1 < 3x < 9\) - 三部分同時除以 3：（3 是正數，符號不變）
\(-1 \div 3 < x < 9 \div 3\)
\(-0.33... < x < 3\)
解讀： \(x\) 為介於 \(-1/3\) 和 3 之間的任意值。
數線表示：
你需要在 \(-1/3\) 和 3 的位置分別畫一個空心圓，並將中間的線段塗黑。解即為兩個點之間的範圍。
重點總結：一視同仁地對待左、中、右三部分。執行相同的運算，直到 \(x\) 單獨留在中間。
（僅限 Extended 課程內容）
5. 繪製二元線性不等式 (E2.6.4, E2.6.5)
當你有包含 \(x\) 和 \(y\) 的不等式（如 \(y < 2x + 1\)）時，解就不再是數線上的一條線，而是笛卡爾坐標系中的一個區域 (region)。
解這類題型需要畫出邊界線，然後為所需的區域塗色。
步驟 1：確定邊界線及其樣式
首先，忽略不等號，畫出直線的方程式 (\(y = mx + c\))。
-
嚴格不等式 (< 或 >)：使用虛線 (dashed line)。
為什麼？ 因為線上的點並不包含在解中。 -
包含不等式 (\(\le\) 或 \(\ge\))：使用實線 (solid line)。
為什麼？ 因為線上的點包含在解中。
步驟 2：確定塗色區域（不想要的區域）
不等式的解是邊界線的一側。要決定塗哪一邊，我們使用測試點 (test point)。
最簡單的測試點通常是原點 \((0, 0)\)，除非線剛好經過原點。
- 選一個測試點（例如 \((0, 0)\)）。
- 將坐標代入不等式。
- 如果敘述為「真 (TRUE)」，該區域即為想要 (WANTED) 的區域。
- 如果敘述為「假 (FALSE)」，該區域即為不想要 (UNWANTED) 的區域。
重要考綱說明：在劍橋 IGCSE 考試中，除非另有指示，否則你應該為不想要的區域塗色。這樣做會讓最終的解區域保持清晰空白。
範例 6：畫出不等式 \(y < 2x + 1\)
- 邊界線： \(y = 2x + 1\)。因為是 \(<\)，使用虛線。
- 測試點： 使用 \((0, 0)\)。
- 代入： \(0 < 2(0) + 1 \implies 0 < 1\)。敘述為真 (TRUE)。
- 塗色： 由於 \((0, 0)\) 處於「真」區域，我們需為另一側（不想要的區域）塗色。
5.3 定義多重不等式區域 (E2.6.5)
在解決多個不等式的系統時，你會畫出幾條邊界線，解即為滿足所有不等式的公共區域。
範例 7：列出定義未塗色區域 R 的不等式，該區域由 L1、L2 和 L3 圍成。
假設：
- L1 是水平線 \(y = 2\)（實線）
- L2 是垂直線 \(x = -1\)（虛線）
- L3 是對角線 \(y = x + 4\)（實線）
如果區域 R 位於 L1 下方、L2 右側、以及 L3 上方，則定義 R 的不等式為：
-
對於 L1 (\(y = 2\))： R 在實線下方。
不等式： \(y \le 2\) -
對於 L2 (\(x = -1\))： R 在虛線右側。
不等式： \(x > -1\) -
對於 L3 (\(y = x + 4\))： R 在實線上方。（使用測試點 (0, 0) 得出 \(0 > 4\)，這是假的。所以 R 位於敘述為「真」的那一側）。
不等式： \(y \ge x + 4\)
區域 R 由三個不等式定義： \(y \le 2\)、\(x > -1\) 和 \(y \ge x + 4\)。
你知道嗎？ 不等式在物流和商業規劃中被大量應用（稱為「線性規劃」），用來在各種限制條件下找出配置資源或利潤最大化的最佳方案！
繪圖重點總結： \(\le, \ge\) 使用實線，\(<, >\) 使用虛線。始終使用測試點找出正確區域，並習慣為不想要的區域塗色，讓解的區域保持清晰。